Часы

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Задача может в такой постановке считаться поставленной корректно, если ответ не будет зависеть от периода наблюдения (это тоже кстати надо показать), если же это не так, то тогда нужно указывать конкретный период времени.

А у нас нет периода наблюдения Вопрос звучит так: при случайном взгляде на часы, засекаем положение стрелок. Определить вероятность, к какой ближе.

[Sasha2]

Ну в этом случае вообще все просто, тогда пространство событий определяется множеством всех углов, которые могут образовывать минутная и часовая стрелка и множеством всех радиусов (точнее их декартовым произведением). Если немножко поднапрячься, то опять же это множество легко разбивается на два равномощных, из которых первое - это те, где секндная ближе к часовой, а второе - то, где наоборот.

[Capella]

Sasha2 писал(а):

Если немножко поднапрячься, то опять же это множество легко разбивается на два равномощных, из которых первое - это те, где секндная ближе к часовой, а второе - то, где наоборот.

Это утверждение не верно. Я не понимаю, почему-бы Вам не доказать это как-нибудь. А то мы тут до утра переписываться будем. (Ну или пока я у компа не рухну)

[Sasha2]

Что мне доказать - это верно. Ну что тут доказывать. В основе доказательства дежит простенькая теоремка из 6 класса по геометрии, о том, что равным дугам соответствуют равные углы, да о том, что любой диаметр делит окружность на две полуокружности, которые являются равными фигурами.

[Sasha2]

Более того Ваша эта постановка задачи, что мол "взглянем в любой момент" дает тот же ответ невзирая на скорость часовой и минутной стрелок и даже на направление их движения. То есть они вообще могут крутиться как угодно, с какими угодно скоростями и в какие угодно стороны. ВСЕ РАВНО ОТВЕТ 50%!!!

[Sasha2]

И еще хочу заметить, что решение задачи действительно зависит от указания периода наблюдения (попробуйте, например решить такую задачу, какова вероятность того, что, открыв глаза будет день, а не ночь? Ну понятно же, что если указать период наблюдения, например с 12 дня до 6 вечера - ответ будет один, а если сутки, то другой, так и здесь). Ваше "в любой момент времени" означает, все возможные положения часовых, минутных и секундных стрелок (конечно в предположении, что все моменты времени равнозначны, ну уж если это не так, то тогда - не знаю).

[Capella]

Sasha2

Извините конечно, но Ваша самоувереность не оправдана в данном случае. Я прошу Вас не голословно писать здесь какии-то ответы, а привести их доказательства. Или по крайней мере внимательно прочитать, что я Вам пишу...

sergey1
А какой временной интервал Вы рассматриваете? Мне кажется, там с хордами не так всё просто... Во первых все 3 стрелки движутся, во вторых, как там задашь хорды. По мому Вам придётся повторять всё для каждого часа (т.е. рассматривать периоды для минутной и секундной стрелки). По моему очень сложно. Мне кажется надо искать функциональную зависимость.

[evgeny]

Судя по всему ответ будет $\frac 12$ если $k$ нечетно (количество часов в сутках) иначе

$$ P = \frac 12 \pm \frac{\text{НОД}^2(n-1,k-1)}{2(2nk-k-1)(k-1)} $$

Причем вероятность больше быть ближе к часовой стелке меньше.
Для обычных часов получаем $P_{\text{мин}} =\frac 12\left(1+\frac{1}{15697}\right) $ и
$P_{\text{час}} =\frac 12\left(1+\frac{1}{15697}\right) $


Sasha2
Как-то странно пытаться придраться к условию задачи. Оборот

Цитата:

при случайном взгляде на часы

можно формализовать как много наблюдений за большой период времени (год скажем), но любому нормальному школьнику ясно, что достаточно рассмотреть период системы, т.е. промежуток времени через которой состояние системвы повторит исходное и найти ответ для него.

Цитата:

Ну в этом случае вообще все просто, тогда пространство событий определяется множеством всех углов, которые могут образовывать минутная и часовая стрелка и множеством всех радиусов (точнее их декартовым произведением). Если немножко поднапрячься, то опять же это множество легко разбивается на два равномощных, из которых первое - это те, где секндная ближе к часовой, а второе - то, где наоборот.

Ну пространство Вы определили, а вот меру на нем не подсчитали.

[Sasha2]

Ну хорошо, допустим Ваше утверждение верно, т.е. вероятность того, что секундная стрелка будет ближе (ну допустим к часовой) больше, чем к минутной или наоборот (что вобщем то неважно). Но тогда, все положения трех точек на окружности, соотвественно час., мин., и сек. исчерпываются обним оборотом часовой по циферблату и среди всех таких положений больше тех, в которых сек. стрелка ближе к одной из двух других. Хорошо тогда те же самые положения исчерпываются периодом времени сдвинутым на 6 часов, когда часовая стрелка занимает прямо противоположное положение, и тогда в эти 12 часов должно быть все наоборот, т.е. с одной стороны вероятность "секундная ближе к часовой" больше вероятности "секундная ближе к минутной", а в другом случае наоборот. Потиворечие легко разрешется, если допустить, что ни одно из чисел не может быть больше другого, т.е. они равны!!!

[evgeny]

Цитата:

Но тогда, все положения трех точек на окружности, соотвественно час., мин., и сек. исчерпываются обним оборотом часовой по циферблату и среди всех таких положений больше тех, в которых сек. стрелка ближе к одной из двух других. Хорошо тогда те же самые положения исчерпываются периодом времени сдвинутым на 6 часов, когда часовая стрелка занимает прямо противоположное положение, и тогда в эти 12 часов должно быть все наоборот, т.е. с одной стороны вероятность "секундная ближе к часовой" больше вероятности "секундная ближе к минутной", а в другом случае наоборот.

Почему все должно быть "наоборот" при сдиге на 6 часов?
1) 01:45:45 и 07:45:45 - сдвиг на 6 часов ничего не меняет - как минутная стрелка была ближе, там они и осталась
2) 01:10:35 и 07:10:35 сдвиг на 6 часов меняет ближайшую стрелку ( с минутной на часовую)

[evgeny]

Попробуйте рассмотреть пример для бегунов $\frac 12:1:2$, т.е.
сутки = 2 часа = 4 минуты = 8 секунд.
Тогда
$t\in(0\ \text{сек},\frac 85\ \text{сек})$ секундная стрелка ближе к минутной.
$t\in(\frac 85\ \text{сек},\frac {16}5\ \text{сек})$ секундная стрелка ближе к часовой.
$t\in(\frac {16}5\ \text{сек},\frac {24}5\ \text{сек})$ секундная стрелка ближе к минутной.
$t\in(\frac {24}5\ \text{сек},\frac {32}5\ \text{сек})$ секундная стрелка ближе к часовой.
$t\in(\frac {32}5\ \text{сек},\frac {40}5\ \text{сек})$ секундная стрелка ближе к минутной.


Т.е. $P_{\text{мин}} = \frac 3 5$, а $P_{\text{час}} = \frac 2 5$

[vita]

2 evgeny

а вы не могли бы сосчитать для (1/3) : 1 : 3 и 1/3 : 1 : 2
и коротко объяснить, как считаете

простите за наглость

[sergey1]

2Capella

По-моему, промежуток естественно считать равным 12 часам.

Пусть стрелки имеют одинаковую длину, обозначим через t ориентированный угол от 12 часов до часовой стрелки, а концы часовой, минутной и секундной стрелок точками Ч, М, С соответственно. Тогда текущие координаты имеют вид: Ч(cost, sint), M(cos12t, sin12t), C(cos720t, sin720t). Найдем длины хорд СЧ и СМ.
Запишем неравенство МС>ЧС в координатах, оно выполняется тогда и только тогда, когда угол между минутной и секундной стрелками больше, чем между часовой и секундной.
Возведя в квадрат и преобразовав получим тригонометрическое неравенство: cos(719t)>=cos(708t) на (0,2пи).
Получим задачу: найти отношение суммы длин промежутков, удовлетворяющих этому неравенству к длине всего промежутка 2пи.

[evgeny]

Рассмотрим часовую стрелку, проходящую весь циферблат за $1$ - она двигается со скоростью $1$, минутную со скоростью $k$ и секундную со скоростью $nk$.
Как легко понять события, меняющие ближайшую стрелку бывают двух типов
1) совпадение стрелок (часовой и минутной) - это происходит с периодичностью $ \frac{1}{k-1}$
2) попадание секуднной стрелки на биссектрису двух других - это происходит с периодичностью

$$ \displaystyle\frac{\frac 12}{nk-\frac12(k+1)}$$

Каждое такое событие меняет ближайшую стрелку (два события одновременно ничего не меняют).
Таким образом разбив весь временной интервал на отрезки длины $\frac{1}{(k-1)(2nk-k-1)}$ получаем задачу "о лишней еденице", упоминавшуюся bot в самом начале

[bot]

Судя по всему evgeny добил. Во всяком случае он верно сформулировал причину явления:

Цитата:

1) совпадение стрелок
2) попадание секундной стрелки на биссектрису

Детали проверю позже. Впрочем, он и сам может это сделать по следующей частности:

Вероятность быть ближе к минутной равна 0.5, если $Ord_2 (n-1) > Ord_2 (k-1)$
и больше 0.5 - в противном случае.

Что касается корректности, то задачу можно сформулировать следующим образом: какую долю времени в течении произвольных 12 часов секундная стрелка будет ближе к минутной, чем к часовой.
Так как всё движение совершается периодически, то ответ очевидно не будет зависеть от момента начала отсчёта. Разумеется ещё надо учесть, что в момент 00 час 00 мин 00 сек все стрелки совпадают.
Вот если брать бегунов с иррациональными отношениями скоростей, то проблема корректности конечно возникает. Тут я даже слегка сомневаюсь, можно ли ставить такую задачу. Если можно, то других претендентов, кроме 0.5 я не вижу.