Бутылка Клейна

[Профессор Снэйп]

Если налить в бутылку Клейна воды, она из неё вытечет или нет?

[Mathusic]

Смотря какую её реализацию рассмотреть и сколько воды влить...

[jetyb]

Помнится классе в девятом я делал из бумаги модель бутылки Клейна. Она была похожа на кружку, дно которой уходило внутрь ее ручки. Вода могла заполнить(в условиях тяготения, конечно) весь объем "кружки".

[meduza]

В бутылку клейна можно налить воды. Но объём, конечно, не бесконечный.

[Hottabych]

Насколько я понимаю, бутылка Клейна - это объект четырехмерного пространства, а вода трехмерная.
ИМХО Вопрос не имеет смысла.

[Профессор Снэйп]

Hottabych в сообщении #243965 писал(а):

Насколько я понимаю, бутылка Клейна - это объект четырехмерного пространства, а вода трехмерная.

Бутылка Клейна --- это вообще не "объект $n$-мерного пространства" для любого $n$. Она сама по себе

Некое связное топологическое многообразие, внутренняя размерность которого равна $2$. Да, её можно вложить в $\mathbb{R}^4$, а в $\mathbb{R}^3$ нельзя. Но я не уверен, что на основании этого можно говорить, будто бутылка Клейна --- "объект $\mathbb{R}^4$".

А вот "сила тяжести" --- воистину "объект трёхмерного пространства". Так что привлекать её как-то странно.

Наверное, стоит спросить так: если в бутылку Клейна налить воды и заткнуть её пробкой, будет ли вода выливаться, если бутылку трясти В первую очередь тут непонятно, что значит "налить воды"

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #243971 писал(а):

Наверное, стоит спросить так: если в бутылку Клейна налить воды и заткнуть её пробкой, будет ли вода выливаться, если бутылку трясти В первую очередь тут непонятно, что значит "налить воды"

Не более понятно в каком месте затыкать пробкой. Все же это поверхность без края.
Что же до "налить", то тут-то, как раз, понятно. Поверхность одностороняя, "внутри" от "снаружи" не отличается. Поэтому налить нельзя.

PS: Вспомнилось:
...
Приличный с виду лектор рассказывал про вектор.
О странностях узнали мы потом,
Когда в бутылку Клейна налил себе портвейна
И закусил декартовым листом.
$*\hspace{3cm}*$ (Ю.Г. Крячков)

[meduza]

Hottabych в сообщении #243965 писал(а):

Насколько я понимаю, бутылка Клейна - это объект четырехмерного пространства, а вода трехмерная.

И бутылка Клейна 3-хмерная! Где вы там 4-ое измерение нашли? Бутылка Клейна --это не "мысленная" форма, такую бутылку можно изготовить и вы можете ее пощупать пальцами, так же как лист Мебиуса. В сети легко можно найти магазины, торгующие бутылками клейна, вот навскидку.

VAL в сообщении #243994 писал(а):

Что же до "налить", то тут-то, как раз, понятно. Поверхность одностороняя, "внутри" от "снаружи" не отличается. Поэтому налить нельзя.

Можно! Бутылку Клейна можно деформировть даже до формы, близкую к обычной кружке и пользоваться ей можно также как обычной кружкой. Про пробку затрудняюсь ответить, возможно если и закупорить ей что-то, то достаточно будет перевернуть или наклонить бутылку, как вода по стенке вытечет оттуда. Я полагаю, что заткнуть пробкой так, чтобы из бутылки Клейна получилась герметичная емкость нельзя. Но налить воды туда можно. На приведенном выше сайте есть даже фотка с налитой жидкостью в бутылку Клейна.

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #243971 писал(а):

Бутылка Клейна --- это вообще не "объект $n$-мерного пространства" для любого $n$. Она сама по себе

Это верно, но -- только до тех пор, пока не пытаться в неё чего-то налить. В трёхмерном пространстве -- можно (во всяком случае, пиво по таким бутылкам успешно разливали). А вот в четырёхмерном -- уже никак: будучи двумерным объектом, она никак и ни с какой стороны не ограничивает никакого объёма.

[Профессор Снэйп]

Ну вот возьмём ленту Мёбиуса... У неё один край. Но этот край ограничивает площадь --- саму ленту. Эту ленту можно считать состоящей из "плоской воды". И эта самая плоская вода за край ленты Мёбиуса не вытечет, край её действительно ограничивает со всех сторон. Если представить себе ленту, завёрнутую в 3D, то "плоская вода" может потечь через третье измерение --- "вверх" или "вниз", вокруг края, но не через край.

А ведь край ленты Мёбиуса --- это аналог бутылки Клейна, только на единицу меньшей размерности.

По аналогии кажется, что бутылка Клейна воду запрёт. То есть существует некое трёхмерное многообразие, край которого --- это бутылка Клейна (как двухмерное многообразие). И это трёхмерное многообразие ограничено со всех сторон краем-бутылкой Пусть оно состоит из воды. Вода не может протечь через край, так что она окажется запертой в бутылке, всё Ок.

Но это опять же по аналогии. Представить себе эту картинку воображения не хватает. Так же как не хватает, по большому счёту, воображения представить себе четырёхмерный куб и т. п.

Я считаю, что в бутылку Клейна можно "налить" воду (пробка в натуре не нужна ) и воде будет некуда выливаться. Но до конца не уверен. Хотелось бы послушать специалистов-топологов.

-- Чт сен 17, 2009 16:11:43 --

meduza в сообщении #244012 писал(а):

Бутылка Клейна --это не "мысленная" форма, такую бутылку можно изготовить и вы можете ее пощупать пальцами...

Это не совсем бутылки Клейна, а просто некоторые модели, страдающие недостатком самопересечения. По настоящему бутылку Клейна в 3D изготовить нельзя!

-- Чт сен 17, 2009 16:12:47 --

VAL в сообщении #243994 писал(а):

Поверхность одностороняя, "внутри" от "снаружи" не отличается. Поэтому налить нельзя.

Ну и что? Пример с краем ленты Мёбиуса показывает, что одно из другого не следует!!!

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244053 писал(а):

Я считаю, что в бутылку Клейна можно "налить" воду (пробка в натуре не нужна ) и воде будет некуда выливаться. Но до конца не уверен. Хотелось бы послушать специалистов-топологов.

Я абсолютно не тополог, но. Совершенно очевидно: залить ту бутылку любой приятной на вкус жидкостью можно, но тогда та жидкость заполнит собой всё пространство. По тривиальной причине: поскольку поверхность бутылки -- односторонняя.

Впрочем, никто не в силах запретить налить жидкость лишь на донышко бутылки, и потом приятно побулькивать.

-- Чт сен 17, 2009 14:29:09 --

Профессор Снэйп в сообщении #244053 писал(а):

Ну и что? Пример с краем ленты Мёбиуса показывает, что одно из другого не следует!!!

Не показывает. Край ленты Мёбиуса -- это граница некоторого многообразия меньшей размерности, в то время как бутылка -- по замыслу, должна служить границей некоей области во всём пространстве. Вещи разные.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #244060 писал(а):

Я абсолютно не тополог, но. Совершенно очевидно: залить ту бутылку любой приятной на вкус жидкостью можно, но тогда та жидкость заполнит собой всё пространство. По тривиальной причине: поскольку поверхность бутылки -- односторонняя.

Не согласен!!!

Вот представьте себе край ленты Мёбиуса. Он тоже "односторонний". Но вполне конкретную компактную поверхность при этом ограничивает!

Из того, что поверхность односторонняя, не следует, что нет конечного объёма, ограниченного этой поверхностью.

-- Чт сен 17, 2009 16:33:21 --

ewert в сообщении #244060 писал(а):

Край ленты Мёбиуса -- это граница некоторого многообразия меньшей размерности, в то время как бутылка -- по замыслу, должна служить границей некоей области во всём пространстве. Вещи разные.

Вы сами себе противоречите. Край ленты Мёбиуса --- одномерное многообразие, ограничивает некоторое компактное двумерное многообразие. Бутылка Клейна --- двумерное мнообразие, почему бы ей не ограничивать некое компактное трёхмерное многообразие? Что здесь такого невозможного?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #244062 писал(а):

Вы сами себе противоречите. Край ленты Мёбиуса --- одномерное многообразие, ограничивает некоторое компактное двумерное многообразие. Бутылка Клейна --- двумерное мнообразие, почему бы ей не ограничивать некое компактное трёхмерное многообразие? Что здесь такого невозможного?

Невозможно отождествить всё пространство с произвольным многообразием. У них совершенно разные свойства. В первом случае -- существенно более простые.

Конкретнее: ленту Мёбиуса невозможно представить как часть плоскости. А вот всё трёхмерное пространство представить как часть трёхмерного пространства, совпадающую с ним самим -- это запросто.

[Профессор Снэйп]

ewert в сообщении #244065 писал(а):

Невозможно отождествить всё пространство с произвольным многообразием. У них совершенно разные свойства. В первом случае -- существенно более простые.

А ведь вовсе не факт, что реальное трёхмерное пространство, имеющее место быть вокруг нас, совпадает с евклидовым $\mathbb{R}^3$. Вроде ОТО говорит, что это не так

Может, если взять большую бутылку, размеры которой сравнимы с размерами Вселенной, то она как раз бутылкой Клейна и окажется? И мы нальём в неё воду, и будет вода за стеклом, и не будет воды снаружи, и сквозь стекло вода не просочится?..

В любом случае можно представить себе (пусть даже воображаемую) трёхмерную Вселенную, частью которой будет вполне нормальная бутылка Клейна без самопересечений. И вот она-то воду внутри себя запрёт

[VAL]

meduza в сообщении #244012 писал(а):

Hottabych в сообщении #243965 писал(а):

Насколько я понимаю, бутылка Клейна - это объект четырехмерного пространства, а вода трехмерная.

И бутылка Клейна 3-хмерная! Где вы там 4-ое измерение нашли?

Как тут уже было верно отмечено, сама поверхность, называемая бутылкой Клейна, двумерна. Но вложить ее в трехмерное пространство без самопересечения нельзя.

Цитата:

Бутылка Клейна --это не "мысленная" форма, такую бутылку можно изготовить и вы можете ее пощупать пальцами, так же как лист Мебиуса. В сети легко можно найти магазины, торгующие бутылками клейна, вот навскидку.

В магазинах много чего можно найти. В свое время активно рекламировали Кремлевскую таблетку, помогающую от всех болезней, затем циркониевые браслеты, с примерно такими же функциями...

Цитата:

VAL в сообщении #243994 писал(а):

Что же до "налить", то тут-то, как раз, понятно. Поверхность одностороняя, "внутри" от "снаружи" не отличается. Поэтому налить нельзя.

Можно! Бутылку Клейна можно деформировть даже до формы, близкую к обычной кружке и пользоваться ей можно также как обычной кружкой.

Еще раз. Я веду речь о математическом объекте, а не о модельке. Бутылка Клейна - поверхность односторонняя, поэтому по отношению к ней не применимы понятия "внутри" и "снаружи".