А характеристика является простым числом

Если вкратце схему доказательства набросать... Вот в поле есть элемент

. Значит, есть элементы

,

и т. д. Но так как поле конечно, то найдётся элемент

(равный сумме

единиц), такой что

. Если взять минимальное число

с этим свойством, то оно будет простым (ибо в поле нет делителей нуля). Далее, отождествляя каждый элемент поля

с суммой нужного числа единиц, получаем изоморфное вложение. То есть любое конечного поле

содержит в себе подполе, изоморфное

для подходящего простого

. Далее, само

можно теперь рассматривать как векторное пространство над

. У него есть размерность, равная некоторому натуральному числу

. И получается, что

содержит ровно

элементов.
Число же

не является степенью простого числа.