2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Пространство Банаха
Сообщение07.09.2009, 21:04 
Аватара пользователя
Alexey1 в сообщении #241303 писал(а):
Ну тогда получается, что поточечная сходимость подразумевает равномерную, что в общем случае не верно.
Что Вы имеете в виду? Что сходимость в каждой точке подразумевает равномерную сходимость? Это не так.

 
 
 
 Re: Пространство Банаха
Сообщение07.09.2009, 21:14 
То есть в общем случае
$\lim f_n(x)=f(x)$ поточечно $\Longrightarrow$ $\lim f_n(x)=f(x), x\in[0,1]$ является верным и имеет отношение к нашему случаю,
Но
$\lim f_n(x)=f(x)$ поточечно $\Longrightarrow$ $\lim \sup f_n(x)=f(x), x\in[0,1]$ (равномерная сходимость) не является верным. Что к нашему случаю не имеет никакого отношения.

 
 
 
 Re: Пространство Банаха
Сообщение07.09.2009, 21:25 
Аватара пользователя
В общем случае, если рассматриваются функции на множестве $X$, то:
$\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$ поточечно (правда, это как-то не звучит; лучше сказать, что $f_n(x)$ сходятся к $f(x)$ поточечно при $n\to\infty$, что тоже не очень) означает $\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)$, $x\in X$; это одна и та же фраза, просто записанная по-разному. Ещё по-другому это можно записать в виде $\lim_{n\to\infty}|f_n(x)-f(x)|=0$ при $x\in X$. А равномерная сходимость означает $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in X}|f_n(x)-f(x)|=0$. Как-то так.

 
 
 
 Re: Пространство Банаха
Сообщение08.09.2009, 10:30 
ewert в сообщении #241140 писал(а):
AGu в сообщении #241138 писал(а):
Не забудьте еще заметить (или доказать), что возникшая функция $x:[0,1]\to\mathbb R$ непрерывна.

Доказывать не надо: это -- предыдущая теорема.


Непонятно: $R$ полно, равномерная сходимость --- это как бы определение сходимости по норме $C[a;b]$. Единственное, что надо доказывать --- это принадлежность предельной функции этому пространству.

 
 
 
 Re: Пространство Банаха
Сообщение08.09.2009, 23:54 
Если последовательность непрерывных функций сходится равномерно, то и предельная функция -- тоже непрерывна. Это -- теорема, предшествующая теореме о полноте пространства $C$.

 
 
 [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group