Однородный симметричный многочлен

[Edward_Tur]

Пускай $P(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n )$ - однородный симметричный многочлен степени $n$. Найти наименьшее $n$ такое, что $P(x_1 ,1, \ldots ,1) \ge 0$ для всех $x_1 \ge 0$ и существует неотрицательный набор $(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n )$ такой, что $P(x_1 ,x_2 , \ldots ,x_n ) < 0$

[Imperator]

Пусть для n>1 $P(x_{1},x_{2},...,x_{n})=-(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}(x_{3}-x_{4})^2*...*(x_{n-1}-x_{n})^2(x_n}-x_{1})^2$.

Очевидно, что при $n=2$ данный многочлен не удовлетворяет указанным требованиям, а уже при $n=3$ можно указать неотрицательные наборы $(x_{1},x_{2},x_{3}),$ где все $x_{i}$ попарно различны и положительны, на которых этот многочлен принимает отрицательные значения.

Стало быть, $n=3.$

[Edward_Tur]

Указанный многочлен шестой степени, а не третьей !

[Imperator]

Edward_Tur писал(а):

Указанный многочлен шестой степени, а не третьей !

Да, согласен, не заметил условие про степень многочлена.

[ddn]

При $n=3$ невозможно, так как условием локального экстремума многочлена $P(x_1,x_2,x_3)$ является равенство хотя бы двух переменных из трех, и тогда:
$P_{extr}=P(x,x,y)=x^3P(1,1,\frac{y}{x})\geqslant 0$ при $x>0$ и $y\geqslant 0$
$P_{extr}=P(0,0,y)=ay^3\geqslant 0$ при $x=0$ и $y\geqslant 0$

При $n=4$ имеем общий вид
$P=a(x^4+y^4+z^4+w^4)+$
$+b(x^3(y+z+w)+y^3(x+z+w)+z^3(x+y+w)+w^3*(x+y+z))+$
$+c(x^2(y^2+z^2+w^2)+y^2(z^2+w^2)+z^2w^2)+$
$+dxyzw$
и можно найти (с трудом!) одно из решений:
$a=1$, $b=-1.5$, $c=2.21$, $d=1$
$P(x,1,1,1)>0$
$P(2,2,1,1)=-0.07<0$

Значит, $n=4$ - искомое решение.
Это, конечно, не олимпиадное решение задачи. Это так, для сведения.

[Edward_Tur]

“Олимпиадное” решение:
$n = 4: $
$P(x,y,z,t) = (x^4 + \ldots ) + a(x^3 y + \ldots ) + b(x^2 y^2 + \ldots ) + c(x^2 yz + \ldots ) + dxyzt$
Положим $d = - 12a - 6b - 12c - 4$ так чтобы, $P(1,1,1,1) =0$
Поскольку
$P(x,1,1,1) = (x - 1)^2 \left( {x^2 + (3a + 2)x + 6a + 3b + 3c + 3} \right) $,
$P(x,x,1,1) = (x - 1)^2 \left( {(2a + b + 2)x^2 + (8a + 2b + 4c + 4)x + 2a + b + 2} \right) $,
то достаточно выбрать коэффициенты так, чтобы
$x^2 + (3a + 2)x + 6a + 3b + 3c + 3 \ge 0$ для всех неотрицательных $x $ ,
$ (2a + b + 2)x^2 + (8a + 2b + 4c + 4)x + 2a + b + 2 < 0$ для некоторого положительного $x $.
Например, $a = 0, b = - 3, c = 2, d = - 10$.

Аналогичное решение для $n = 3$ приводит к неравенству Шура.

[Edward_Tur]

Пускай $P(x, y, z )$ - однородный симметричный многочлен степени $n$. Найти наименьшее $n$ такое, что $P(x, 1, 1) \ge 0$ для всех $x \ge 0$ и существует неотрицательный набор $(x, y, z )$ такой, что $P(x, y, z) < 0$

[Sonic86]

Кажется, таких $n$ нет.
Обозначим $a = \frac{x}{z},b = \frac{y}{z}$ и введем $f(a,b)=z^{-n}P(x,y,z)$. Так как $P$ - однородный, то $P(x,y,z)=\sum\limits_{i+j+k=n}c_{ijk}x^iy^jz^k$, где $c_{ijk}=c{jik}=...$. Тогда $f(a,b)=\sum\limits_{i+j+k=n}c_{ijk}x^iy^j$. Искомый $P$ существует, если и только если существует $f:(\forall a)f(a,1) \geq 0$ и есть точка $(a^*,b^*)$ $f(a^*,b^*)<0$.
Сгруппируем члены с симметричными коэффициентами:

$$P(x,y,z)=\sum\limits_{i+j+k=n, i \leq j \leq k}c_{ijk}(x^iy^jz^k+x^iy^kz^j+x^jy^iz^k+x^jy^kz^i+x^ky^iz^j+x^ky^jz^i)$$

Тогда

$$f(a,b)=\sum\limits_{i+j+k=n, i \leq j \leq k}c_{ijk}(a^ib^j+a^ib^k+a^jb^i+a^jb^k+a^kb^i+a^kb^j)$$

- симметричный многочлен от 2-х переменных. Если есть точка, где этот многочлен меньше нуля, то он в точке минимума также меньше нуля. Попытавшись найти его экстремум обычным способом, приходим к выводу, что $a^*=0$, либо $b^*=0$, либо $a^*=b^*$.
Предположим последнее. Тогда

$$f(a,a)=\sum\limits_{i+j+k=n, i \leq j \leq k}2c_{ijk}(a^{i+j}+a^{i+k}+a^{j+k})<0$$

Но

$$f(a,1)=\sum\limits_{i+j+k=n, i \leq j \leq k}2c_{ijk}(a^i+a^j+a^k)$$

, а

$$a^nf(\frac{1}{a},1)=\sum\limits_{i+j+k=n, i \leq j \leq k}2c_{ijk}(a^{n-i}+a^{n-j}+a^{n-k})=f(a,a)$$

Поэтому случай $a^*,b^*>0$ невозможен. Отсюда следует, что $P$ имеет не более 2-х переменных.

[Edward_Tur]

Выше Imperator привёл пример, из которого следует, что $n\leq 6$.
$uvw$ метод Arqady даёт $n>5$

[nn910]

Edward_Tur в сообщении #243482 писал(а):

$uvw$ метод Arqady даёт $n>5$

Вы ссылаетесь на то, что ,кажется,не опубликовано ни на этом форуме,ни где-то еще :?: . Причем сам arqady теоретически в сети но практически молчит. Не могли бы Вы пояснить Ваше утверждение или дать ссылку?

[Edward_Tur]

"Квант" № 2 2009 М.Горелов "Неравенства и ... параллельный перенос" = метод Arqady !?

[nn910]

Edward_Tur в сообщении #243736 писал(а):

"Квант" № 2 2009 М.Горелов "Неравенства и ... параллельный перенос" = метод Arqady !?

Спасибо, рад что все живет и движется

[Sonic86]

Edward_Tur писал(а):

Выше Imperator привёл пример, из которого следует, что $n\leq 6$

Sonic86 писал(а):

Если есть точка, где этот многочлен меньше нуля, то он в точке минимума также меньше нуля.

Ошибка здесь - предположил существование минимума. У функции-контрпримера Imperatora минимума в $\mathbb{R}_+^3$ нету. Если же минимум есть, то, наверное, такого многочлена все же нет, хотя строго не уверен...

[arqady]

nn910 в сообщении #243601 писал(а):

Причем сам arqady теоретически в сети но практически молчит.

У меня сломался компьютор и не было времени его быстро купить.

Edward_Tur в сообщении #243736 писал(а):

"Квант" № 2 2009 М.Горелов "Неравенства и ... параллельный перенос" = метод Arqady !?

Интересно было бы почитать.
Кстати, из названия статьи следует, что имеются в виду только лишь шевеления $w^3$,
тогда как шевеления, например, $v^2$ (а это уже поворот!) приводят к тем же результатам.

[Edward_Tur]

Г-н Arqady! Последний доступный № журнала "Квант" в интернете - № 2 за 2008 год. Может отсканировать Вам статью и выставить на форуме?