Пространство Банаха

[RIP]

Alexey1 в сообщении #241303 писал(а):

Ну тогда получается, что поточечная сходимость подразумевает равномерную, что в общем случае не верно.

Что Вы имеете в виду? Что сходимость в каждой точке подразумевает равномерную сходимость? Это не так.

[Alexey1]

То есть в общем случае
$\lim f_n(x)=f(x)$ поточечно $\Longrightarrow$ $\lim f_n(x)=f(x), x\in[0,1]$ является верным и имеет отношение к нашему случаю,
Но
$\lim f_n(x)=f(x)$ поточечно $\Longrightarrow$ $\lim \sup f_n(x)=f(x), x\in[0,1]$ (равномерная сходимость) не является верным. Что к нашему случаю не имеет никакого отношения.

[RIP]

В общем случае, если рассматриваются функции на множестве $X$, то:
$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ поточечно (правда, это как-то не звучит; лучше сказать, что $f_n(x)$ сходятся к $f(x)$ поточечно при $n\to\infty$, что тоже не очень) означает $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$, $x\in X$; это одна и та же фраза, просто записанная по-разному. Ещё по-другому это можно записать в виде $\lim_{n\to\infty}|f_n(x)-f(x)|=0$ при $x\in X$. А равномерная сходимость означает $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|=0$. Как-то так.

[Lyoha]

ewert в сообщении #241140 писал(а):

AGu в сообщении #241138 писал(а):

Не забудьте еще заметить (или доказать), что возникшая функция $x:[0,1]\to\mathbb R$ непрерывна.

Доказывать не надо: это -- предыдущая теорема.

Непонятно: $R$ полно, равномерная сходимость --- это как бы определение сходимости по норме $C[a;b]$. Единственное, что надо доказывать --- это принадлежность предельной функции этому пространству.

[ewert]

Если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то и предельная функция -- тоже непрерывна. Это -- теорема, предшествующая теореме о полноте пространства $C$.