О количестве простых чисел в интервале

[hjunec]

Подскажите пожалуйста, можно ли найти в литературе и если да, то где, ответ на следующий вопрос:
Имеются ли несмещённые вероятностные оценки для количества простых чисел, для количества двойников, для количества простых чисел вида $n^2+1$ в интервале от $10^k$ до $10^k^+^1 $ и доверительные интервалы для таких оценок?

[Бодигрим]

Что касается количества простых чисел, не превосходящих $x$, то, обозначая его через $\pi(x)$, имеют место неравенства

$$ \ln x -{3\over2} < {x\over\pi(x)} < \ln x-{1\over2} $$

при $x\ge67$. Это, конечно, насколько я понимаю, не есть _доверительный_ интервал в строгом смысле этого слова.

[hjunec]

Благодарю за столь быстрый ответ и буду признателен, если Вы сообщите, где опубликовано это неравенство. Двойное неравенство не является доверительным интервалом, оно определяет предельные верхнюю и нижнюю границы для простых чисел, расположенных в интервале от 0 до х. Очевидно, что имеется множество подобных неравенств с более близкими границами и большими значениями х. Например, $lnx-{7\over6}<{x\over\pi(x)}<lnx-{5\over6}$ при $x\ge870$. Меня интересуют более универсальные и более точные вероятностные оценки, основанные на использовании характеристик распределения разности соседних простых чисел и хотелось бы найти публикации по этой узкой тематике.

[Бодигрим]

Это оценка из Rosser J. B., Schoenfeld L. Approximate formulas for some functions of prime numbers, Illinois Journal of Mathematics, 6 (1962), 64-94.

Есть такой раздел, как вероятностная теория чисел. Возможно в литературе по ней вы найдете требуемую информацию. Но вообще - впрочем, я не специалист - я не слышал о плодотворных результатах о "распределенеии разности соседних простых чисел". Если не разрешен даже вопрос о _бесконечности_ простых-близнецов (не то что их распределения)...

Вот разве что ссылка на гипотезу Харди-Литтлвуда: http://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html

[ddn]

Я бы с осторожностью относился к таким "доверительным" интервалам.
В теории чисел вообще туго с численными оценками тех или иных констант.
Например, в оценке:
$\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-a\sqrt{\ln(x)}})=Li(x)+C\theta xe^{-a\sqrt{\ln(x)}}$.
Нигде не найти достоверной оценки такого $x_0=x_0(a,C)$ хотя бы для некоторых $a>a_0>0$ и $C>0$, что для всех $x\geqslant x_0$ справедливо $\theta\in[-1,1]$.

Но не это отвратительно. Что выводит меня из себя (и хочеться ругаться неприличными словами), так когда эти с позволения сказать авторы приводят подобную константу, но не указывают интервал ее справедливости - доказана ли ее справедливость на бесконечном интервале $[x_0,\infty)$, или она только проверена для чисел не превышающих некоторое большое $N$? Поди гадай...
Вот к примеру, на http://primes.utm.edu/howmany.shtml
есть такие оценки:
$x>598$: $\frac{x}{\ln(x)}\left(1+\frac{0.992}{\ln(x)}\right)<\pi(x)<\frac{x}{\ln(x)}\left(1+\frac{1.2762}{\ln(x)}\right)$;
$n>8601$: $n\left(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1.0073)<p(n)<n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-0.9385\right)$;
$n>15985$: $p(n)<n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-0.9427)$;
$n>13$: $p(n)<n\left(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1+1.8\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right)$;
$n>0$: $p(n)>n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1)$.
Про верхнюю границу для $x$ и $n$ не сказано ничего, но я уверен, что эти оценки только проверены для достаточно большого $x$ и $n$, и не более.

Так как $xe^{-a\sqrt{\ln(x)}}$ бесконечномалое относительно любого $\frac{x}{\ln(x)^n}$, то асимптотическое разложение $\pi(x)$ есть
$\pi(x)=\sum\limits_{k=1}^{N-1}(k-1)!\frac{x}{\ln(x)^k}+O(\frac{x}{\ln(x)^{N}})$,
откуда, обращая, можно получить асимптотическое разложение
$p(n)=n\ln(n)\left(1+\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{\sum\limits_{l=0}^{k}a[k,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^k}+\frac{\sum\limits_{l=0}^{L-1}a[N,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^N}+O\left(\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N}\right)\right)$,
где $N\geqslant 0$ и $0\leqslant L\leqslant N$.

Для всякого $x_0>1$ ($n_0>1$) можно подобрать доверительный интервал $[C_{-},C_{+}]$ для коэффициентов при остаточных членах этих разложений:
для $\pi(x)$: $O(\frac{x}{\ln(x)^{N}})=C\frac{x}{\ln(x)^{N}}$ и при $x\geqslant x_0$ будет $C\in[C_{-},C_{+}]$, очевидно также $N!\in[C_{-},C_{+}]$;
для $p(n)$: $O(\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N})=C\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N}$ и при $n\geqslant n_0$ будет $C\in[C_{-},C_{+}]$, очевидно также $a[N,L]\in[C_{-},C_{+}]$.

[Nilenbert]

ddn в сообщении #239520 писал(а):

Что выводит меня из себя (и хочеться ругаться неприличными словами), так когда эти с позволения сказать авторы приводят подобную константу, но не указывают интервал ее справедливости - доказана ли ее справедливость на бесконечном интервале $[x_0,\infty)$, или она только проверена для чисел не превышающих некоторое большое $N$? Поди гадай...
Вот к примеру, на http://primes.utm.edu/howmany.shtml
есть такие оценки:
...
$n>0$: $p(n)>n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1)$.
Про верхнюю границу для $x$ и $n$ не сказано ничего, но я уверен, что эти оценки только проверены для достаточно большого $x$ и $n$, и не более.

Хм, там же прямым текстом написано:Pierre Dusart [Dusart99] made these results stronger and showed
$p(n)>n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1)$.
for all n.

[sceptic]

ddn в сообщении #239520 писал(а):

Я бы с осторожностью относился к таким "доверительным" интервалам.
В теории чисел вообще туго с численными оценками тех или иных констант.
Например, в оценке:
$\pi(x)=Li(x)+O(xe^{-a\sqrt{\ln(x)}})=Li(x)+C\theta xe^{-a\sqrt{\ln(x)}}$.
Нигде не найти достоверной оценки такого $x_0=x_0(a,C)$ хотя бы для некоторых $a>a_0>0$ и $C>0$, что для всех $x\geqslant x_0$ справедливо $\theta\in[-1,1]$.

Но не это отвратительно. Что выводит меня из себя (и хочеться ругаться неприличными словами), так когда эти с позволения сказать авторы приводят подобную константу, но не указывают интервал ее справедливости - доказана ли ее справедливость на бесконечном интервале $[x_0,\infty)$, или она только проверена для чисел не превышающих некоторое большое $N$? Поди гадай...
Вот к примеру, на http://primes.utm.edu/howmany.shtml
есть такие оценки:
$x>598$: $\frac{x}{\ln(x)}\left(1+\frac{0.992}{\ln(x)}\right)<\pi(x)<\frac{x}{\ln(x)}\left(1+\frac{1.2762}{\ln(x)}\right)$;
$n>8601$: $n\left(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1.0073)<p(n)<n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-0.9385\right)$;
$n>15985$: $p(n)<n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-0.9427)$;
$n>13$: $p(n)<n\left(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1+1.8\frac{\ln(\ln(n))}{\ln(n)}\right)$;
$n>0$: $p(n)>n(\ln(n)+\ln(\ln(n))-1)$.
Про верхнюю границу для $x$ и $n$ не сказано ничего, но я уверен, что эти оценки только проверены для достаточно большого $x$ и $n$, и не более.

Это вы зря. Эти неравенства - не эмпирические факты, о проверке которых можно рассуждать, а доказанные математические утверждения.

[ddn]

sceptic писал(а):

Это вы зря. Эти неравенства - не эмпирические факты, о проверке которых можно рассуждать, а доказанные математические утверждения.

А вот я не столь уверен...
Какими методиками находились эти константы? Методом Виноградова и его обобщениями? Оценки поведения нулей дзета-функции? Хотелось бы услышать мнение профи.
Что можно сказать по доверительным интервалам $[C_{-},C_{+}]$ для формул, указанных мною - по ним были какие-то результаты?

Нижняя граница $x$ и $n$ определенно устанавливается эмпирически, на "плохом" простом числе либо индексе, дающим экстремальное значение константы, где значение оцениваемой функции цепляется за границу своего доверительного интервала. Собственно значение константы устанавливается этим "плохом" аргументом. А дальше проверяется, что для много больших чисел значение оцениваемой функции не выпадает из доверительного интервала, и даже стремиться к значению некоторой регулярной функции, отклоняясь от него (по относительной величине) все меньше и меньше. Тогда можно безответственно предположить, что доверительный интервал справедлив для любого аргумента, превышающего вышеуказанный "плохой".
Вот единственная методика, которая мне известна.
Именно она всплывает в моем воображении, когда я созерцаю эти "результаты".

[Профессор Снэйп]

У меня такой вопрос по ходу. Пусть для натурального $n$

$$ k(n) = \min \{ k \geqslant n : \text{интервал } [n,k] \text{ содержит простое число} \} $$

Чему равен

$$\limsup\limits_{n \to \infty} \frac{k(n)}{n}?$$

Известно ли точное значение предела? Я знаю лишь, что указанный верхний предел не превосходит двойки (для любого натурального $n > 1$ полуинтервал $[n,2n)$ содержит хотя бы одно простое число).

[Бодигрим]

Известно, что для достаточно больших $n$ выполнено $k(n)<n+n^{3/4}$ (я это подсмотрел в "Мультипликативной теории чисел" Монтгомери). Так что существует даже $\lim_{n\to\infty} k(n)/n=1$.

[Nilenbert]

Известно, предел равен одному. Подробности в википедии:Prime gap. Upper bounds

[Профессор Снэйп]

Хм... Если предел равен $1$, то чему тогда равно максимальное значение частного $k(n)/n$?

[Someone]

Профессор Снэйп в сообщении #239718 писал(а):

Если предел равен $1$, то чему тогда равно максимальное значение частного $k(n)/n$?

А минимальное? А как тогда быть с простыми числами близнецами?

[Бодигрим]

Профессор Снэйп в сообщении #239718 писал(а):

Хм... Если предел равен $1$, то чему тогда равно максимальное значение частного $k(n)/n$?

Ну, в предложенном вами определении - тривиально: 2 при $n=1$. Или вы имеете в виду таки интервал, а не отрезок?

[Профессор Снэйп]

Полуинтервал. Ну или чему равен максимум при $n > 1$?