Я бы с осторожностью относился к таким "доверительным" интервалам.
В теории чисел вообще туго с численными оценками тех или иных констант.
Например, в оценке:

.
Нигде не найти достоверной оценки такого

хотя бы для некоторых

и

, что для всех

справедливо
![$\theta\in[-1,1]$ $\theta\in[-1,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/0/860d610b6844c43ab0f2c86cafa0f29782.png)
.
Но не это отвратительно. Что выводит меня из себя (и хочеться ругаться неприличными словами), так когда эти с позволения сказать авторы приводят подобную константу, но не указывают интервал ее справедливости - доказана ли ее справедливость на бесконечном интервале

, или она только проверена для чисел не превышающих некоторое большое

? Поди гадай...
Вот к примеру, на
http://primes.utm.edu/howmany.shtmlесть такие оценки:

:

;

:

;

:

;

:

;

:

.
Про верхнюю границу для

и

не сказано ничего, но я уверен, что эти оценки только проверены для достаточно большого

и

, и не более.
Так как

бесконечномалое относительно любого

, то асимптотическое разложение

есть

,
откуда, обращая, можно получить асимптотическое разложение
![$p(n)=n\ln(n)\left(1+\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{\sum\limits_{l=0}^{k}a[k,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^k}+\frac{\sum\limits_{l=0}^{L-1}a[N,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^N}+O\left(\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N}\right)\right)$ $p(n)=n\ln(n)\left(1+\sum\limits_{k=1}^{N-1}\frac{\sum\limits_{l=0}^{k}a[k,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^k}+\frac{\sum\limits_{l=0}^{L-1}a[N,l]\ln(\ln(n))^l}{\ln(n)^N}+O\left(\frac{\ln(\ln(n))^L}{\ln(n)^N}\right)\right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/b/b8b2e3f7654ae6b8a86371cedec0fae382.png)
,
где

и

.
Для всякого

(

) можно подобрать доверительный интервал
![$[C_{-},C_{+}]$ $[C_{-},C_{+}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/5/7/a572d50d347281823ccd3a139973cd3b82.png)
для коэффициентов при остаточных членах этих разложений:
для

:

и при

будет
![$C\in[C_{-},C_{+}]$ $C\in[C_{-},C_{+}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/1/3216c83e2b77e46820ac806348c8d21b82.png)
, очевидно также
![$N!\in[C_{-},C_{+}]$ $N!\in[C_{-},C_{+}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/1/ea17f3928965c726eb676a28d453673482.png)
;
для

:

и при

будет
![$C\in[C_{-},C_{+}]$ $C\in[C_{-},C_{+}]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/1/3216c83e2b77e46820ac806348c8d21b82.png)
, очевидно также
![$a[N,L]\in[C_{-},C_{+}]$ $a[N,L]\in[C_{-},C_{+}]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/1/ab176b51a792db5c8b3283519515ff8782.png)
.