Квантовая химия и вторичное квантование

[Plato]

Помогите пожалуйста разобраться с тем как можно записать уравнение Шредингера для молекулярной системы(N электронов N ядер) в представлении вторичного квантования, притом хотелось бы получить бозонные коммутационные соотношения. Как быть с кулоновским потенциалом взаимодействия? Можно конечно его попробовать разложить по сферическим гармоникам. Вобщем подскажите направление куда бежать и за что бороться. В какой-то из книг я это видел, но, к сожалению, не помню где.

[Munin]

А в каком представлении вы можете его записать? Опирайтесь на него, и заменяйте волновые функции на операторы рождения/уничтожения. Потенциал взаимодействия и сферические гармоники ко вторичному квантованию отношения не имеют.

[Plato]

Нет, наверное меня не так поняли. Постораюсь изложить подробнее. Cкажем, если рассмотреть гармонический осциллятор, то можно факторизовать гамильтониан введя операторы рождения и уничтожения квазичастиц
$\eta^{+}=(2m\hbar\omega)^{-1/2}[m\omega \hat{x}-i\hat{p}]$
$\eta=(2m\hbar\omega)^{-1/2}[m\omega \hat{x}+i\hat{p}]$
, как это было сделано дираком в его книге, переходя ко вторичному квантованию. Но так получается факторизовать гамильтониан только потому что потенциал имеет простую форму $m^2\omega^2x^2 \over 2$, (впринципе переход ко вторичному квантованию в такой форме возможен если потенциал имеет вид $ P=\sum {A(m,n)}x^mp^n$)
Так вот вопрос стоял: можно ли скажем в задаче атома водорода попытаться факторизовать гамильтониан и ввести соответствующие операторы рождения и уничтожения квазичастиц.
Хочу заметить сферические гармоники, или скажем полиномы Эрмита, здесь имелись ввиду не в качестве решений, а в качестве полной ортонормированной системы функций по которой предлагалось разложить кулоновский потенциал в ряд фурье, чтобы иметь полиномиальное представление которое потом легко представляется в терминах вышеприведенных операторов(или других).

[Munin]

Так.

Повышающие и понижающие операторы ввести можно: они будут просто сдвигать вас по дискретному спектру вверх-вниз.

Но операторами рождения-уничтожения они не будут. Смысл рождения-уничтожения - во введении или убирании новой частицы. Повышающие-понижающие операторы осциллятора не являются по определению операторами рождения-уничтожения - им придаётся такой смысл, когда рассматриваются осцилляторы поля.

Но операторы рождения-уничтожения можно ввести и без разложения системы на осцилляторы. Просто это будут операторы рождения в другом представлении. Оператор рождения в осцилляторном разложении создавал новую частицу в состоянии плоской волны. Можно сделать оператор рождения в координатном представлении, он будет создавать новую частицу в заданной точке - в состоянии дельта-функции от координат.

Именно в этом смысле я воспринял ваш вопрос, и именно в этом смысле работает теория вторичного квантования: это теория систем с переменным (и квантованным) числом частиц. А не теория повышающих-понижающих операторов.

Что-нибудь получилось прояснить, или слишком сумбурно?

-- 10.09.2009 17:36:29 --

P. S. Для атома водорода нельзя обойтись просто повышающим оператором - надо уточнить, что он будет делать. Например, возьмём квантовые числа $n,l,m,$ и введём повышающие и понижающие операторы $n_{\pm},l_{\pm},m_{\pm},$ которые будут менять каждый своё число, а другие не трогать. Дальше, думаю, понятно уже, как эти операторы делать. Для молекул это будут свои, другие квантовые числа (причём в зависимости от того ещё, как вы их выберете, то есть как захотите молекулярные орбитали перечислять), и соответственно другой набор повышающих-понижающих операторов, перебирающих значения этих квантовых чисел.

[Plato]

Да, наверно это было не правильно обозвано "вторичным квантованием". Вот тогда как правильней озвучить: охота получить гамильтониан атома водорода в представлении операторов повышения-понижения, которые будут рождать возбуждение и уничтожать его.
Понятен путь кривой: берем базис плоских волн, стандартно переходим к представлению вторичного квантования, находим каноническое преобразование Боголюбова для перехода к бозонным квазичастицам. Но как-то уж не подуше. И еще у меня ощущения, что где-то в алгоритме я ошибся.

Цитата:

Но операторами рождения-уничтожения они не будут. Смысл рождения-уничтожения - во введении или убирании новой частицы. Повышающие-понижающие операторы осциллятора не являются по определению операторами рождения-уничтожения - им придаётся такой смысл, когда рассматриваются осцилляторы поля.

поясните пожалуйста а в чем отличие осциллятора поля от просто осциллятора?

Цитата:

Для атома водорода нельзя обойтись просто повышающим оператором - надо уточнить, что он будет делать. Например, возьмём квантовые числа $n,l,m,$ и введём повышающие и понижающие операторы $n_{\pm},l_{\pm},m_{\pm},$ которые будут менять каждый своё число, а другие не трогать. Дальше, думаю, понятно уже, как эти операторы делать. Для молекул это будут свои, другие квантовые числа (причём в зависимости от того ещё, как вы их выберете, то есть как захотите молекулярные орбитали перечислять), и соответственно другой набор повышающих-понижающих операторов, перебирающих значения этих квантовых чисел.

так-то понятно, а вот явный вид разве не всегда возможно получить? Или в этом то и фишка, что-бы не утруждать себя явным видом?

Но в принципе уяснил, спасибо.

Цитата:

Для молекул это будут свои, другие квантовые числа (причём в зависимости от того ещё, как вы их выберете, то есть как захотите молекулярные орбитали перечислять), и соответственно другой набор повышающих-понижающих операторов, перебирающих значения этих квантовых чисел

молекулярные орбитали это после Борна-Опенгеймера с Рутааном, а их как обойти?

[Munin]

Plato в сообщении #242022 писал(а):

поясните пожалуйста а в чем отличие осциллятора поля от просто осциллятора?

Только в физике, не в гамильтониане :-) Осциллятор поля - это, скажем, мода в резонаторе, в которую можно загнать один фотон, два фотона,.. пять фотонов... А просто осциллятор - это частица на пружинке, которая может качаться на нулевом уровне, первом уровне... пятом уровне... Про уровни частицы мы не говорим, что это отдельные самостоятельные частицы. А про фотоны - говорим. Потому что в конечном счёте осцилляторов поля бесконечно много, и их можно фурье-преобразовать в пси-функцию частицы в ящике (бывш. резонаторе). А просто осциллятор - он один.

Plato в сообщении #242022 писал(а):

так-то понятно, а вот явный вид разве не всегда возможно получить? Или в этом то и фишка, что-бы не утруждать себя явным видом?

Да, фишка в том, чтобы не утруждать себя явным видом. А получить явный вид... видимо, можно, но довольно трудно. По сути, вы должны взять бесконечную сумму $\psi_1(x)\psi_2^{*}(x')$ для всех комбинаций состояний, которые оператор переводит одно в другое, и это будет ядро интегрального оператора, то есть к нему ещё надо значок интеграла дописать - вот такой получится оператор. То, что эта сумма будет хоть сколько-нибудь красивой в координатном представлении - никаких гарантий. Даже, скорее, наоборот, проглядываются гарантии, что не будет (если бы была, то суммирование включало бы в себя несвязанные состояния, а от них мы отказываемся, потому что их континуум, и нет смысла в повышении $n$ на единицу).

Plato в сообщении #242022 писал(а):

молекулярные орбитали это после Борна-Опенгеймера с Рутааном, а их как обойти?

Ну я не знаю, возьмите атомарные орбитали. Типа вначале все атомы в основных состояниях, а потом вы оператором $n_{1,+}$ повышаете уровень первого атома, потом соответственно второго, и т. д. Возьмёте от таких произведений линейную комбинацию - получите МО ЛКАО.

-- 10.09.2009 19:19:50 --

Plato в сообщении #242022 писал(а):

Понятен путь кривой: берем базис плоских волн, стандартно переходим к представлению вторичного квантования, находим каноническое преобразование Боголюбова для перехода к бозонным квазичастицам. Но как-то уж не подуше. И еще у меня ощущения, что где-то в алгоритме я ошибся.

Зачем базис плоских волн? У вас же есть волновые функции связанных состояний. Вот из них и делайте, по принципу $\sum\lvert n_2\rangle\langle n_1\rvert.$

[Plato]

Ну теперь понятно стало. Благодарю.

[Plushik]

А кто-нибудь мог бы мне объяснить подоходчивее - почему вторичное квантование так называется?
Большое спасибо заранее.