Парадокс конвертов

[Vallav]

Описание парадокса
http://www.membrana.ru/articles/simply/2009/08/19/174500.html?wire=readalso
Так и не понял, в чем фишка.
Вроде все довольно просто - вскрытие конверта дает
информацию - чему равно математическое ожидание в
данном туре игры.
Если просто не менять конверт, всегда менять конверт или менять/не_менять случайно - будет без разницы.
Если же - менять, если денег меньше какой то величины -
будешь в выиигрыше, если диапазон возможных сумм
конечен.

[PAV]

Описание парадокса двух конвертов и его разбор можно посмотреть в Википедии
Задача о двух конвертах

(Этот вопрос когда-то обсуждался здесь, но я сейчас не могу найти эту тему).

Vallav в сообщении #241836 писал(а):

Вроде все довольно просто - вскрытие конверта дает информацию - чему равно математическое ожидание в данном туре игры.

Нет, не дает. Математическое ожидание конверта равно $1.5x$, где $x$ - меньшая сумма, а при вскрытии одного конверта Вы не знаете, имеете ли дело с меньшей или с большей суммой.

Все вероятностные рассуждения должны проводиться при четко фиксированном вероятностном пространстве. Многие парадоксы основаны на неявной подмене одного пространства другим в процессе решения или на смешивании разных пространств.

Исходная постановка недостаточна, она не задает пространства, в рамках которого можно говорить о событиях вида "При вскрытии случайно выбранного конверта наблюдается сумма $x$", считать математические ожидания и т.д. Чтобы такое пространство задать, необходимо зафиксировать распределение вероятностей на всех возможных парах допустимых сумм $(x,2x)$. Вычисление математического ожидания, проводимое в парадоксе, использует равновероятное распределение на двух парах $(5,10)$ и $(10,20)$. Или, что то же самое, когда в один конверт гарантированно кладентся 10 рублей, а во второй - либо 5, либо 20 с равной вероятностью. Тогда все вычисления проведены верно и действительно, при выборе 10 рублей выгоднее брать второй конверт, тогда математическое ожидание выигрыша больше.

[Vallav]

PAV в сообщении #241865 писал(а):

Тогда все вычисления проведены верно и действительно, при выборе 10 рублей выгоднее брать второй конверт, тогда математическое ожидание выигрыша больше.

То есть, выгрышная стратегия - открываем первый конверт, берем второй?
Чем она отличается от - открываем второй конверт,
берем второй?
А при ограниченных ресурсах есть выиигрышная
стратегия.

[PAV]

Vallav в сообщении #241869 писал(а):

То есть, выгрышная стратегия - открываем первый конверт, берем второй?

Если известно, что распределение именно такое, как я указывал, тогда да: открыв конверт с 10 рублями, выгоднее брать второй. Для других распределений может быть наоборот. Соответственно, универсальной стратегии, подходящей для всех распределений, не существует.

[Vallav]

PAV в сообщении #241870 писал(а):

Vallav в сообщении #241869 писал(а):

То есть, выгрышная стратегия - открываем первый конверт, берем второй?

Если известно, что распределение именно такое, как я указывал, тогда да: открыв конверт с 10 рублями, выгоднее брать второй. Для других распределений может быть наоборот. Соответственно, универсальной стратегии, подходящей для всех распределений, не существует.

Не, распределение такое, как я указывал.
Изначально ( до открытия конвертов ) неизвестно, какие
в них суммы денег. Известно только, что в одном в два раза меньше, чем в другом.
Почему стратегия - открываем и берем второй конверт
хуже, чем стратегия - открываем первый конверт,
берем второй?
Ведь в обоих случаях берется один и тот же конверт.
То есть, в смысле денег - без разницы.
Но в первом случае работы меньше - берем всего один конверт и открываем всего один конверт.

[PAV]

Vallav в сообщении #241913 писал(а):

Не, распределение такое, как я указывал.
Изначально ( до открытия конвертов ) неизвестно, какие
в них суммы денег. Известно только, что в одном в два раза меньше, чем в другом.

Еще раз: это не является полным заданием распределения. В этом случае никаких аргументов в пользу открытия второго конверта нет. А приводимое в парадоксе "доказательство" относится к другой ситуации.

[e2e4]

Шикарный парадокс, спасибо, до сих пор не встречал его описания на русском языке, чтобы понять до конца.

Может быть автору будет интересен еще и такой парадокс, ИМХО не менее красивый.

[Vallav]

PAV в сообщении #241954 писал(а):

Vallav в сообщении #241913 писал(а):

Не, распределение такое, как я указывал.
Изначально ( до открытия конвертов ) неизвестно, какие
в них суммы денег. Известно только, что в одном в два раза меньше, чем в другом.

Еще раз: это не является полным заданием распределения. В этом случае никаких аргументов в пользу открытия второго конверта нет. А приводимое в парадоксе "доказательство" относится к другой ситуации.

Ну да, я вроде так и написал в исходном посту:
" Если просто не менять конверт, всегда менять конверт или менять/не_менять случайно - будет без разницы."
для любого распределения.

А вот если - когда сумма меньше заданной - менять,
когда больше - не менять - в случае, когда распределение по величине минимальной суммы равновероятно, но сумма ограничена или когда с ростом
суммы вероятность появления этой суммы падает - приводит
к выигрышу ( ресурсы ограничены ).
Но такое распределение - типично.

С этим Вы согласны?
Мне как раз непонятны охи и ахи в конце описания
в википедии.

Кстати, как организовать компьютерное моделирование
для случая равновероятнораспределенной и неограниченной суммы - не представляю.

[gris]

А что в данном случае понимается под выигрышем? Игрок всё время будет получать какие-то деньги.
Я думаю, что перед принятием решения с игрока нужно снимать некоторую сумму, зависящую от содержимого первого конверта. Тогда он будет ответственнее подходить к процессу.

[sergeyall]

Из какого множества конвертов игрок должен выбрать первый конверт?
Видимо, из множества мощности континуум.

Можно ограничиться счётным множеством конвертов, содержащих $2^k$ рублей, где k - любое целое.
После вскрытия выбранного конверта в котором содержится N рублей игрок получает ещё два конверта.
В одном - 2N рублей, во втором - 0.5N рублей.
После этого игрок должен решить, вскрывать ему один из двух конвертов или нет.
При таких условиях действительно, может быть, разумнее вскрывать ещё один конверт, т. к. игрок может сделать любое число попыток, и можно говорить о разумной стратегии.

Но вот вопрос, на который с ходу не видно ответа:

Какова должна быть ставка игрока, чтобы игра была честной?

По-моему, в этом и состоит парадокс.

В исходной же постановке есть всего одна попытка, и бессмысленно говорить, что вскрыв второй конверт игрок в среднем выиграл 12.5 рублей.
А так как неизвестна ставка игрока, то бессмысленно говорить и о выигрыше-проигрыше.

to e2e4
Парадокс Монти Холла действительно изящен.
Мне понравился. Спасибо.

[eLectric]

А что значит "ставка игрока"? Там нет ставки. Есть вопрос об оптимальной, т.е. наболее доходной стратегии в длиной серии игр.

Там, действительно, есть несколько принципиальных моментов, которые завуалированы.
Множество конечно или бесконечно, континуально или дискретно. Если конечно, то знает ли игрок предел. Стратегия сильно зависит от этих вопросов.

[Vallav]

eLectric в сообщении #242928 писал(а):

А что значит "ставка игрока"? Там нет ставки. Есть вопрос об оптимальной, т.е. наболее доходной стратегии в длиной серии игр.

Там, действительно, есть несколько принципиальных моментов, которые завуалированы.
Множество конечно или бесконечно, континуально или дискретно. Если конечно, то знает ли игрок предел. Стратегия сильно зависит от этих вопросов.

Стратегия зависит только от одного вопроса - каково
распределение f(x) - вероятности того, что меньшая сумма в паре предъявленных конвертов равна x.
Это нужно для того, чтобы рассчитать x0 - сумму в конверте, начиная с которой конверты не менять,
дающую максимальный выигрыш.
Хотя стратегия - менять конверт, если сумма меньше x0
и не менять, если больше - выигрывает у стратегии
всегда не менять или всегда менять - при любом распределении
и при любом x0.
Описанная по ссылкам процедура расчета математического ожидания
неверна, так как исходит из предположения, что
f(x)=f(x/2) - что невыполнимо для любого x.
Если для больших x f(x) спалает медленнее, чем 1/x,
то интеграл от плотности вероятности расходится.
Интересно, что условие, когда матожидание суммы в
неоткрытом конверте равно сумме в открытом конверте
соответствует f(x)~1/x .

[eLectric]

Хех, вы так говорите, будто распределение не связано с теми вопросами.
Так ведь можно еще проще сказать: не надо путаться с этим распределением. Надо лишь знать одно кртическое число. Попадется меньше- менять. Попадется больше - не менять.
Хотя и не оговорено, но очевидно. что
значения дискретны
предел есть
игрок предел не знает.

А стратегия "всегда менять" выигрывает, если у множества возможных значений нет предела.

[Vallav]

eLectric в сообщении #242987 писал(а):

Хех, вы так говорите, будто распределение не связано с теми вопросами.
Так ведь можно еще проще сказать: не надо путаться с этим распределением. Надо лишь знать одно кртическое число. Попадется меньше- менять. Попадется больше - не менять.
Хотя и не оговорено, но очевидно. что
значения дискретны
предел есть
игрок предел не знает.

Значения могут быть непрерывными и неограниченными. Главное, чтобы f(x) была - то есть при больших
x f(x) спадала быстрее, чем 1/x.
Да и критическое число знать не обязательно.
При любом x0 стратегия - менять, если в конверте сумма меньше x0 - не будет проигрывать стратегии - всегда не менять
или стратегии - всегда менять.
Но возможно будет не самой выиигрышной.

eLectric в сообщении #242987 писал(а):

А стратегия "всегда менять" выигрывает, если у множества возможных значений нет предела.

Не.
Cтратегия - всегда менять равносильна
стратегии - всегда не менять.
Что определяется без подсчетов матожидания.
Тем более - ошибочных.

[eLectric]

А расскажите подробнее, почему р(А)*А + р(б)*Б является ошибочной?