Помогите решить и оформить задания мат-анализа 1 курса.

[ewert]

gris в сообщении #240058 писал(а):

хотя это и не идейно.

Да в общем-то идейно. А как ещё опровергать дифференцируемость?

[gris]

Для опровержения надо найти три (два, если...) направления, по которым производные не согласованы. Вот почему я засомневался в идейности. Но раз Вы говорите, что идейно, то я не осмеливаюсь оспоривать.
А на самом деле, как ещё опровергают дифференцируемость, ну кроме случая разрывности?

[ewert]

gris в сообщении #240077 писал(а):

Для опровержения надо найти три (два, если...) направления, по которым производные не согласованы.

Достаточно найти два направления, по которым производные равны нулю, и ещё одно -- по которому производная ненулевая.

[AKM]

int13 в сообщении #239932 писал(а):

3. Найти длину дуг, следующих кривых:

$$r = 2(1 + \cos fi)$$

Тут пока без понятия. Могу предположить только как найти длину дуги, через определенный интеграл. Но тут я что-то не пойму само задание.
Может так?
Раз косинус может принимать значения от минус одного до одного, значит r меняется от нуля до четырех.
То есть:

$$ l = \int\limits_0^4 {\sqrt {1 + ((2 + 2\cos fi)')^2 } } \quad\text{\color{blue}а где дифференциал???} $$

Это может мне что-то дать?

Это может дать, только формула, по-моему, неправильная. Там не $1+\ldots$ под корнем.
Ещё кой чего может дать набросок кривой. Рисуя её как функцию $\varphi$ (пишется $\varphi$ или $\phi$$=\phi$), Вы почувствуете, что и полярный радиус, и длина кривой являются функцией этого самого $\varphi$. И длину можно найти интегрированием от 0 до того конкретного значения $\varphi$ (обозначим его $\varphi_1$), до которого Вы типа дорисовать не поленились. Интегрированием именно по $\varphi$.
А то, что там при этом как-то радиус менялся, погода менялась, время бежало --- это не важно. Менялось $\varphi$, и от этого длина дуги менялась. Вы ищете $l(\varphi)$.

[JollyRoger]

int13 в сообщении #239972 писал(а):

Ошибка в: du = (ln x +1)dx?
Тогда:

$$ \int_1^2 {x*\ln xdx = } x^2 \ln x|_2^1 - \int\limits_1^2 {x(\ln x + 1)dx = } 4\ln 2 - \int\limits_1^2 {(x\ln x + x)dx} $$

?
Ответ:

$$ 2\ln 2 - 1 $$

?

У Вас есть ошибка, но ответ почему-то правильный Попробуйте писать более подробно, т.е.

$$ \int\limits_1^2 x \ln x \cdot \mathrm{d}x = \int\limits_1^2 \ln x \cdot \mathrm{d}(\frac{x^2}{2}) = \ln x \cdot \frac{x^2}{2} \Bigr | _1^2 + \int\limits_1^2 \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \dots $$

[AKM]

AKM в сообщении #240220 писал(а):

...только формула, по-моему, неправильная. Там не $1+\ldots$ под корнем.

Понял --- у Вас задача в полярных координатах, а формулу длины дуги Вы взяли из совсем другой оперы --- для кривой $y=f(x)$ в декартовых...