Бутылка Клейна

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244071 писал(а):

А ведь вовсе не факт, что реальное трёхмерное пространство, имеющее место быть вокруг нас, совпадает с евклидовым $\mathbb{R}^3$. Вроде ОТО говорит, что это не так

Вроде ОТО ничего про собственно $\mathbb{R}^3$ и не говорит.

Проф., я знаю, что Вы иногда склонны к безобидному флуду, но тут, мне кажется, это уж перебор.

[Профессор Снэйп]

VAL в сообщении #244075 писал(а):

Бутылка Клейна - поверхность односторонняя, поэтому по отношению к ней не применимы понятия "внутри" и "снаружи".

И ещё раз повторю, что с этим не согласен. Одно из другого не следует.

ewert в сообщении #244076 писал(а):

Проф., я знаю, что Вы иногда склонны к безобидному флуду, но тут, мне кажется, это уж перебор.

Чем ещё, кроме флуда, прикажете заниматься в дискуссионном разделе?

ОТО (и прочая физика) говорит нам о том, что значит "наливать воду". В частности, наливать жидкости можно только в реальном пространстве, а не в воображаемом. И ещё ОТО говорит, что реальное пространство --- оно отнюдь не $\mathbb{R}^3$, а гораздо более хитро устроенное (хоть и трёхмерное) многообразие.

[Black_Queen152]

В любую топологическую фигуру, имеющую 2мерную поверхность и находящуюся в 3мерном пространстве, можно налить воды! Достаточно деформировать какой-либо участок поверхности, получить "ямку" и заполнить ее водицей. В т.ч. и трехмерную модель бутылки Клейна А что понимать под водой в пространстве с 4мя пространственными координатами?

Кстати, всем доброго утра, дня, вечера и ночи! Я новенькая, так что не ругайте сильно за все сказанные здесь мной сейчас и в будущем глупости

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244084 писал(а):

И ещё ОТО говорит, что реальное пространство --- оно отнюдь не $\mathbb{R}^3$, а гораздо более хитро устроенное (хоть и трёхмерное) многообразие.

Да нет же. Она говорит, что несколько хитрее устроено не $\mathbb{R}^3$, а $\mathbb{R}^4$. И даже при этом воду ни в то, ни в другое -- не наливает.

[Профессор Снэйп]

Black_Queen152 в сообщении #244087 писал(а):

В любую топологическую фигуру, имеющую 2мерную поверхность и находящуюся в 3мерном пространстве, можно налить воды! Достаточно деформировать какой-либо участок поверхности, получить "ямку" и заполнить ее водицей.

Не, тут речь шла не о том, чтобы налить воды в маленький кусочек поверхности, а о том, чтобы заполнить водой весь объём, находящийся внутри поверхности. Если оно, конечно, есть, это "внутри"

Мой вопрос, собственно, в следующем: верно ли, что бутылку Клейна можно воспринимать как поверхность, ограничивающую некоторое компактное 3D-многообразие (естественно, не вкладываемое в $\mathbb{R}^3$)? Можно задаться также и другим вопросом, имеющим отношение скорее к физике (к ОТО или нет, не знаю): верно ли, что если ответ на предыдущий вопрос положителен, то подобное многообразие может быть вложено в реальное физическое пространство?

-- Чт сен 17, 2009 17:19:17 --

ewert в сообщении #244090 писал(а):

Да нет же. Она говорит, что несколько хитрее устроено не $\mathbb{R}^3$, а $\mathbb{R}^4$. И даже при этом воду ни в то, ни в другое -- не наливает.

Увы. Когда был молод, ещё интересовался ОТО, хотя по молодости был неспособен понять, о чём же именно она говорит. А когда повзрослел и стал способен понять, перестал интересоваться

Будем считать, что речь идёт о воображаемой (то есть "возможной") Вселенной

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244093 писал(а):

верно ли, что бутылку Клейна можно воспринимать как поверхность, ограничивающую некоторое компактное 3D-многообразие (естественно, не вкладываемое в $\mathbb R^3$)

А что такое "3D-многообразие в $\mathbb R^3$"? Такого просто не бывает.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #244094 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #244093 писал(а):

верно ли, что бутылку Клейна можно воспринимать как поверхность, ограничивающую некоторое компактное 3D-многообразие (естественно, не вкладываемое в $\mathbb R^3$)

А что такое "3D-многообразие в $\mathbb R^3$"? Такого просто не бывает.

Почему не бывает? Вам определение многообразия воспроизвести? Или определение вложимости?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244095 писал(а):

Почему не бывает? Вам определение многообразия воспроизвести? Или определение вложимости?

Не надо. Просто обратите внимание: в данном конкретном случае под 3D-многообразием Вы понимаете подмножество $\mathbb R^3$, якобы ограниченное той бутылью.

[EtCetera]

Профессор Снэйп

Профессор Снэйп в сообщении #244053 писал(а):

Ну вот возьмём ленту Мёбиуса... У неё один край. Но этот край ограничивает площадь --- саму ленту. Эту ленту можно считать состоящей из "плоской воды". И эта самая плоская вода за край ленты Мёбиуса не вытечет, край её действительно ограничивает со всех сторон. Если представить себе ленту, завёрнутую в 3D, то "плоская вода" может потечь через третье измерение --- "вверх" или "вниз", вокруг края, но не через край.

А ведь край ленты Мёбиуса --- это аналог бутылки Клейна, только на единицу меньшей размерности.

По аналогии кажется, что бутылка Клейна воду запрёт. То есть существует некое трёхмерное многообразие, край которого --- это бутылка Клейна (как двухмерное многообразие). И это трёхмерное многообразие ограничено со всех сторон краем-бутылкой Пусть оно состоит из воды. Вода не может протечь через край, так что она окажется запертой в бутылке, всё Ок.

Но это опять же по аналогии. Представить себе эту картинку воображения не хватает. Так же как не хватает, по большому счёту, воображения представить себе четырёхмерный куб и т. п.

Действительно, такое трехмерное многообразие должно существовать. И, соответственно, его можно "наполнить" "трехмерной водой". Однако здесь очевидна другая беда: также, как и в случае "наполнения" листа Мебиуса "наполнитель" существует в пространстве, размерность которого на единицу меньше, чем размерность пространства, в котором существует сосуд. Т.е. никакого физического смысла у данной операции быть не может. Так же, как в нашем родном пространстве совершенно бессмысленна двухмерная, плоская вода (как с точки зрения самой воды, так и с нашей точки зрения - ведь ее ни понюхать, ни пощупать, ни налить мы никуда не можем; такими способностями могут обладать только плоскатики).
...Написав это, я кажется понял то, что Вы имели в виду.
Действительно, будем действовать по аналогии: представим себе плоскатика, живущего в "клетке" в виде листа Мебиуса. Он отчетливо осознает, что его жизненное пространство - именно клетка, т.к. у нее есть край (как это было бы и в случае с круглой или квадратной стенкой), или стены с потолком в его понимании. Теперь представим средину этого листа Мебиуса - лист Мебиуса втрое (для определенности) меньшей ширины. Плоскатиком этот объект в его мирке будет распознаваться просто как некоторый предмет в его клетке (как, например, стул или закупоренный сосуд), т.к. у него так же есть ощутимый край. По аналогии - в квадратной камере висит квадратный НЛО. Плоскатик может догадаться, что объект-то - полый. И начать его бурить. Там вполне может оказаться полость (еще один лист Мебиуса, еще меньших размеров - с нашей точки зрения), в которой вполне может плескаться знакомая и любимая ему плоская, двухмерная вода.
Что не очень хорошо в данной аналогии? Стенки. В привычной жизни мы с ними никогда не сталкиваемся (точнее, планета Земля с ними не сталкивается). Более того, по нынешним представлениям Вселенная безгранична. Т.е. (с нашей точки зрения) без стенок. Чтобы устранить данную проблемку, нужно взять некое "безграничное" двухмерное многообразие, из которого можно "вырезать" лист Мебиуса. Если не ошибаюсь, бутылка Клейна (и даже ее трехмерная модель) прекрасно справляется с такой ролью. Впрочем, настаивать не буду, поэтому обозначим его просто "объект A". Итак, представим себе плоский мир, разместившийся на ("в") поверхности объекта A. В этом мире могут существовать целые аквариумы в виде листов Мебиуса. Если проделать дырку в "стенке" такого аквариума, в него даже можно будет налить (или вылить) плоскую воду.
Теперь можно с уверенностью ответить на поставленный заглавно-тематический вопрос. Да, можно, если представить наш мир в виде некоего трехмерного аналога объекта A. Причем, если в нем (мире, пространстве) когда-то удастся найти саму бутылку Клейна. И - только после ее (бутылки) бурения в некоторой точке поверхности. Иначе не нальешь: ведь бутылка по своей природе должна быть закупорена.
Уф, как много букв! Искренне сочувствую всем дочитавшим до конца...

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #244084 писал(а):

VAL в сообщении #244075 писал(а):

Бутылка Клейна - поверхность односторонняя, поэтому по отношению к ней не применимы понятия "внутри" и "снаружи".

И ещё раз повторю, что с этим не согласен. Одно из другого не следует.

Ваша аргументация с листом Мёбиуса ничего не доказывает. Вы говорите, что "плоская вода" не вытечет за край листа Мёбиуса, оставаясь на поверхности листа. Согласен. Но край листа Мёбиуса гомеоморфен обычной окружности и никакой односторонностью (или как это сказать?) не обладает.
Односторонней поверхностью является сам лист Мёбиуса. Поэтому, если смочить непроницаемый лист Мёбиуса водой "с одной стороны", то вода, не перетекая через край и не уходя с поверхности, сможет смочить весь лист.
Если же мы смочим одну сторону непроницаемой двусторонней поверхности с краем (или без оного), то вода, не перетекая через край и не выходя в пространство, до другой стороны не доберется.

Всё ещё не согласны?

PS: Опус EtCetera не осилил, потерял нить

[Профессор Снэйп]

VAL в сообщении #244163 писал(а):

Всё ещё не согласны?

Пока нет. Ответы завтра Может, опус осилю

[rishelie]

Мне так думается, что любая емкость, в которую можно что-то налить (в физическим смысле), должна быть как минимум гомеоморфна сфере $S^2$ с дыркой (или сфере с конечным числом дырок и конечным числом ручек ).
Более того, если мы туда-таки налили воду, этот самый объем воды должен быть гомеоморфен шару, причем, при данном гомеоморфизме бутылка переходит на границу этого шара и образует сферу с дыркой.

Можно, конечно, придумать более другие, извращенные сосуды, в которых внешняя поверхность сосуда вытянута, изогнута и погружена через горлышко в самое себя. Но тут возникают проблемы с законом о сообщающихся сосудах - ни в какой части сосуда вода не может быть выше своей поверхности, на которой работает поверхностное натяжение (т.е. имеет место быть соприкосновение с воздухом).
В невесомости, впрочем, такое возможно, но это по-просту эквивалетно погружению бутылки в воду и никак не ассоциируется с понятием "налить".

Кстати, эта самая поверхность воды, где образуется поверхностное натяжение, представляет собой плоскую фигуру, гомеоморфную кругу. Граница этого топологического круга лежит на поверхности бутылки, а сам круг вместе с бутылкой образуют топологическую сферу $S^2$ (опять же, можно еще ручки добавлять).
Теперь вопрос: как к бутылке Клейна приложить границу топологического круга так, чтобы все вместе было гомеоморфно сфере (или хотя бы сфере с ручками)?
Имхо, с неориентируемым многообразием сей фокус не пройдет.

А вот бутылки Клейна, в которые наливают пиво (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Acme_klein_bottle.jpg), имеют самопересечение, засчет которого нижнее отверстие можно непрерывно перетащить вверх и получить банальную кружку.

PS. ни ОТО, ни СТО тут, кстати, ни причем, т.к. обе оперируют законами одной системы отсчета относительно другой, причем системы при этом движутся с релятивистскими относительными скоростями (при малых скоростях вполне себе работает механика Ньютона в обычном $\mathbb{R}^3$). У нас же тут вообще одна система отсчета - сама бутылка, которая ко всему прочему еще и не реализуется в $\mathbb{R}^3$, а объем воды, между прочим - трехмерный объект. Другое дело, если мы захотим посмотреть на это с точки зрения теории струн или мембран %)

[Профессор Снэйп]

rishelie в сообщении #244233 писал(а):

Мне так думается, что любая емкость, в которую можно что-то налить (в физическим смысле), должна быть как минимум гомеоморфна сфере $S^2$ с дыркой (или сфере с конечным числом дырок и конечным числом ручек )

Что Вы тогда думаете насчёт приведённого мною выше примера, в котором край ленты Мёбиуса (я так понимаю, не гомеоморфный окружности с конечным числом "плоских ручек", хотя тут в силу слишком малой размерности невозможно приделывать ручки, не теряя связности) ограничивает саму ленту Мёбиуса?

-- Пт сен 18, 2009 22:09:22 --

rishelie в сообщении #244233 писал(а):

Имхо, с неориентируемым многообразием сей фокус не пройдет.

Не понимаю, почему все дружно думают, что если многообразие что-то ограничивает, то оно должно быть ориентируемым? У кого-то есть доказательство?

-- Пт сен 18, 2009 22:12:57 --

rishelie в сообщении #244233 писал(а):

ни ОТО, ни СТО тут, кстати, ни причем

Про ОТО я писал, имея в виду её как физическую теорию, описывающую геометрию реального пространства. Может, был и не прав. Если не прав, скажите, на какой раздел физики мне надо было ссылаться.

[terminator-II]

Профессор Снэйп в сообщении #243913 писал(а):

Если налить в бутылку Клейна воды, она из неё вытечет или нет?

нет, ответ очевиден просто из картинки.
Много тут всяких умных слов вспомнили про неориентируемость. Однако бутылка Клейна это не вложение, а погружение в $\mathbb{R}^3$ соответствующего неориентируемого двумерного многообразия. Так что..

[rishelie]

Профессор Снэйп в сообщении #244459 писал(а):

Что Вы тогда думаете насчёт приведённого мною выше примера, в котором край ленты Мёбиуса (я так понимаю, не гомеоморфный окружности с конечным числом "плоских ручек", хотя тут в силу слишком малой размерности невозможно приделывать ручки, не теряя связности) ограничивает саму ленту Мёбиуса?

Профессор Снэйп в сообщении #244053 писал(а):

Ну вот возьмём ленту Мёбиуса... У неё один край. Но этот край ограничивает площадь --- саму ленту. Эту ленту можно считать состоящей из "плоской воды". И эта самая плоская вода за край ленты Мёбиуса не вытечет, край её действительно ограничивает со всех сторон. Если представить себе ленту, завёрнутую в 3D, то "плоская вода" может потечь через третье измерение --- "вверх" или "вниз", вокруг края, но не через край.

А откуда, собственно, следует, что край ленты Мёбиуса ограничивает некоторую ленту Мёбиуса? И почему он не может быть краем семейства лент? Мы же можем взять любую ленту Мёбиуса и расслоить ее на две, оставляя общим их край, разве нет? И такой процедурой, боюсь, мы можем закрыть почти все $\mathbb{R}^3$. И в этом случае по какой же из многих лент должна течь плоская вода?
Если же лента предполагается заранее заданной, то тогда и в случае бутылки Клейна придется заранее задать некий объем, границей которого будет бутылка. Кстати, а существует ли трехмерное многообразие в $\mathbb{R}^4$, границей которого будет бутылка Клейна? Вообразить я себе такое сходу не могу...

Профессор Снэйп в сообщении #244459 писал(а):

Про ОТО я писал, имея в виду её как физическую теорию, описывающую геометрию реального пространства. Может, был и не прав. Если не прав, скажите, на какой раздел физики мне надо было ссылаться.

Теория суперструн или мембран, или М-теория Там аж до 12 измерений, большинство из которых "свернуты" на планковских размерах. Т.е., грубо гвооря, вместо линии следует рассматривать, например, трубку диаметром с атом водорода или, скажем, бутылку Клейна вместо окружности Впрочем, что в данном случае будет означать "наливание", сказать совершенно невозможно. Скорее, это будет сложение электромагнитных колебаний электронов в атомах водорода и кислорода с колебаниями вот этих струн. Тем более что электроны в теории струн вроде как сами представляются именно как колебания струн. Тут лучше физиков послушать, я сильно в тему не вникал.
А геометрия ОТО - это геометрия гравитации, т.е. квадратичные трехмерные многообразия в $\mathbb{R}^4$. Причем, они ориентируются с помощью вектора напряженности. По-моему, там даже в черной дыре пространство устроено проще, чем бутылка Клейна.