Формула для пифагоровых троек

[age]

venco
Если мы их переставим местами, то можем потерять целую группу решений (других, не таких как $(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2$. А наша задача - их именно найти! а не потерять (если конечно они существуют).

-- Чт сен 03, 2009 21:24:16 --

venco в сообщении #240327 писал(а):

А если не переставлять, очевидно, получится формула: $a=n^2-m^2, b=2nm, c=n^2+m^2$. Неужели сами не смогли переставить?

Мне? Совершенно неочевидно.

[venco]

age в сообщении #240328 писал(а):

Мне? Совершенно неочевидно.

Сожалею.

[age]

venco
Сдаетесь?

[venco]

age в сообщении #240332 писал(а):

venco
Сдаетесь?

На таком уровне мне вести дискуссию не интересно. Можете считать, что я сдался.

[age]

давайте подождем, пока Батороев, VAL, TOTAL, grisania, Бодигрим сдадутся!
Доказательство слишком красиво, чтобы привести его здесь!
Вообще-то это задача олимпиадная и было ошибкой поместить ее сюда!

[grisania]

age в сообщении #240335 писал(а):

давайте подождем, пока Батороев, VAL, TOTAL, grisania, Бодигрим сдадутся!
Доказательство слишком красиво, чтобы привести его здесь!
Вообще-то это задача олимпиадная и было ошибкой поместить ее сюда!

сдаюсь, бить не будут

[Алексей К.]

age в сообщении #240335 писал(а):

Доказательство слишком красиво, чтобы привести его здесь!

Чисто из любопытства: а какое "там" Вы считаете достойным того, чтобы быть украшенным упомянутым доказательством (ну типа "Такой-то форум", или "Crellers journal", или...)
Мерси.

[age]

Алексей К.
Никакой. Этот - достойнейший. Я просто жду пока остальные участники сдадутся!

-- Пт сен 04, 2009 00:46:14 --

Ладно. Сдаваться не хотят.
Даю первую подсказку. Кому интересно, продолжит сам.
Докажем, что других решений уравнения $x^2+y^2=z^2$, кроме $(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2$ быть не может.

Доказательство:
Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.

Первая строчка написана! Осталось еще две, уважаемый Бодигрим, чтобы не выкладывать сюда сканы страниц и не начинать с Девенпорта!
А лучше сидеть, книжки читать и ума набираться.

[VAL]

age писал(а):

Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.

Я уже решил для себя, что не буду продолжать этот бесполезный разговор. Но не выдержал!
$9^2+12^2=15^2$. И как же $15$ представляется суммой двух квадратов?

[Батороев]

age в сообщении #240307 писал(а):

Батороев
Автор приведенной вами статьи идет тем же путем, что и venco. Т.е. он вначале доказывает, что числа $a$ и $b$ непременно должны быть одинаковой четности. Этот подход не охватывает другого случая, который я указал выше.

Это Вам только так кажется.

Цитата:

Можно чуть короче сказать, что x, y, z из (2) со всевозможными натуральными l и m > n суть все возможные решения (1) с точностью до перестановки x и y.

Выделенно мной.

age в сообщении #240335 писал(а):

давайте подождем, пока Батороев, V... сдадутся!
Доказательство слишком красиво, чтобы привести его здесь!
Вообще-то это задача олимпиадная и было ошибкой поместить ее сюда!

Меня не ждите.
Сдаточный период у меня в планах - не в этом десятилетии.

[TOTAL]

VAL в сообщении #240417 писал(а):

И как же $15$ представляется суммой двух квадратов?

Так же, как 15 является квадратичной формой.

[age]

VAL
TOTAL
Если $9^2+12^2=15^2$, то все три числа делятся на $3^2$. Сокращаем на $3^2$, получаем $3^2+4^2=5^2$. Замечание не по существу.

[TOTAL]

age в сообщении #240349 писал(а):

Доказательство:
Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.

Здесь ничего про сокращение не говорится. Так что исправляйте, пишите заново.

[Батороев]

age в сообщении #240429 писал(а):

VALTOTAL

Смешались в кучу люди, числа.

[grisania]

age в сообщении #240349 писал(а):

Алексей К.
Никакой. Этот - достойнейший. Я просто жду пока остальные участники сдадутся!

-- Пт сен 04, 2009 00:46:14 --

Ладно. Сдаваться не хотят.
Даю первую подсказку. Кому интересно, продолжит сам.
Докажем, что других решений уравнения $x^2+y^2=z^2$, кроме $(a^2-b^2)^2+4a^2b^2=(a^2+b^2)^2$ быть не может.

Доказательство:
Пусть $x^2+y^2=z^2$. В левой части находится сумма квадратов, поэтому и $z$ является квадратичной формой. Следовательно, $z=a^2+b^2$.

Первая строчка написана! Осталось еще две, уважаемый Бодигрим, чтобы не выкладывать сюда сканы страниц и не начинать с Девенпорта!
А лучше сидеть, книжки читать и ума набираться.

We have ${{15}^{2}}={{3}^{2}}{{\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)}^{2}}={{9}^{2}}+{{12}^{2}}$, i.e. ${{15}^{2}}$ representable as sum of two squares. Thus we have $15=3\left( {{2}^{2}}+{{1}^{2}} \right)$. Assume that number $15$ are representable as sum of two squares. If we divide $15$ by $5={{2}^{2}}+{{1}^{2}}$ which is representable as sum of two squares, then we have number $3$. By virtue of well-knonh result (see for instance Эдвардс p. 64) number $3$ must be representable as sum of two squares. However, $3$ has form $4k+3$, then from the famous Theorem Fermat it follows that $3$ is not representable as sum of two squares. We have a contradiction.

Эдвардс Г. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. Москва (Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory). Мир, 1980

Извиняюсь, что по-англици, если непонятно - переведу