Магические квадраты

[Бодигрим]

Nataly-Mak в сообщении #240302 писал(а):

Неужели такой квадрат не получается? Хотя это вполне возможно.

У меня не получился.

Nataly-Mak в сообщении #240462 писал(а):

Бодигрим, проверьте меня, пожалуйста, в отношении минимальности магической константы. Если построенный квадрат действительно наименьший, то о нём надо сообщить "в компетентные органы".

Как только - так сразу. Но не могу обещать, что выполню проверку в кратчайшие сроки.

[Nataly-Mak]

Бодигрим в сообщении #240629 писал(а):

Как только - так сразу. Но не могу обещать, что выполню проверку в кратчайшие сроки.

Странно... Такая проверка потребует не более 15 минут. Была уверена, когда шла сюда, что вы её уже сделали и сообщаете о результате.
Не могу настаивать на "проверке в кратчайшие сроки", а также и на проверке вообще

Обращаюсь с этой просьбой к другим участникам дискуссии (проверить минимальность магической константы построенных мной квадратов 7-го порядка из простых чисел, представленных в предыдущем посте). У меня нет сомнений в том, что константа минимальна, но вдруг всё-таки ошиблась.
А равно и с вопросом: можно ли добавить построенные квадраты в Энциклопедию последовательностей, куда недавно были внесены квадраты 5-го и 6-го порядков, построенные Бодигримом и мной?
см. http://www.research.att.com/~njas/sequences/A164843
Бодигрим, я думала, что вам, как автору данной статьи, будет удобнее это сделать.

[Nataly-Mak]

Наименьший квадрат 8-го порядка из простых чисел по отработанному методу построился быстро, несмотря на то, что с увеличением порядка резко возрастают обрабатываемые массивы чисел. Магическая константа построенного мной квадрата равна 1154. Минимально возможная константа для такого квадрата равна 1152, но для такой константы массив простых чисел не формируется.

3 19 59 61 233 239 257 283
193 271 157 139 199 41 53 101
241 311 263 167 11 43 29 89
5 17 37 79 173 269 281 293
331 109 227 137 127 73 67 83
7 23 31 197 149 251 317 179
163 223 229 277 71 131 47 13
211 181 151 97 191 107 103 113

Итак, последовательность минимальных магических констант квадратов из простых чисел увеличилась ещё на одно число и стала такой: $177, 120, 233, 432, 733, 1154$.

[Nataly-Mak]

По моим расчётам минимальная магическая константа для квадрата 9-го порядка из простых чисел равна $1731$ (минимально возможная - 1727, но мне не удалось сформировать массивы ни для 1727, ни для 1729).
Вот магический квадрат c константой $1731$:

5 43 73 79 181 241 317 373 419
337 227 29 83 17 131 277 283 347
233 269 251 113 367 11 101 163 223
157 47 211 383 59 173 271 191 239
197 89 379 349 109 97 71 409 31
149 179 353 23 331 311 151 41 193
433 199 313 61 67 107 401 137 13
167 257 19 359 293 397 3 7 229
53 421 103 281 307 263 139 127 37

Сейчас буду пробовать построить наименьший магический квадрат 10-го порядка из простых чисел (без использования числа 1).

-- Пн сен 07, 2009 14:26:36 --

Чуть не забыла. Есть другой вариант массива простых чисел для квадрата 9-го порядка, магическая константа та же $1731$:

13 17 59 131 151 241 331 379 409
179 283 157 5 109 227 401 233 137
373 239 281 7 61 229 19 421 101
311 41 211 337 193 97 367 163 11
139 83 223 359 181 173 113 191 269
127 389 89 277 263 79 347 53 107
37 67 167 313 317 307 103 23 397
353 149 293 271 73 349 3 197 43
199 463 251 31 383 29 47 71 257

[Nataly-Mak]

Квадрат 10-го порядка из простых чисел по моим расчётам имеет минимальную константу $2470$:

5 13 29 151 311 313 373 379 409 487
71 563 331 139 251 383 107 41 277 307
79 241 283 229 103 479 61 223 269 503
521 89 257 3 359 191 421 137 53 439
353 433 347 131 449 23 163 179 199 193
263 547 401 239 73 233 463 47 197 7
167 37 11 491 461 43 149 523 271 317
113 83 19 419 97 367 443 431 467 31
509 67 499 457 17 281 181 173 227 59
389 397 293 211 349 157 109 337 101 127

Есть другой вариант массива простых чисел, но квадрат для этого варианта пока не построила.

-- Пн сен 07, 2009 22:15:56 --

Это вариант квадрата 10-го порядка из другого набора простых чисел с той же магической константой:

3 13 17 19 263 359 373 419 463 541
61 83 449 7 491 487 5 509 41 337
523 197 89 499 233 151 211 397 67 103
179 409 181 433 37 257 251 29 173 521
457 131 137 227 467 331 107 43 461 109
269 167 443 23 53 311 307 379 421 97
317 223 401 139 367 347 353 59 101 163
313 569 241 503 239 31 191 293 79 11
71 199 439 271 127 149 389 113 281 431
277 479 73 349 193 47 283 229 383 157

[Nataly-Mak]

Это наименьший магический квадрат 11-го порядка из простых чисел:

3 73 113 151 173 223 359 389 631 643 659
613 431 457 487 59 61 619 443 131 13 103
277 271 421 331 439 181 509 79 11 617 281
179 461 607 71 109 661 23 541 311 353 101
379 313 599 211 401 89 569 43 701 83 29
383 127 47 419 557 347 227 547 257 139 367
229 571 191 521 241 307 7 19 499 239 593
653 157 349 433 293 503 67 647 5 41 269
31 397 17 577 463 373 587 193 251 491 37
563 479 467 53 449 409 167 199 97 197 337
107 137 149 163 233 263 283 317 523 601 641

Магическая константа равна 3417.

[maxal]

Nataly-Mak
Вам может быть интересно подтвердить существующие / найти новые минимальные магические константы для квадратов из простых и 1, которые указаны в последовательности A073502
Там сказано, что только константа для квадрата 3x3 известна наверняка, остальные нуждаются в проверке...

[Nataly-Mak]

Спасибо, maxal. Безусловно, мне это очень интересно. Я думала (по сделанному вами ранее сообщению), что для наименьших магических квадратов из простых и 1 всё решено окончательно до порядка 10 включительно. Оказывается, только квадрат Дьюдени 3-го порядка является окончательным решением.
Обязательно займусь этими квадратами.
Кстати, в книге Ю. В. Чебракова (http://chebrakov.narod.ru/) приведены наименьшие магические квадраты из простых и 1 до порядка $12$ включительно (это ещё раз дало мне основание думать, что здесь всё решено). Разве у Чебракова тоже сомнительные результаты? Или просто эти результаты неизвестны в Энциклопедии последовательностей?

-- Пт сен 11, 2009 08:50:13 --

Сейчас посмотрела на квадраты Ю. В. Чебракова (ссылка выше). Магические константы его квадратов в точности совпадают с магическими константами, приведёнными в Энциклопедии. Кроме того, у него есть наименьший квадрат 11-го порядка с магической константой 3355.
Как известно, наименьший магический квадрат 12-го порядка построил Дж. Н. Манси в 1913 г.; это квадрат из последовательных нечётных простых чисел, начиная с числа 1. Магическая константа его равна 4514.
Таким образом, надо продолжить последовательность, приведённую в Энциклопедии, до порядка 12 включительно, используя квадрат Чебракова 11-го порядка и квадрат Манси 12-го порядка.

[Nataly-Mak]

Проверила все магтческие константы, приведённые в Энциклопедии последовательностей (до порядка 10 включительно), у меня получились точно такие же. Как я уже сказала, у Чебракова они тоже совпадают. Магическая константа квадрата 11-го порядка, приведённого в книге Чабракова, равна $3355$. Это тоже минимальная константа (меньше быть не может).
Я построила свой наименьший магический квадрат 11-го порядка из простых чисел и числа 1:

1 29 103 107 191 271 431 487 509 619 607
47 577 41 277 643 163 131 521 5 571 379
157 149 569 283 397 263 661 223 229 23 401
257 353 139 547 37 461 331 251 587 349 43
307 89 457 71 439 463 11 359 337 641 181
433 409 647 631 151 7 523 83 199 3 269
383 113 109 557 503 601 73 449 313 193 61
677 617 227 67 137 317 367 179 421 53 293
613 347 443 479 31 419 311 101 197 173 241
467 653 541 239 593 17 127 211 59 167 281
13 19 79 97 233 373 389 491 499 563 599

Наименьший квадрат 12-го порядка, как уже сказано, построен Дж. Н. Манси.
Для порядка $13$ по моим подсчётам минимальная константа равна $5937$ (по-прежнему речь идёт о квадратах с использованием числа 1). Я сгенерировала набор из 13 строк для такого квадрата, но пока не превратила его в магический квадрат (программа выполняется довольно долго). Вот этот набор:

1 43 61 73 113 421 431 439 701 881 887 919 967
109 809 691 461 19 487 751 3 929 23 997 467 191
79 281 941 479 31 179 401 659 599 757 379 491 661
419 307 149 283 311 167 719 991 541 829 983 227 11
971 229 59 7 137 13 883 743 733 577 709 17 859
353 457 593 821 193 277 151 787 569 827 631 211 67
773 449 727 29 643 613 839 269 5 83 641 367 499
47 947 739 647 71 181 857 337 157 863 797 97 197
331 443 557 313 811 463 853 769 523 53 521 101 199
257 41 953 503 587 103 263 677 127 1019 673 163 571
293 601 389 317 907 131 409 509 563 349 937 359 173
251 683 107 241 233 607 239 547 653 397 1013 619 347
37 89 139 223 271 373 383 433 617 761 823 877 911

Интересно, что следующий квадрат, подобный квадрату Манси, то есть из последовательных нечётных простых чисел (включая число 1) может иметь порядок $15$. Магическая константа такого квадрата будет равна $9635$. Мне удалось сгенерировать набор из 15 строк для построения такого квадрата. Но тоже пока не превратила этот набор в магический квадрат. Покажу и этот набор:

3 11 37 191 521 547 613 683 797 941 983 1021 1031 1103 1153
523 233 19 1091 1097 1381 397 431 1213 1069 131 619 151 109 1171
769 647 907 409 59 181 991 389 1291 467 1327 367 337 821 673
947 1423 271 7 41 149 881 643 743 977 719 761 757 283 1033
827 1061 563 509 659 379 31 499 829 577 313 733 1229 1319 107
1187 443 487 1231 823 1367 1361 383 229 1109 241 139 449 157 29
839 461 439 569 1259 1201 73 13 859 1217 661 709 929 47 359
1297 677 167 61 1303 997 751 1 179 311 1063 1277 1289 23 239
223 911 593 1151 1013 571 97 457 1409 887 1237 463 5 199 419
113 739 607 919 373 401 641 353 211 883 293 937 877 1039 1249
1163 1279 1009 433 269 953 617 277 163 503 137 1093 1307 101 331
1019 1051 83 197 863 1321 1087 173 17 631 263 773 307 727 1123
103 491 421 227 1129 587 967 541 691 281 1223 857 601 1427 89
971 479 1193 67 1049 853 71 1373 193 349 251 1399 1181 127 79
1301 43 317 557 257 53 1117 701 653 811 347 809 1283 787 599

Следующие порядки квадратов, подобных квадрату Манси, могут быть такими: $17$ (магическая константа $14691$), $22$ (магическая константа $34926$), $35$ (магическая константа $162759$). Дальше я не считала.

maxal, я не понимаю, что написано в статье по указанной вами ссылке. Вы пишете, что приведённая в этой статье последовательность минимальных магических констант квадратов порядков 3 - 10 нуждается в подтверждении. После всего сказанного мной выше, очевидно, что эта последовательность уже не может быть улучшена. Но она может быть продолжена, уже сейчас в неё можно добавить две магические константы. Таким образом, последовательность будет такой: $111, 102, 213, 408, 699, 1114, 1681, 2416, 3355, 4514$. Следующий член, возможно, будет $5937$ (для квадрата 13-го порядка).

[Nataly-Mak]

Это наименьший квадрат 12-го порядка из простых чисел в классическом определении. Магическая константа квадрата равна $4584$.

3 13 59 89 197 269 503 523 617 727 761 823
487 281 541 379 601 659 293 521 353 181 257 31
263 307 743 251 661 373 179 151 191 719 283 463
461 11 41 439 113 5 643 811 773 479 167 641
127 211 401 647 367 739 97 139 409 359 397 691
67 683 277 509 839 571 163 47 607 467 83 271
769 199 383 349 193 73 701 599 23 443 419 433
709 491 311 131 43 631 733 239 173 19 757 347
101 613 389 107 337 577 79 587 547 137 653 457
103 227 17 677 233 7 563 787 809 499 421 241
821 797 829 557 431 61 313 109 29 331 157 149
673 751 593 449 569 619 317 71 53 223 229 37

Для сравнения приведу классический квадрат Дж. Н. Манси (из последовательных нечётных простых чисел, включая число 1):

1  823  821  809  811  797  19  29  313  31  23  37 
 89  83  211  79  641  631  619  709  617  53  43  739 
 97  227  103  107  193  557  719  727  607  139  757  281 
 223  653  499  197  109  113  563  479  173  761  587  157 
 367  379  521  383  241  467  257  263  269  167  601  599 
 349  359  353  647  389  331  317  311  409  307  293  449 
 503  523  233  337  547  397  421  17  401  271  431  433 
 229  491  373  487  461  251  443  463  137  439  457  283 
 509  199  73  541  347  191  181  569  577  571  163  593 
 661  101  643  239  691  701  127  131  179  613  277  151 
 659  673  677  683  71  67  61  47  59  743  733  41 
 827  3  7  5  13  11  787  769  773  419  149  751

Магическая константа этого квадрата равна $4514$.

[Nataly-Mak]

А это мой вариант квадрата Манси:

1 19 61 193 347 409 449 457 509 599 709 761
479 619 89 809 331 131 311 571 557 107 43 467
443 199 523 349 197 79 613 727 167 109 281 827
743 461 223 179 503 29 269 577 373 419 5 733
233 773 661 37 547 647 3 563 67 587 283 113
787 17 73 239 607 659 397 389 313 463 149 421
631 383 431 757 241 263 257 569 97 307 367 211
797 401 499 277 643 439 7 23 719 191 379 139
13 541 521 691 601 683 673 163 103 317 71 137
293 181 173 31 59 227 677 53 739 811 653 617
83 487 769 359 337 127 701 271 229 353 751 47
11 433 491 593 101 821 157 151 641 251 823 41

Итак, до порядка 12 включительно мой алгоритм построения нетрадиционных магических квадратов прекрасно работает даже на Бейсике. Для следующих порядков будет сложнее. Нужно переходить на другой язык программирования (давно собираюсь это сделать).

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #242232 писал(а):

Nataly-Mak
Вам может быть интересно подтвердить существующие / найти новые минимальные магические константы для квадратов из простых и 1, которые указаны в последовательности http://www.research.att.com/~njas/sequences/A073502
Там сказано, что только константа для квадрата 3x3 известна наверняка, остальные нуждаются в проверке...

maxal, я проверила все минимальные магические константы, приведённые в указанной вами статье. Более того, посмотрела внимательно в указанную книгу Ю. В. Чебракова. Автор книги доказывает минимальность магических констант квадратов из простых чисел и числа 1 до порядка 11 включительно. Ну, а для порядка 12 минимальность магической константы была доказана автором этого квадрата Дж. Манси (впрочем, её и доказывать не надо, так как квадрат Манси составлен из последовательных нечётных простых чисел, начиная с числа 1).
Я немного повторяюсь, но всё это важно. Мне непонятно, почему в Энциклопедию последовательностей до сих пор не включены магические константы квадратов порядков 11 и 12. Кстати, в книге Чебракова написано, что квадрат 11-го порядка тоже известен давно (имеет своего автора, вот забыла уже, чуть ли не Манси тоже его построил). Я думала сначала, что квадрат 11-го порядка построен автором книги.
Я построила сейчас наименьший квадрат 13-го порядка данной серии квадратов (из простых чисел и числа 1). Его магическая константа равна $5937$. Вот этот квадрат:

1 43 61 73 113 421 431 439 701 881 887 919 967
109 809 691 461 19 487 751 3 929 23 997 467 191
353 457 593 821 193 277 151 787 569 827 211 67 631
47 947 739 647 857 71 181 337 157 797 197 863 97
331 443 557 313 853 463 811 769 523 53 101 521 199
953 257 41 1019 503 587 103 263 677 127 163 673 571
79 281 941 479 31 179 401 659 599 757 379 661 491
773 449 727 29 643 839 613 269 5 83 367 499 641
419 307 149 283 311 167 719 991 541 829 983 11 227
971 229 59 7 137 13 883 743 733 577 709 17 859
601 563 293 409 907 937 389 349 359 509 173 131 317
683 241 653 1013 547 619 233 239 107 251 397 347 607
617 911 433 383 823 877 271 89 37 223 373 761 139

Не возьмётесь ли вы сообщить всю эту информацию в Энциклопедию последовательностей? Я сделала бы это сама, но боюсь, что письмо на русском языке там не примут, а по-английски не умею писать.

-- Вс сен 13, 2009 12:42:28 --

Интересно, что для наименьшего магического квадрата 13-го порядка существует несколько вариантов массивов из простых чисел (плюс число 1). Мне удалось сформировать 4 варианта массивов. Для первого варианта квадрат уже показан. Для второго варианта массива получился такой квадрат:

1 31 61 149 173 197 509 643 653 701 911 941 967
859 887 199 211 641 79 977 283 71 13 883 829 5
89 37 521 1013 557 101 523 439 743 733 461 241 479
853 983 797 659 19 409 167 331 383 137 23 353 823
919 109 587 463 547 193 499 593 257 739 773 131 127
163 1021 431 53 73 937 491 29 761 929 503 113 433
59 239 569 311 907 953 157 769 449 67 97 971 389
787 227 827 601 419 179 317 41 277 401 421 683 757
367 607 269 43 947 263 3 631 719 673 881 47 487
863 577 139 467 7 1009 457 839 11 599 349 313 307
563 379 709 359 877 293 821 661 191 103 271 337 373
233 617 17 751 229 647 397 571 809 691 281 251 443
181 223 811 857 541 677 619 107 613 151 83 727 347

Можно построить квадраты и для оставшихся двух вариантов массивов. Вполне возможно, что есть ещё варианты массивов.

[Nataly-Mak]

В Энциклопедии последовательностей появилась моя статья:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A165216
Теперь последовательность минимальных магических констант квадратов из простых чисел выглядит так:
$177, 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470$.
У меня готовы ещё две минимальные константы в эту последовательность: для квадратов 11-го и 12-го порядков, сами квадраты тоже готовы (они здесь показаны). Сейчас строю квадрат 13-го порядка из простых чисел (из простых чисел и числа 1 квадрат построен, но это в другую последовательность), если удастся, последовательность будет такая:
$177, 120, 233, 432, 733, 1154, 1731, 2470, 3417, 4584, 6013$.
К построению квадрата 14-го порядка пока не приступала, хотя минимально возможную константу вычислила - $7712$.

Хочу выразить благодарность maxal'у и Бодигриму: благодаря им я вышла на Энциклопедию последовательностей и написала в неё свою статью.

[maxal]

Nataly-Mak в сообщении #243257 писал(а):

В Энциклопедии последовательностей появилась моя статья:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A165216

Здорово. Только ваши значения должны были попасть в последовательность A164843, а не образовывать новую.
Я напишу Нилу, чтобы он объединил A165216 и A164843...

-- Sun Sep 13, 2009 23:02:18 --

Nataly-Mak в сообщении #242834 писал(а):

Не возьмётесь ли вы сообщить всю эту информацию в Энциклопедию последовательностей? Я сделала бы это сама, но боюсь, что письмо на русском языке там не примут, а по-английски не умею писать.

Послал в OEIS новые значения:
%S A073502 111,102,213,408,699,1114,1681,2416,3355,4514,5937

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #243258 писал(а):

Послал в OEIS новые значения:
%S A073502 111,102,213,408,699,1114,1681,2416,3355,4514,5937

Спасибо, это очень хорошо.
У меня готов наименьший квадрат 13-го порядка из простых чисел в классическом определении:

3 83 103 109 199 359 433 457 751 769 859 941 947
701 79 563 397 367 587 599 911 569 607 47 269 317
227 773 503 53 373 331 499 491 557 281 619 353 953
7 271 883 571 661 449 787 241 673 131 19 593 727
811 479 163 11 1009 757 641 211 683 251 487 71 439
23 401 937 827 857 137 337 521 277 107 653 293 643
239 307 431 347 881 379 983 977 743 409 113 167 37
193 467 389 877 617 5 67 829 181 421 797 263 907
919 547 691 853 41 677 311 229 197 31 523 821 173
89 631 929 13 443 541 349 761 887 577 127 283 383
863 419 97 233 463 991 149 191 179 809 647 659 313
967 733 101 1013 73 739 139 43 59 1019 509 461 157
971 823 223 709 29 61 719 151 257 601 613 839 17

Магическая константа этого квадрата равна $6013$.
Теперь надо не только объединить две указанные вами статьи, но и добавить в эту последовательность три новых значения: для квадратов порядков 11 - 13, которые построены уже после того, как в Энциклопедию была подана моя статья. Магические константы этих квадратов: $3417, 4584, 6013$. Все квадраты здесь показаны.