связное топологическое многообразие без конечного атласа

[neo66]

Дайте, пожалуйста, пример связного топологического многообразия, не допускающего конечного атласа. Что-то, ничего в голову не приходит.

И, вообще, что известно о минимальном (в смысле количества карт) атласе данного $n$-мерного многообразия?

[id]

Может, спираль какая-нибудь ( по аналогии с $S^1$)?

[neo66]

Нет, спираль диффеоморфна $\Mathbb{R}^1$, поэтому достаточно одной карты.

[Профессор Снэйп]

А для тора какое минимальное количество карт требуется?

[gris]

а не подойдёт ли бесконечная решётка на плоскости?

[Профессор Снэйп]

Насколько я понял, многообразие не должно иметь "самопересечений".

[gris]

для тора три?

[neo66]

Профессор Снэйп в сообщении #242435 писал(а):

А для тора какое минимальное количество карт требуется?

Если под картой понимать подмножество тора, гомеоморфное открытому подмножеству плоскости, то две.

gris в сообщении #242437 писал(а):

а не подойдёт ли бесконечная решётка на плоскости?

Это не многообразие.

[Someone]

neo66 в сообщении #242406 писал(а):

Дайте, пожалуйста, пример связного топологического многообразия, не допускающего конечного атласа.

Если никаких ограничений, то легко. Пусть $\omega_1$ - первый несчётный ординал, интерпретируемый как множество всех меньших ординалов, $[0,1)$ - полуинтервал числовой прямой. Пусть $M=\omega_1\times[0,1)$ с лексикографическим упорядочением: $(\alpha,x)<(\beta,y)$ означает, что либо $\alpha<\beta$, либо $\alpha=\beta$ и $x<y$. Снабдим это множество порядковой топологией. Получится так называемая трансфинитная прямая - топологическое многообразие с краем, состоящим из одной точки. Любой атлас на нём имеет не менее $\aleph_1$ карт. Если край не нужен, можно либо исключить эту точку, либо склеить два экземпляра трансфинитной прямой.

[Профессор Снэйп]

neo66 в сообщении #242440 писал(а):

Если под картой понимать подмножество тора, гомеоморфное открытому подмножеству плоскости, то две.

А если от открытого подмножества плоскости дополнительно потребовать, чтобы оно было выпукло? Односвязно?

[neo66]

Someone в сообщении #242446 писал(а):

Если никаких ограничений, то легко. Пусть $\omega_1$ - первый несчётный ординал, интерпретируемый как множество всех меньших ординалов, $[0,1)$ - полуинтервал числовой прямой. Пусть $M=\omega_1\times[0,1)$ с лексикографическим упорядочением: $(\alpha,x)<(\beta,y)$ означает, что либо $\alpha<\beta$, либо $\alpha=\beta$ и $x<y$. Снабдим это множество порядковой топологией. Получится так называемая трансфинитная прямая - топологическое многообразие с краем, состоящим из одной точки. Любой атлас на нём имеет не менее $\aleph_1$ карт. Если край не нужен, можно либо исключить эту точку, либо склеить два экземпляра трансфинитной прямой.

К сожалению, вынужден констатировать, что этот пример мне пока непонятен.

Что такое порядковая топология?
Что является картой на этом топологическом пространстве?
Какова размерность этого топологического многоообразия?
Является ли оно гладким?
Что такое $\aleph_1$?
Объясните пожалуйста или дайте ссылку.

Кстати, повторю тот же, первоначальный вопрос, если многообразие гладкое.

Профессор Снэйп в сообщении #242447 писал(а):

А если от открытого подмножества плоскости дополнительно потребовать, чтобы оно было выпукло? Односвязно?

Похоже, для тора, меньше, чем четырьмя такими картами не отделаться.

[Someone]

neo66 в сообщении #242584 писал(а):

К сожалению, вынужден констатировать, что этот пример мне пока непонятен.

Хм... Как-то неожиданно. Вы рассуждаете о топологических многообразиях...

neo66 в сообщении #242584 писал(а):

Что такое порядковая топология?

Пусть $X$ - множество, на котором задано отношение линейного порядка (короче, $X$ - линейно упорядоченное множество). Порядковая топология - это топология, в которой окрестностями точек являются интервалы $(a,b)=\{x\in X:a<x<b\}$, $(-\infty,b)=\{x\in X:x<b\}$ и $(a,+\infty)=\{x\in X:x>a\}$ для всевозможных $a,b\in X$ ($-\infty$ и $+\infty$ - это не элементы множества $X$, а просто вспомогательные символы для записи интервалов). Топологическое пространство с порядковой топологией называется, естественно, линейно упорядоченным. Непустое линейно упорядоченное топологическое пространство всегда нульмерно или одномерно. Если оно связно, то оно одномерно.
То пространство, которое я описал, связно и, следовательно, одномерно. Картой на нём является просто интервал вместе с гомеоморфизмом на интервал числовой прямой. Насчёт гладкости сильно сомневаюсь, думаю, что гладких структур на этом многообразии нет.

Однако, чтобы понять, что такое $\aleph_1$ (а это наименьшая мощность, которая больше мощности натурального ряда), и что представляет собой это пространство, нужно кое-что знать из теории множеств. Боюсь, я не смогу написать здесь столько, чтобы заменить учебник по теории множеств.

На наглядном уровне это многообразие можно представить себе как невероятно "длинную" (полу)прямую (она называется трансфинитной прямой). Представьте себе, что Вы идёте по этой "прямой", делая шаги постоянной длины, и считаете свои шаги. Когда Вы сделаете столько шагов, что используете для счёта уже все натуральные числа, Вы дойдёте "до конца" обычной прямой, но до конца трансфинитной прямой не дойдёте. Вы будете продолжать идти, используя для счёта шагов трансфинитные числа $\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots$, досчитаете до "числа" $\omega\cdot 2$, затем $\omega\cdot 2+1,\omega\cdot 2+2,\ldots$ до $\omega\cdot 3$, далее $\omega\cdot 3+1,\ldots$, дойдёте до $\omega^2$ и всё ещё до конца не доберётесь. Конец наступит, когда число шагов станет несчётным.

neo66 в сообщении #242584 писал(а):

Кстати, повторю тот же, первоначальный вопрос, если многообразие гладкое.

Многообразия типа тора или кренделя (сфера с ручками или проективная плоскость с ручками) компактны, поэтому всегда имеют атлас из конечного числа карт.

Могу предложить попробовать рассмотреть плоскость, к которой приклеено бесконечное множество ручек. Чтобы приклеить ручку, вырезаете два круга и заклеиваете дырки трубкой. Склейку можно сделать гладкой. Ручки не должны накапливаться в ограниченной области, иначе не получится многообразия.

[neo66]

Someone в сообщении #242660 писал(а):

Могу предложить попробовать рассмотреть плоскость, к которой приклеено бесконечное множество ручек.

Уточню, что под топологическим многообразием я понимаю хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, любая точка которого гомеоморфна открытому подмножеству в $\Mathbb{R}^n$.

Так вот, некий эксперт со ссылкой на книгу: "Connections, curvature and cohomology", авторы: Werner Hilbert Grub, Stephen Halperin, Ray Vanstone, сообщил, что существует теорема, утверждающая, что любое топологическое многоообразие размерности $n$ допускает атлас из $n+1$ карты. Доказательство использует теорию размерности. Сам он такой теоремы раньше не знал и пытался построить пример, естественно, безуспешно.

Сам я этой книги в открытом доступе не нашел и доказательства своими глазами не видел. Кстати, плоскость с ручками допускает две карты.

[Someone]

neo66 в сообщении #244400 писал(а):

Уточню, что под топологическим многообразием я понимаю хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, любая точка которого гомеоморфна открытому подмножеству в $\Mathbb{R}^n$.

Понятно. Тогда трансфинитная прямая отпадает. Она хаусдорфова и каждая точка (кроме начальной; но её можно выкинуть или склеить в ней два экземаляра трансфинитной прямой) имеет окрестность, гомеоморфную интервалу числовой прямой, но счётной базы нет.

neo66 в сообщении #244400 писал(а):

существует теорема, утверждающая, что любое топологическое многоообразие размерности $n$ допускает атлас из $n+1$ карты

К сожалению, никак это прокомментировать не могу. Специально многообразиями не занимался.