Формула для пифагоровых троек

[Бодигрим]

age в сообщении #240349 писал(а):

А лучше сидеть, книжки читать и ума набираться.

И не говорите. А то встанешь, напишешь на форум, а там что ни строчка - то шедевр:

Цитата:

Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.

Все бы ничего, но те, кто книжки читали: а) знают чем формы отличаются от чисел, б) чаще пишут правильные формулировки, в) приводят хотя бы намеки на доказательство.

А вообще так любопытно наблюдать отказ читать учебники от того, кто не так давно писал:

age в сообщении #226729 писал(а):

grisania писал(а):

Желательно не писать таких фраз, а если пишите, то такие фразы надо преподносить как дискуссионные. Поэтому лучше высказать свои доводы за или против.

Желательно все изучать по книгам, тем более вывод формул для неполных квадратов есть практически в любом учебнике. Учебники лучше искать самому.

[age]

TOTAL в сообщении #240430 писал(а):

age в сообщении #240349 писал(а):

Доказательство:
Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.

Здесь ничего про сокращение не говорится. Так что исправляйте, пишите заново.

Мы с вами в кошки-мышки играем или доказательство строим? По-моему, вы не совсем похожи на человека, которому $2\cdot2=4$ надо записывать $e^{2ln2}=4$ и при этом приводить ОДЗ.

-- Пт сен 04, 2009 13:07:16 --

grisania
Сокращается на три в квадрате! Англ. ненавижу. Нелитературный он. У меня от него голова начинает болеть.

[TOTAL]

age в сообщении #240461 писал(а):

Мы с вами в кошки-мышки играем или доказательство строим?

Пока не поймёте доказательство, которое дал VAL, никто ваше "строительство" не будет воспринимать серьезно.

[age]

Батороев
Исправил. Извините.

-- Пт сен 04, 2009 13:16:37 --

TOTAL
VAL Рассмотрел лишь случай когда $z$ и $y$ одинаковой четности. Еще есть случай, когда они разной четности. Следовательно $\dfrac{z\pm y}{2}$ не будут целыми числами.

[TOTAL]

age в сообщении #240465 писал(а):

TOTAL
VAL Рассмотрел лишь случай когда $z$ и $y$ одинаковой четности. Еще есть случай, когда они разной четности. Следовательно $\dfrac{z\pm y}{2}$ не будут целыми числами.

Неверно. VAL заметил, что в $x^2+y^2=z^2$ слева одно из чисел четное, а другое нечетное. Для определенности он считает, что $y, z$ - нечетные, а $x$ - четное. "Другой" случай, т.е. когда $x, z$ нечетные, а $y$ - четное, не является другим случаем, это тот же самый случай с точностью до обозначений.

[age]

TOTAL
С точностью до обозначений? А вдруг нет?

[grisania]

grisania в сообщении #240435 писал(а):

age в сообщении #240349 писал(а):

Доказательство:
Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.
Первая строчка написана! Осталось еще две, уважаемый Бодигрим, чтобы не выкладывать сюда сканы страниц и не начинать с Девенпорта!
А лучше сидеть, книжки читать и ума набираться.

age в сообщении #240461 писал(а):

grisania
Сокращается на три в квадрате! Англ. ненавижу. Нелитературный он. У меня от него голова начинает болеть.

Из того что в левой части $x^2+y^2=z^2$ находится сумма квадратов не следует, что $z$ является сумма квадратов ($z$ представляется квадратичной формой).
Я привел контр-пример по англицки, переведу

Имеем ${{15}^{2}}={{3}^{2}}{{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}$, т.е. ${{15}^{2}}$ представляется сумма двух квадратов. Тогда$15=3\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)$. Пусть число $15$ представляется суммой двух квадратов. Если разделим число $15$ на $5={{2}^{2}}+{{1}^{2}}$, которое представляется сумма двух квадратов, тогда мы имеем $3$. Согласно известному результату (см., например, Эдвардс p. 64) число $3$ должно также представляться сумой двух квадратов. Однако, $3$ имеет вид $4k+3$, а из знаменитой теоремы Fermat следует, что $3$ не представляется сумой двух квадратов. Противоречие.
Также ${{15}^{2}}={{m}^{2}}{{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}^{2}}={{(9m)}^{2}}+{{(12m)}^{2}}$, где ${m}$ любое простое число вида $4k+3$

[age]

grisania
Еще раз для одаренных!
Ваш пример СОКРАЩАЕТСЯ на три в квадрате. Или не сокращается?

[grisania]

age в сообщении #240530 писал(а):

grisania
Еще раз для одаренных!
Ваш пример СОКРАЩАЕТСЯ на три в квадрате. Или не сокращается?

Для одаренных.
Имеем ${{15}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}$. Вы утверждаете, что $z=15$ представляется суммой двух квадратов (в вашей терминологии $z$ является квадратичной формой). Но $z=15=3\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)$, где $3$ не представляется сумой двух квадратов, а, значит, и произведение $3\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)=3\cdot 5=15$ не представляется сумой двух квадратов. Я дал этому факту аккуратное доказательство.
Поэтому накладывают условие, что $\gcd (x,y)=1$, т.е. $x,y$ взаимно простые. Если это условие выполняется, то действительно, ваше утверждение верно. Это просто доказать.
Поэтому такие ваши рассуждения верны.
Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.
И оно верно, когда $x,y взаимно простые.
Верно больше.
Если ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{z}^{n}}$ и $\gcd (x,y)=1$. То так как в левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой (представляется сумой двух квадратов). Следовательно, $z=a^2+b^2$ Но это, когда $n>2$, уже непросто доказать, а даже очень сложно.

[age]

grisania
Думаю можно переходить к шагу 2 и 3. Осталось всего две строчки!

[grisania]

age в сообщении #240546 писал(а):

grisania
Думаю можно переходить к шагу 2 и 3. Осталось всего две строчки!

Самых трудных аднака

[age]

grisania
Я не скрываю, что данное доказательство красиво. . Но в силу этой же причины не могу привести его здесь полностью. Дальше придется самостоятельно.

[Cave]

А вдруг это не доказательство? Ведь вы рассматриваете только случай, когда они разной чётности. Вдруг получится другое решение? Ведь наше дело - не отмахнуться, а рассмотреть все случаи.

[age]

Cave
Дорогу осилит идущий. Все может быть.

[Cave]

Но тогда, к сожалению, в этом доказательстве нет смысла, поскольку существует простейшее доказательство от VAL и оно не хуже.