Поле из 6 элементов

[id]

Вопрос - почему оно не существует?
То есть, конечно, долгим перебором возможных значений в таблице умножения/сложения можно получить решение, но нет ли какого-нибудь наблюдения, этот процесс упрощающего?

[jetyb]

Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени.

[Профессор Снэйп]

А характеристика является простым числом

Если вкратце схему доказательства набросать... Вот в поле есть элемент $1$. Значит, есть элементы $2 = 1 + 1$, $3 = 2 + 1$ и т. д. Но так как поле конечно, то найдётся элемент $p$ (равный сумме $p$ единиц), такой что $p=0$. Если взять минимальное число $p$ с этим свойством, то оно будет простым (ибо в поле нет делителей нуля). Далее, отождествляя каждый элемент поля $\mathbb{Z}_p$ с суммой нужного числа единиц, получаем изоморфное вложение. То есть любое конечного поле $F$ содержит в себе подполе, изоморфное $\mathbb{Z}_p$ для подходящего простого $p$. Далее, само $F$ можно теперь рассматривать как векторное пространство над $\mathbb{Z}_p$. У него есть размерность, равная некоторому натуральному числу $n$. И получается, что $F$ содержит ровно $p^n$ элементов.

Число же $6 = 2 \cdot 3$ не является степенью простого числа.

[id]

jetyb
Профессор Снэйп

Цитата:

Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени.

Вот этого не знал. То есть про характеристику и ее простоту знал, а вот рассматривать как в.п. над $Z_p$ не догадался.

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Эта теорема (о числе элементов конечного поля) значительно интереснее в обратную сторону: для каждого простого $p$ и натурального $n>0$ найдётся единственное (с точностью до изоморфизма) поле, состоящее ровно из $p^n$ элементов. А ещё есть теорема Веддербёрна, которая гласит, что каждое конечное тело является полем.

[id]

А, нашел эту часть у Винберга, буду просвещаться.

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #243874 писал(а):

А характеристика является простым числом

Если вкратце схему доказательства набросать... Вот в поле есть элемент $1$. Значит, есть элементы $2 = 1 + 1$, $3 = 2 + 1$ и т. д. Но так как поле конечно, то найдётся элемент $p$ (равный сумме $p$ единиц), такой что $p=0$. Если взять минимальное число $p$ с этим свойством, то оно будет простым (ибо в поле нет делителей нуля). Далее, отождествляя каждый элемент поля $\mathbb{Z}_p$ с суммой нужного числа единиц, получаем изоморфное вложение. То есть любое конечного поле $F$ содержит в себе подполе, изоморфное $\mathbb{Z}_p$ для подходящего простого $p$. Далее, само $F$ можно теперь рассматривать как векторное пространство над $\mathbb{Z}_p$. У него есть размерность, равная некоторому натуральному числу $n$. И получается, что $F$ содержит ровно $p^n$ элементов.

Число же $6 = 2 \cdot 3$ не является степенью простого числа.

Профессор, так не честно. Обещали набросок, а привели практически полное доказательство

[Профессор Снэйп]

VAL в сообщении #243951 писал(а):

Обещали набросок, а привели практически полное доказательство

Ой, да ладно, придраться можно. Причём ко многому.

Например, из конечности напрямую не следует $p=0$, а только $p=q$ при некотором $q \geqslant 0$. То, что $q = 0$, надо доказывать, исходя из аксиом поля. Есть также другие моменты...

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #243970 писал(а):

VAL в сообщении #243951 писал(а):

Обещали набросок, а привели практически полное доказательство

Ой, да ладно, придраться можно. Причём ко многому.

Можно, даже к самому началу.
Кроме нуля в поле есть также 1, 2, ... , а далее используется отсутствие делителей нуля. Пропущена необходимая для этого связь $n\cdot x = x+x+ ... + x$

[VAL]

Профессор Снэйп в сообщении #243970 писал(а):

VAL в сообщении #243951 писал(а):

Обещали набросок, а привели практически полное доказательство

Ой, да ладно, придраться можно. Причём ко многому.

Придраться можно практически к любому доказательству. Было бы желание.

Но меня студенты давно отучили придираться к деталям. Если в ответе присутствует понимание принципиальных моментов, я уже несказанно рад. А к деталям не цепляюсь: боюсь лишить себя этой редкой радости. Впрочем, это уже разговор для раздела "Вопросы преподавания"