Формула для пифагоровых троек

[Бодигрим]

age в сообщении #240267 писал(а):

Тогда приведите этот аналог.

Вам Заратустра не позволяет в книжку заглянуть? Мне не интересно перенабирать энное количество текста, сокращая и перерабатывая его, когда его полный, внятно написанный и не раздутый вариант существует и легко доступен. Могу ради вас разве что сканы страниц книги на форум выложить.

[age]

Бодигрим
Тогда не отнимайте мое время.

[venco]

age в сообщении #240279 писал(а):

venco
Не обязательно. Из чисел $a, b, c$ два нечетны, одно четно (в примитивных тройках). Поэтому в $a$ и $b$ могут попасть числа как разной четности $5$ и $4$, так и одинаковой $5$ и $3$.

Не могут, и я про это писал. Квадраты нечётных чисел по модулю $4$ равны $1$, и их сумма не будет делится на $4$, т.е. не может быть квадратом чётного числа.

[Батороев]

age в сообщении #240022 писал(а):

VAL
Все очень просто: надо либо найти другое решение пифагоровых троек, отличное от:
$k^2(a^2-b^2)+4k^2a^2b^2=k^2(a^2+b^2)$
Либо показать, что такого (другого) решения в принципе быть не может!

Я смотрю, по ходу "пьесы" уже и условие поменяли.

Что касается первоначального варианта вопроса, то можете посмотреть здесь: http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=3&page=2

[age]

venco
Ну почему же не могут? Вот, например, $3^2+4^2=5^2$. Тогда разностью квадратов можно представить два числа:
Как
$4^2=(5+3)(5-3)$ - одинаковой четности.
так и
$3^2=(5+4)(5-4)$ - разной четности.
Второй случай надо также рассматривать! Может именно он приведет к другой формуле?

[grisania]

Предложение. Пусть тройка чисел $a$, $b$, $c$ – удовлетворяет уравнению ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$ и условию $\left( a,b \right)=1$, тогда числа $a$, $b$, $c$ взаимно просты, никакие два числа этой тройки не могут быть четными, числа $a$ и $b$ разной четности, $c$ нечетно.
Доказательство. Если числа $a$, $b$, $c$ – решения уравнения ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}$ и $\left( a,b \right)=1$, то очевидно, что $a$, $b$, $c$ взаимно простые. Поэтому никакие два числа тройки не имеют общий делитель $2$, т. е. никакие два числа не могут быть четными. Пусть ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ равно ${{c}^{2}}$, где $a$ и $b$ нечетны, тогда ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}$ имеет вид $4l+2=2\left( 2l+1 \right)$, ${{c}^{2}}$ имеет вид $4k$ или $4k+1$. Отсюда ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne {{c}^{2}}$. Противоречие.
Поэтому $a$ и $b$ разной четности, а тогда $c$ нечетно

[age]

Батороев
Автор приведенной вами статьи идет тем же путем, что и venco. Т.е. он вначале доказывает, что числа $a$ и $b$ непременно должны быть одинаковой четности. Этот подход не охватывает другого случая, который я указал выше.

-- Чт сен 03, 2009 20:57:46 --

grisania
Это так. Но не доказывает, что других решений кроме $k^2(a^2-b^2)^2+4k^2a^2b^2=k^2(a^2+b^2)^2$быть не может.

[jetyb]

age в сообщении #240303 писал(а):

venco
Ну почему же не могут? Вот, например, $3^2+4^2=5^2$. Тогда разностью квадратов можно представить два числа:
Как
$4^2=(5+3)(5-3)$ - одинаковой четности.
так и
$3^2=(5+4)(5-4)$ - разной четности.
Второй случай надо также рассматривать! Может именно он приведет к другой формуле?

Прочтите внимательно доказательство:

venco в сообщении #239991 писал(а):

Пусть $a^2+b^2=c^2$, где $a, b, c$ - взаимно простые.
Если рассмотреть равенство по модулю $4$, то единственная возможность - это если $c$ - нечётное, и в паре $a, b$ одно число чётное, а другое - нечётное. Положим для определённости, что чётное - $a$.
$a^2 = c^2-b^2 = (c-b)(c+b)$.

Для единственности достаточно доказать, что если тройка $a,b,c$ - пифагорова, то она может быть представлена изложенными формулами, что и проделано.

[age]

jetyb
А если положить для определенности, что $a$ - нечетное? Почему нет? И venco и вы обходите ее стороной. Доказательство я читал раз восемь. Внимательно. Свое мнение высказал.
Наша задача, не отмахнуться "для определенности", а рассмотреть все случаи, чтобы доказать что других решений нет. Или есть.

[venco]

age в сообщении #240303 писал(а):

venco
Ну почему же не могут? Вот, например, $3^2+4^2=5^2$.

Так. Вы читаете, что сами пишите? Ещё раз, $a$ и $b$ не могут быть оба нечётные, и я это доказал, ваш пример ещё раз демонструет этот факт.

-- Чт сен 03, 2009 13:16:06 --

age в сообщении #240319 писал(а):

jetyb
А если положить для определенности, что $a$ - нечетное? Почему нет? И venco и вы обходите ее стороной. Доказательство я читал раз восемь. Внимательно. Свое мнение высказал.

Если $a$ - нечётное, то $b$ - чётное. Переставьте их местами.

[jetyb]

Тогда $b$ должно быть четным, для рассмотрения этого случая достаточно переписать доказательство, поменяв $a$ и $b$ местами.

[age]

venco
Вы принимаете, что числа $c$ и $a$ (для определенности) одинаковой четности. А что если их рассмотреть с позиций разной четности. Вот о чем я.
То, что числа $a$ и $b$ разной четности - это понятно.

-- Чт сен 03, 2009 21:19:20 --

venco
Так вот, если переставить местами, то получится пресловутая формула. А если не переставлять? Может получится другая формула?

[venco]

Если $a$ - нечётное, то $b$ - чётное. Переставьте их местами.

[age]

jetyb
Тема звучит так:
Докажите, что других решений быть не может в принципе. А вы просто говорите, мол, та они не нужны, поменяем местами и получим стандартное решение, которое всем известно. Ну стандартное решение и школьнику понятно!

[venco]

age в сообщении #240323 писал(а):

А если не переставлять? Может получится другая формула?

А если не переставлять, очевидно, получится формула: $a=n^2-m^2, b=2nm, c=n^2+m^2$. Неужели сами не смогли переставить?