А характеристика является простым числом
![Smile :)](./images/smilies/icon_smile.gif)
Если вкратце схему доказательства набросать... Вот в поле есть элемент
![$1$ $1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/4/034d0a6be0424bffe9a6e7ac9236c0f582.png)
. Значит, есть элементы
![$2 = 1 + 1$ $2 = 1 + 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/4/404e67fc08f38347861e5c7f53a4451b82.png)
,
![$3 = 2 + 1$ $3 = 2 + 1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/e/b2e889fd2a511a31a10afa14ed892bbb82.png)
и т. д. Но так как поле конечно, то найдётся элемент
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
(равный сумме
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
единиц), такой что
![$p=0$ $p=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/2/a32f79dc69538108b6040ac85599328582.png)
. Если взять минимальное число
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
с этим свойством, то оно будет простым (ибо в поле нет делителей нуля). Далее, отождествляя каждый элемент поля
![$\mathbb{Z}_p$ $\mathbb{Z}_p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/2/f627272d293c812bbe5497a7141010ca82.png)
с суммой нужного числа единиц, получаем изоморфное вложение. То есть любое конечного поле
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
содержит в себе подполе, изоморфное
![$\mathbb{Z}_p$ $\mathbb{Z}_p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/2/f627272d293c812bbe5497a7141010ca82.png)
для подходящего простого
![$p$ $p$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ec6e630f199f589a2402fdf3e0289d582.png)
. Далее, само
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
можно теперь рассматривать как векторное пространство над
![$\mathbb{Z}_p$ $\mathbb{Z}_p$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/2/f627272d293c812bbe5497a7141010ca82.png)
. У него есть размерность, равная некоторому натуральному числу
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
. И получается, что
![$F$ $F$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8bc815b5e9d5177af01fd4d3d3c2f1082.png)
содержит ровно
![$p^n$ $p^n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/6/0/e6039ae8422db33ad5315a5a1e8b0c6282.png)
элементов.
Число же
![$6 = 2 \cdot 3$ $6 = 2 \cdot 3$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/b/1eb8c0bdaf627a2a882efe38d6e1cd8b82.png)
не является степенью простого числа.