2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 связное топологическое многообразие без конечного атласа
Сообщение11.09.2009, 17:49 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Дайте, пожалуйста, пример связного топологического многообразия, не допускающего конечного атласа. Что-то, ничего в голову не приходит.

И, вообще, что известно о минимальном (в смысле количества карт) атласе данного $n$-мерного многообразия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:08 
Заслуженный участник


05/06/08
1097
Может, спираль какая-нибудь ( по аналогии с $S^1$)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:13 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Нет, спираль диффеоморфна $\Mathbb{R}^1$, поэтому достаточно одной карты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:42 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А для тора какое минимальное количество карт требуется?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13669
а не подойдёт ли бесконечная решётка на плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Насколько я понял, многообразие не должно иметь "самопересечений".

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13669
для тора три?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:48 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Профессор Снэйп в сообщении #242435 писал(а):
А для тора какое минимальное количество карт требуется?
Если под картой понимать подмножество тора, гомеоморфное открытому подмножеству плоскости, то две.


gris в сообщении #242437 писал(а):
а не подойдёт ли бесконечная решётка на плоскости?
Это не многообразие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16879
Москва
neo66 в сообщении #242406 писал(а):
Дайте, пожалуйста, пример связного топологического многообразия, не допускающего конечного атласа.


Если никаких ограничений, то легко. Пусть $\omega_1$ - первый несчётный ординал, интерпретируемый как множество всех меньших ординалов, $[0,1)$ - полуинтервал числовой прямой. Пусть $M=\omega_1\times[0,1)$ с лексикографическим упорядочением: $(\alpha,x)<(\beta,y)$ означает, что либо $\alpha<\beta$, либо $\alpha=\beta$ и $x<y$. Снабдим это множество порядковой топологией. Получится так называемая трансфинитная прямая - топологическое многообразие с краем, состоящим из одной точки. Любой атлас на нём имеет не менее $\aleph_1$ карт. Если край не нужен, можно либо исключить эту точку, либо склеить два экземпляра трансфинитной прямой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение11.09.2009, 18:57 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
neo66 в сообщении #242440 писал(а):
Если под картой понимать подмножество тора, гомеоморфное открытому подмножеству плоскости, то две.


А если от открытого подмножества плоскости дополнительно потребовать, чтобы оно было выпукло? Односвязно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение12.09.2009, 12:46 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Someone в сообщении #242446 писал(а):
Если никаких ограничений, то легко. Пусть $\omega_1$ - первый несчётный ординал, интерпретируемый как множество всех меньших ординалов, $[0,1)$ - полуинтервал числовой прямой. Пусть $M=\omega_1\times[0,1)$ с лексикографическим упорядочением: $(\alpha,x)<(\beta,y)$ означает, что либо $\alpha<\beta$, либо $\alpha=\beta$ и $x<y$. Снабдим это множество порядковой топологией. Получится так называемая трансфинитная прямая - топологическое многообразие с краем, состоящим из одной точки. Любой атлас на нём имеет не менее $\aleph_1$ карт. Если край не нужен, можно либо исключить эту точку, либо склеить два экземпляра трансфинитной прямой.

К сожалению, вынужден констатировать, что этот пример мне пока непонятен. :)

Что такое порядковая топология?
Что является картой на этом топологическом пространстве?
Какова размерность этого топологического многоообразия?
Является ли оно гладким?
Что такое $\aleph_1$?
Объясните пожалуйста или дайте ссылку.

Кстати, повторю тот же, первоначальный вопрос, если многообразие гладкое.

Профессор Снэйп в сообщении #242447 писал(а):
А если от открытого подмножества плоскости дополнительно потребовать, чтобы оно было выпукло? Односвязно?

Похоже, для тора, меньше, чем четырьмя такими картами не отделаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение12.09.2009, 18:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16879
Москва
neo66 в сообщении #242584 писал(а):
К сожалению, вынужден констатировать, что этот пример мне пока непонятен.


Хм... Как-то неожиданно. Вы рассуждаете о топологических многообразиях...

neo66 в сообщении #242584 писал(а):
Что такое порядковая топология?


Пусть $X$ - множество, на котором задано отношение линейного порядка (короче, $X$ - линейно упорядоченное множество). Порядковая топология - это топология, в которой окрестностями точек являются интервалы $(a,b)=\{x\in X:a<x<b\}$, $(-\infty,b)=\{x\in X:x<b\}$ и $(a,+\infty)=\{x\in X:x>a\}$ для всевозможных $a,b\in X$ ($-\infty$ и $+\infty$ - это не элементы множества $X$, а просто вспомогательные символы для записи интервалов). Топологическое пространство с порядковой топологией называется, естественно, линейно упорядоченным. Непустое линейно упорядоченное топологическое пространство всегда нульмерно или одномерно. Если оно связно, то оно одномерно.
То пространство, которое я описал, связно и, следовательно, одномерно. Картой на нём является просто интервал вместе с гомеоморфизмом на интервал числовой прямой. Насчёт гладкости сильно сомневаюсь, думаю, что гладких структур на этом многообразии нет.

Однако, чтобы понять, что такое $\aleph_1$ (а это наименьшая мощность, которая больше мощности натурального ряда), и что представляет собой это пространство, нужно кое-что знать из теории множеств. Боюсь, я не смогу написать здесь столько, чтобы заменить учебник по теории множеств.

На наглядном уровне это многообразие можно представить себе как невероятно "длинную" (полу)прямую (она называется трансфинитной прямой). Представьте себе, что Вы идёте по этой "прямой", делая шаги постоянной длины, и считаете свои шаги. Когда Вы сделаете столько шагов, что используете для счёта уже все натуральные числа, Вы дойдёте "до конца" обычной прямой, но до конца трансфинитной прямой не дойдёте. Вы будете продолжать идти, используя для счёта шагов трансфинитные числа $\omega+1,\omega+2,\omega+3,\ldots$, досчитаете до "числа" $\omega\cdot 2$, затем $\omega\cdot 2+1,\omega\cdot 2+2,\ldots$ до $\omega\cdot 3$, далее $\omega\cdot 3+1,\ldots$, дойдёте до $\omega^2$ и всё ещё до конца не доберётесь. Конец наступит, когда число шагов станет несчётным.

neo66 в сообщении #242584 писал(а):
Кстати, повторю тот же, первоначальный вопрос, если многообразие гладкое.


Многообразия типа тора или кренделя (сфера с ручками или проективная плоскость с ручками) компактны, поэтому всегда имеют атлас из конечного числа карт.

Могу предложить попробовать рассмотреть плоскость, к которой приклеено бесконечное множество ручек. Чтобы приклеить ручку, вырезаете два круга и заклеиваете дырки трубкой. Склейку можно сделать гладкой. Ручки не должны накапливаться в ограниченной области, иначе не получится многообразия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение18.09.2009, 15:43 
Заслуженный участник


14/01/07
787
Someone в сообщении #242660 писал(а):
Могу предложить попробовать рассмотреть плоскость, к которой приклеено бесконечное множество ручек.
Уточню, что под топологическим многообразием я понимаю хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, любая точка которого гомеоморфна открытому подмножеству в $\Mathbb{R}^n$.

Так вот, некий эксперт со ссылкой на книгу: "Connections, curvature and cohomology", авторы: Werner Hilbert Grub, Stephen Halperin, Ray Vanstone, сообщил, что существует теорема, утверждающая, что любое топологическое многоообразие размерности $n$ допускает атлас из $n+1$ карты. Доказательство использует теорию размерности. Сам он такой теоремы раньше не знал и пытался построить пример, естественно, безуспешно.

Сам я этой книги в открытом доступе не нашел и доказательства своими глазами не видел. Кстати, плоскость с ручками допускает две карты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Многообразия. Атласы.
Сообщение18.09.2009, 17:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16879
Москва
neo66 в сообщении #244400 писал(а):
Уточню, что под топологическим многообразием я понимаю хаусдорфово топологическое пространство со счетной базой, любая точка которого гомеоморфна открытому подмножеству в $\Mathbb{R}^n$.


Понятно. Тогда трансфинитная прямая отпадает. Она хаусдорфова и каждая точка (кроме начальной; но её можно выкинуть или склеить в ней два экземаляра трансфинитной прямой) имеет окрестность, гомеоморфную интервалу числовой прямой, но счётной базы нет.

neo66 в сообщении #244400 писал(а):
существует теорема, утверждающая, что любое топологическое многоообразие размерности $n$ допускает атлас из $n+1$ карты


К сожалению, никак это прокомментировать не могу. Специально многообразиями не занимался.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group