2age
grisaniaВ MathCad делал через
solve по переменной
.
Да, согласен они не взаимно простые.
Тогда уравнение 2 исключается из рассмотрения и остаются два уравнения:
,
.
,
.
------------------------------------------
Почему 2 уравнения? Наверно для двух уравнений
и
Для
во втором уравнении MathCad выдал вещественное решение
Сведение из начал алгебры.
Уравнение нечётной степени
всегда имеет, как минимум, один вещественный корень. И незачем было мучать MathCad.
Если дискриминант кубического уравнения отрицателен, то уравнение имеет один вещественный корень и два комплексно сопряжённых, в противном случае все три корня вещественны.
Спасибо большое. Век живи, век учись как говорится. Хотя я это смутно вроде помнил, но можно этого и не знать и про Дискримант Кардано тож, а использовать великие формулы Виета. Если корни у обоих уравнений только мнимые, то доказывать нечего.
Если есть вещественный целый корень, то нетрудно видеть, что он представляется в виде
для 1-ого уравнения и в виде
для 2-ого. Если все мнимые, то доказывать нечего.
Пусть все корни вещественны и целые,
Произведение вещественных корней 1-ого уравнения имеет вид
, а по формулам Виета это равно
Противоречие.
Произведение вещественных корней 2-ого уравнения имеет вид
, а по формулам Виета это равно
Противоречие.
Осталось возня, когда один вещественный корень целый и два комплексных с целыми компонентами, но и это преодолимо. Действительно, нетрудно видеть, что в этом случае два комплексных с целыми компонентами комплексно сопряженны. Привлекая все три формулы Виета и используя вид вещественных целых корней, получаем доказательство