Сумма косинусов при фиксированной сумме аргументов.

[Legioner93]

Нужно найти максимум S=cos(a)+cos(b)+cos(c)+cos(d)+cos(e)+cos(f), если a+b+c+d+e+f=360. Решение желательно школьное (я в 11 классе). Спасибо!

[gris]

а чему равен максимум косинуса и где он достигается?

[ewert]

Ну, очевидно, что $S=6$ достигается, а больше и невозможно.

(Более содержательный вопрос: при каких углах эта сумма минимальна?)

[Jnrty]

Jnrty:

1) Обратите внимание на надпись наверху страницы. Про тег [mаth]. И сделайте, как положено.
Например, формулу a+b+c+d+e+f=360 следует написать так: $a+b+c+d+e+f=360^{\circ}$. Вы ведь градусы имели в виду?

$a+b+c+d+e+f=360^{\circ}$

Косинус кодируется как \cos. Подробнее - в темах http://dxdy.ru/topic8355.html (кратко) и http://dxdy.ru/topic183.html (более подробно).

2) Ознакомьтесь с правилами данного раздела в теме "!!!=ВАЖНО=!!! Тематика и правила данного раздела". Эти правила требуют, в частности, чтобы Вы изложили свои идеи решения и объяснили, в чём проблема.

Вам подсказали уже достаточно много, поэтому следующее сообщение должно быть Вашим.

[gris]

Если разрешены отрицательные углы, то минимум очевиден. А вот с неотрицательными боюсь уже не школьная задача.

[Legioner93]

TeX я знаю, просто решил что и без этого будет понятно. Да, имелись ввиду градусы. Да, действительно максимум 6, это что-то я затупил (Видимо сказались 5 часов сна:)). Вообще-то, моя сумма более сложна.
$S=\sqrt {1-(\sin {a}-\sin b)^2} +\sqrt{1-(\sin c-\sin d )^2}+\sqrt{1-(\sin e -\sin f )^2}+\cos a +\cos b +\cos c +\cos d +\cos e +\cos f $ Но про такую я даже спрашивать не решился.

[ewert]

gris в сообщении #241002 писал(а):

Если разрешены отрицательные углы, то минимум очевиден. А вот с неотрицательными боюсь уже не школьная задача.

Как раз с неотрицательными она вполне школьная. А вот с отрицательными -- я, строго говоря, не уверен (просто лень додумывать до конца).

-- Вс сен 06, 2009 20:50:21 --

Legioner93 в сообщении #241005 писал(а):

Максимум 3 (я так думаю),

Наоборот -- это минимум 3.

[invisible1]

Legioner93 , $\cos0^{\circ}=?$ Можно побольше таких углов взять)

[gris]

ewert, Вы меня повергаете в задумчивость, а мне это противопоказано.
$\pi;-\pi;\pi;-\pi;\pi;\pi;$. Минимум равен минус шести.

Да и насчёт неотрицательных я что-то сомневаюсь насчёт 3. Может быть 2?

Legioner93, Вы лучше не корректируйте, а добавляйте. А то не прочтёт никто. А это Ваше выражение действительно окончательное, а то потом выяснится, что ещё и тангенсы с котангенсами сбоку пристроились. Вы что, днём проспали пять часов?

[Legioner93]

Нет, за ночь. А корректировать я начал, когда мое сообщение было последним, просто в TeXе пока еще медленно пишу. Это выражение окончательно.

[ewert]

gris в сообщении #241011 писал(а):

ewert, Вы меня повергаете в задумчивость, а мне это противопоказано.
$\pi;-\pi;\pi;-\pi;\pi;\pi;$. Минимум равен минус шести.?

Сдаюсь.

gris в сообщении #241011 писал(а):

Да и насчёт неотрицательных я что-то сомневаюсь насчёт 3. Может быть 2?

Нет, по-моему, всё-таки 3.

[gris]

А что Вам 5 часов мало?
Ну хорошо. Тогда посмотрите, чему равны максимальные значения каждого корня. И проверьте уже найденные значения углов.

-- Вс сен 06, 2009 21:55:10 --

ewert, я в смущении, право. Не сочтите за дерзость, но вот мне что-то в голову пришёл набор $0^{\circ};0^{\circ};90^{\circ};90^{\circ};90^{\circ};90^{\circ}$

[Legioner93]

Да это у меня просто привычка такая валить все на недосып:)
А почему при максимальных корнях достигается максимум суммы?
Кстати, углы не больше 180 и положительные (может хоть этим оправдается мой позорный ответ в начале?). Просто это углы выпуклого многоугольника, и я, хотя подсознательно учитывал это условие, не написал его здесь. Извините.

[ewert]

gris в сообщении #241027 писал(а):

ewert, я в смущении, право. Не сочтите за дерзость, но вот мне что-то в голову пришёл набор $0^{\circ};0^{\circ};90^{\circ};90^{\circ};90^{\circ};90^{\circ}$

А я так в ещё большем смущении: 0, 0, 0, 120, 120, 120...

(я легкомысленно попытался в тот раз воспользоваться геометрическими соображениями; а как воистину правильно -- думать по-прежнему лень)

[gris]

ewert, у меня большего смущения не получается

Legioner93 это в каком же многоугольнике и что за углы? Я так думаю, что это внутри шестиугольника Вы взяли точку и провели из неё отрезки к вершинам? И таскаете бедную точку, и таскаете...