Про 0 и про бесконечность.

[master]

ZVS в сообщении #242463 писал(а):

Кстати, если два элемента множества , есть один и тот же элемент,как можно их разделить? То есть элемент А и элемент А, кроме раздельного написания, как-то отличаются?По какому праву мы их пишем как пару?Я и Я, это двое или один?

Вот и мне хочется это понять. для меня множество $\{2,2\}$ это $\{a,b\}$ где $R_a=2, R_b=2$

[Профессор Снэйп]

ZVS в сообщении #242463 писал(а):

Я и Я, это двое или один?

Один. $\{ \text{Я}, \text{Я} \} = \{ \text{Я} \}$. Если двое, то это называется не множество, а мультимножество

ZVS в сообщении #242463 писал(а):

По какому праву мы их пишем как пару?

По священному праву свободы записи. Как хочу, так и пишу, ибо не запрещено конституцией. Могу хоть три раза написать.

Господа. Я понимаю, что тема в дискуссионном разделе, на настолько нелепый флуд даже здесь не ожидал увидеть. Причём когда вполне "продвинутые" товарищи типа ewert начинают гнать пургу, становится особенно грустно.

[gris]

Это master завёл дискуссию в логово аксиоматики теории множеств. Вот увидите, что он ещё и от аксиомы выбора предложит отказаться. Вроде бы невинные и наивные вопросы, а как хитро сплёл паутину.
master, если уж говорить в терминах Куратовского, то $\{a,a\}$ можно записать как $\{a\}$, и это тоже будет неупорядоченной парой.
Если уж Вам хочется определить вектор как пару точек, то это будет упорядоченная пара. Но так поступать нельзя. Уже есть определение вектора как элемента векторного пространства. Для школьников можно говорить - назовём вектором направленный отрезок. Имея ввиду, что в дальнейшем мы научим их складывать векторы и умножать на числа, и свойства этих операций будут удовлетворять аксиомам векторного пространства. Потом расскажем про координаты, научим скалярному произведению и вычислению угла между ними. И скажем, что перпендикулярность и равенство нулю скалярного произведения равносильны. И отметим особое свойство нулевого вектора.
А вот тут мы возвращаемся к вопросу - может ли быть отрезок нулевой длины. Понятие отрезка вводится на первых уроках в 7 классе. Концы отрезка - различные точки, и длина его больше 0. Среднему 12-летнему школьнику ещё трудно оперировать с вырожденными случаями. За два года он уже выйдет с помощью изучения геометрии на достаточный уровень абстрактного мышления, и в конце 8 класса ему будет сказано, что конец вектора может совпадать с его началом. Такой вектор называется нулевым. Длину его считаем равной 0. О направлении не говорим.
Ежели Вы хотите рассуждать о высшей математике на уровне 7-го класса, то Вам надобно к Ширшову. Он отличный попаляризатор и умеет объяснить сложнейшие вопросы даже годовалому ребёнку.

[master]

gris, мне уже не чего не надо объяснять нулевой вектор это точка т.к нет паралельного переноса не имеет смысла говорить о упорядоченой паре и направленном отрезке.

[gris]

master, я не настолько самоуверен, чтобы объяснять что-либо кому-либо в этом разделе, где собираются люди с гораздо более высоким математическим уровнем, чем у меня. Я написал это скорее для себя, чтобы привести в порядок хаотические мысли, которые заполняют мою голову. Но всё-таки, нулевой вектор это не точка.

[master]

Смотря где

[ewert]

master в сообщении #242573 писал(а):

не имеет смысла говорить о упорядоченой паре и направленном отрезке.

Дело в том, что само словосочетание "направленный отрезок" (т.е. "задаваемый длиной и направлением") -- это не более чем лирика. Нет изначально такого математического понятия, как "направление". А вот "упорядоченная пара точек" -- вполне есть, причём эти точки вполне имеют право совпадать. И вот только после того, как на основе упорядоченных пар точек определено понятие вектора, можно уже определять понятие направления.

(Конечно, можно формально определить направление и предварительно -- например, как класс эквивалентности прямых по отношению параллельности. Только для векторов это бесполезно.)

[master]

gris в сообщении #242570 писал(а):

аксиомы выбора предложит отказаться

Посмотрим

-- Сб сен 12, 2009 16:04:01 --

ewert,

master в сообщении #242352 писал(а):

то-есть для нулевого вектора $(a,a)=\{\{a,a\},\{a\}\}$

то-есть здесь правильно написано

[gris]

ewert, а что такое точка тогда? Мы же не можем для определения вектора как упорядоченной пары, брать точки как элементы произвольного множества. По-моему, это множество уже должно быть линейным пространством, и мы получаем замкнутый круг.

[ewert]

master в сообщении #242578 писал(а):

ewert,

master в сообщении #242352 писал(а):

то-есть для нулевого вектора $(a,a)=\{\{a,a\},\{a\}\}$

то-есть здесь правильно написано

Правильно, но ненужно -- ловля блох.

-- Сб сен 12, 2009 13:38:27 --

gris в сообщении #242579 писал(а):

ewert, а что такое точка тогда? Мы же не можем для определения вектора как упорядоченной пары, брать точки как элементы произвольного множества. По-моему, это множество уже должно быть линейным пространством, и мы получаем замкнутый круг.

Точка -- это неопределяемый объект евклидовой геометрии (в смысле геометрии Евклида, а не евклидова пространства), и точка. Множество точек линейного пространства, разумеется, не образует. Но из аксиом этой геометрии следует, что построенные на этих точках векторы -- это уже линейное пространство. Никакого круга.

[master]

gris, единственый элемент который я нашел в аксиоме выбора это пустое множество

-- Сб сен 12, 2009 19:16:33 --

И Евклидова пространства множеством точек не построешь, если не указано некое свойство для двух точек

-- Сб сен 12, 2009 19:17:34 --

ewert в сообщении #242583 писал(а):

Правильно, но ненужно -- ловля блох.

Действительно хватит блох ловить

[Vallav]

gris в сообщении #242570 писал(а):

Это master завёл дискуссию в логово аксиоматики теории множеств. Вот увидите, что он ещё и от аксиомы выбора предложит отказаться. Вроде бы невинные и наивные вопросы, а как хитро сплёл паутину.
master, если уж говорить в терминах Куратовского, то $\{a,a\}$ можно записать как $\{a\}$, и это тоже будет неупорядоченной парой.
Если уж Вам хочется определить вектор как пару точек, то это будет упорядоченная пара. Но так поступать нельзя. Уже есть определение вектора как элемента векторного пространства.

А векторное пространство можно задать состоящим
из упорядоченных паp или троек или четверок... чисел?
Тогда элементом этого пространства - вектором -
будет упорядоченная пара, тройка, четверка... чисел.

Упорядоченная пара точек здесь похоже из за того,
что вектор мыслится только в виде или радиус-вектора
( когда одна их точек фиксирована ) или в виде разности
двух радиус-векторов.

gris в сообщении #242570 писал(а):

Для школьников можно говорить - назовём вектором направленный отрезок. Имея ввиду, что в дальнейшем мы научим их складывать векторы и умножать на числа, и свойства этих операций будут удовлетворять аксиомам векторного пространства.

А что в этом плохого?
Есть в природе характеристики, которые можно описать,
задав величину и направление.
То, что формально их можно описать как элементы векторного
пространства - школьник потом узнает.

[gris]

Это не плохо, а неизбежно.
Цель школьной геометрии в том, чтобы научить школьников обращению с формализованными системами, логическому мышлению, умению доказывать и прикладывать определённые усилия для усвоения материала.
А не в том, чтобы развлекаться играми с цветными фигурками и склеенными моделями, как в некоторых экспериментальных учебниках.
Под тройками и четвёрками чисел Вы понимаете координатное представление векторов. А под упорядоченной парой точек понимается связанный вектор. Проведя факторизацию множества связанных векторов по отношению эквивалентности, основанной либо на параллельном переносе, либо на геометрических построениях, получим свободные векторы. Определив базис, получим выражение свободного вектора в виде n-ки чисел в зависимости от размерности.

[ZVS]

ewert в сообщении #242577 писал(а):

А вот "упорядоченная пара точек" -- вполне есть, причём эти точки вполне имеют право совпадать. И вот только после того, как на основе упорядоченных пар точек определено понятие вектора, можно уже определять понятие направления.

Замечу,к заданной теме топика имеет отношение лишь нулевой вектор. Или пара совпадающих точек.Упорядоченная.Типа.
Определение(Вика):
"Число элементов множества A равно 1, или A состоит из одного элемента a, тогда и только тогда, когда при вычитании из него множества {a} получается пустое множество".

Так "пара" из одной точки и есть множество из одного элемента.
Но, "пара"".
И такое "нормальное "определение: "двое из ларца ,одинаковых с лица", да еще и "упорядоченные", не имеет никаких обоснований, а произвольно.Народ видимо здесь свято верит, что достаточно записать на бумаге два символа , для одного и того же и значит, их и будет два.Только два будет именно символа.Совершенно понятно.Дальше рассматриваем символы и всё уже вообще просто очевидно.
Главное, никогда не возвращаться к основам.
Полстранички на определения в начале книжки, вполне достаточно..

[Vallav]

gris в сообщении #242627 писал(а):

Это не плохо, а неизбежно.
Цель школьной геометрии в том, чтобы научить школьников обращению с формализованными системами, логическому мышлению, умению доказывать и прикладывать определённые усилия для усвоения материала.
А не в том, чтобы развлекаться играми с цветными фигурками и склеенными моделями, как в некоторых экспериментальных учебниках.

Так правильно, что знакомят шклдьников с вектором,
как с характеристикой, имеющей величину и направление ( направленный отрезок )?
Или правильней было бы знакомить их с вектром, как
элементом векторного пространства?

gris в сообщении #242627 писал(а):

Под тройками и четвёрками чисел Вы понимаете координатное представление векторов. А под упорядоченной парой точек понимается связанный вектор. Проведя факторизацию множества связанных векторов по отношению эквивалентности, основанной либо на параллельном переносе, либо на геометрических построениях, получим свободные векторы. Определив базис, получим выражение свободного вектора в виде n-ки чисел в зависимости от размерности.

Не, одной группой чисел задается точка приложения
вектора, второй группой чисел задается сам вектор.
Что доводьно прозрачно в случае векторного поля
напряженностей электрического поля или поля скоростей
жидкости.
В данном случае - и первая группа - точка в пространстве и
вторая ( которая и задает сам вектор ) - точка в пространстве.
Отсюда и путаница, что вектор - это упорядоченная пара
из упорядоченных групп чисел.