Помогите решить и оформить задания мат-анализа 1 курса.

[int13]

Есть несколько заданий, к некоторым из них я даже не знаю как подступиться, прошу помощи у вас.
Если не трудно, скорректируйте меня и направьте на верный путь.
Я буду писать пример и свои рассуждения относительно него.
1. Done.

$$\int {\frac{{dx}}{{\cos x*\sin x}} = \int {\frac{{dx}} {{\cos x*\sin x}} = } \int {\frac{{dx}} {{\cos x*\sin x*\frac{{\cos x}} {{\cos x}}}}} = \int {\frac{{dx}} {{\cos ^2 x*\tan x}} = } \int {\frac{{d(\tan x)}} {{\tan x}} = } \ln \left| {\tan x} \right| + c $$

2.

$$ \int_1^2 {x*\ln xdx = } $$

Пытаюсь интегрировать по частям.

$$ \int_1^2 {x*\ln xdx = } x^2 \ln x|_2^1 - \int\limits_1^2 {x(\ln x + 1)dx = } 4\ln 2 - \int\limits_1^2 {(x\ln x + x)dx} = 4\ln 2 - (2\ln 2 + 2 - 1) = 2\ln 2 - 1 $$

$$ u = x*\ln x $$ \eqalign{ & \cr} $$ dv = dx = > v = x $$ \eqalign{ & \cr} $$ du = (\ln x + 1)dx$$

3.

Найти длину дуг, следующих кривых:

$$ r = 2(1 + \cos fi) $$

Тут пока без понятия. Могу предположить только как найти длину дуги, через определенный интеграл. Но тут я что-то не пойму само задание.
Может так?
Раз косинус может принимать значения от минус одного до одного, значит r меняется от нуля до четырех.
То есть:

$$ l = \int\limits_0^4 {\sqrt {1 + ((2 + 2\cos fi)')^2 } } $$

Это может мне что-то дать?

4.
Исследовать на непрерывность и дифференцируемость в точке О(0,0)

$$ \eqalign{ & f(x,y) = \left\{ {0,x^2 + y^2 = 0} \right\} \cr & f(x,y) = \left\{ {\frac{{xy^2 }} {{x^2 + y^2 }},x^2 + y^2 \ne 0} \right\} \cr} $$

Найти F'x(0,0), F'y(0,0) по определению.

Не совсем понимаю, с чего начинать рассуждения.
В первом случае, я так понял x=y=0, поэтому исследовать там вроде нечего.
Во втором случае, можно попробовать поискать точки разрыва и критические точки.
Глядя на неё, мне хочется сказать что она непрерывна, т.к области значения ничего не препятствует, и, кажется, точек разрыва здесь нет. Этому требуется какое-то математическое обоснование?

(сейчас допишу остальные)

[JollyRoger]

1. А что не так? Правильно же.
2. Ошибка тут:

$$ \int\limits_1^2 {dx } $$

[ewert]

Бог мой, при чём тут первый курс, он ведь ещё и не начался по существу, и интегралы -- на сей момент совсем уж неприличны...

[int13]

1. Я совсем не силен в этой теме, и с ответами свериться негде, поэтому лишний раз удостовериться правильно или нет не помешает
2. А можно поподробней, в чем ошибка? По формуле там должно быть:

$$ \int\limits_a^b {V*du} $$

В моем случае:

$$ \int\limits_1^2 {\frac{x} {x}*dx} $$

?
3. Ну что же делать, если до меня все доходит в последнюю очередь

[JollyRoger]

int13 в сообщении #239957 писал(а):

В моем случае:

$$ \int\limits_1^2 {\frac{x} {x}*dx} $$

$ x^2 \ln x |_1^2 $ -- тут у Вас $ v = x^2 $, $ \int\limits_1^2 {\frac{x} {x}*dx} $ -- тут $ v = x $. Оба варианты неправильные.

[int13]

Ошибка в: du = (ln x +1)dx?
Тогда:

$$ \int_1^2 {x*\ln xdx = } x^2 \ln x|_2^1 - \int\limits_1^2 {x(\ln x + 1)dx = } 4\ln 2 - \int\limits_1^2 {(x\ln x + x)dx} $$

?
Ответ:

$$ 2\ln 2 - 1 $$

?

[mrbus]

По поводу первого, я пошёл другим путём
$\int{\frac{dx}{\cos x\cdot \sin x}} = \int{\frac{dx}{\frac{1}{2}\sin 2x}} = \int{d(2x)\csc 2x} = -ln\left| \csc 2x + \ctg 2x\right| + C$ - табличный, но ваш вариант проще.

[gris]

int13 писал(а):

4.Исследовать на непрерывность и дифференцируемость в точке О(0,0)

$$ \eqalign{ & f(x,y) = \left\{ {0,x^2 + y^2 = 0} \right\} \cr & f(x,y) = \left\{ {\frac{{xy^2 }} {{x^2 + y^2 }},x^2 + y^2 \ne 0} \right\} \cr} $$

Найти F'x(0,0), F'y(0,0) по определению.

Это не две функции, а одна, по разному определённая в точке $(0;0)$ и на выколотой плоскости.

С частными производными проще разобраться, чем с непрерывностью. Составьте соответствующие пределы для производной по одной переменной, подставив нулевое значение для другой переменной. Даже и считать ничего не надо.

А вот с непрерывностью в нуле здесь совсем плохо. Попробуйте показать, что функция не является непрерывной, используя определение предела в точке через последовательности (по Гейне).

[bot]

gris в сообщении #240012 писал(а):

А вот с непрерывностью в нуле здесь совсем плохо. Попробуйте показать, что функция не является непрерывной

Так ли уж плохо? Может быть стоит попробовать показать, что она непрерывна? Если сходу не получится - звоните 02.

[ewert]

gris в сообщении #240012 писал(а):

С частными производными проще разобраться, чем с непрерывностью. Составьте соответствующие пределы для производной по одной переменной, подставив нулевое значение для другой переменной.

И ничего и не выйдет. Будут частные производные нулевыми, а вот дифференцируемость-то -- и тю-тю.

[bot]

ewert в сообщении #240038 писал(а):

а вот дифференцируемость-то -- и тю-тю.

Дифференцируемости нет, но этого вопроса не было - требовалось найти частные производные в направлении осей, а с ними всё не так плохо, и даже совсем-совсем наоборот.

PS. Из-за Вашего "ничего не выйдет" сразу и не заметил, что Вы, собственно, против частных производных и не возражаете.

[gris]

Можно и это попробовать. Я же не говорю, что она не непрерывна в нуле. Я вообще не люблю непрерывные функции, поэтому для меня, например, плохо, если она непрерывна .

А про дифференцируемость я ни слова не сказал. Из существования частных производных не следует дифференцируемости. Этому и учит данный пример. А вопрос про дифференцируемость был.

[ewert]

bot в сообщении #240042 писал(а):

О дифференцируемости вопроса не было

int13 в сообщении #239932 писал(а):

4.Исследовать на непрерывность и дифференцируемость в точке О(0,0)

[bot]

Пардон, не заметил стартовый вопрос - был вопрос о дифференцируемости.

[gris]

Можно найти производную по направлению $x=y$, хотя это и не идейно. Зато будет ясно с дифференцируемостью.