Общие делители чисел a^n-b^n и c^n-d^n

[victor_sorokin]

age в сообщении #237781 писал(а):

Гипотеза:
Каким бы ни было число $a^n-b^n$ всегда найдется другое число $x^n-y^n$ с любыми заданными условиями на $x-y$ такое, что оно будет иметь общие множители/делители с $a^n-b^n$.

$a^n-b^n$ и $a^n+b^n$ - взаимнопростые при взаимнопростых $a$ и $b$.

[venco]

victor_sorokin в сообщении #237962 писал(а):

$a^n-b^n$ и $a^n+b^n$ - взаимнопростые при взаимнопростых $a$ и $b$.

Опять не угадали.

[victor_sorokin]

venco в сообщении #237979 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #237962 писал(а):

$a^n-b^n$ и $a^n+b^n$ - взаимнопростые при взаимнопростых $a$ и $b$.

Опять не угадали.

Интересно!

[victor_sorokin]

Спасибо всем участникам обсуждения: они показали, что из взаимной простоты суммы осований не следует взаимой простоты полиномов. СЛЕДОВАТЕЛЬНО, верно и обратное!!! Из чего немедленно и выросла очередная гипотеза доказательства ВТФ.

[age]

victor_sorokin в сообщении #238542 писал(а):

Из чего немедленно и выросла очередная гипотеза доказательства ВТФ.

[victor_sorokin]

age в сообщении #238595 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238542 писал(а):

Из чего немедленно и выросла очередная гипотеза доказательства ВТФ.

Спасибо, если не шутите!

Если мы оба не ошибаемся, то Вы - ПЕРВЫЙ ПРОЧИТАВШИЙ. А там посмотрим...

[victor_sorokin]

Ошибки нужны, чтобы их использовать.
Пока нет признаков тупиковости последней идеи. Напротив, сформулировалась лемма на тему делителей полиномов:

ГИПОТЕЗА:

При взаимопростых $a, b, c$, простых $n>2$ и $m=2kn+1$ – делителе числа $a^n-b^n$ – числа

$\frac{c^{2kn}-b^{2kn}}{c^2-b^2}, \frac{c^{2kn}-a^{2kn}}{c^2-a^2}$ не делятся на $m=2kn+1$.

================

При простом $k$ верность гипотезы вполне правдоподобна.
(Доказанность гипотезы автоматически означает и верность ВТФ.)

[venco]

victor_sorokin, проверяйте свои "гипотезы" хотя бы для маленьких чисел, например $a=5, b=2, c=3, n=3, k=2$.

[victor_sorokin]

venco в сообщении #238830 писал(а):

victor_sorokin, проверяйте свои "гипотезы" хотя бы для маленьких чисел, например $a=5, b=2, c=3, n=3, k=2$.

К сожалению, проверять гипотезы на числовых примерах возможности не имею. Спасибо за интересный пример - есть над чем подумать.

[venco]

victor_sorokin в сообщении #238839 писал(а):

К сожалению, проверять гипотезы на числовых примерах возможности не имею.

Тогда не называйте их гипотезами.
Гипотеза высказывается на основе замеченной в ряде примеров закономерности. Вы же, похоже, выдаёте предположения вообще без оснований.

[victor_sorokin]

venco в сообщении #238844 писал(а):

Гипотеза высказывается на основе замеченной в ряде примеров закономерности. Вы же, похоже, выдаёте предположения вообще без оснований.

А вот в этом Вы совершенно не правы. Последняя гипотеза родилась из попытки упрощения (для доказательства) такой гипотезы:

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ составное число $M=2a^n+b^n (=c^n+b^n)$ является прошедшим через горнило равенства Ферма и почти полностью состоит из соможителей вида $m=kn+1$.

Интересно было бы найти хотя бы одно $m$.

-- Сб авг 29, 2009 12:41:43 --

Окончательная формулировка леммы-теоремы:

Теорема (простое доказательство которой – с помощью малой теоремы Ферма – будет представлено позже):

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ произведение всех простых сомножителей вида $m=kn+1$ в числе $M=2a^n+b^n$ не превосходит числа $2^n-1$.

[victor_sorokin]

Итак, рассмотрим Теорему (формулировка подправлена):

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ произведение всех простых сомножителей вида $m=kn+1$ в числе $M=2a^n+b^n$ не превосходит числа $2^n-1$.

Инструментарий для доказательства

Пусть $m=kn+1$ – один из сомножителей числа $M$.

Тогда на $m$ будут делиться два числа:

1°) $M=2a^n+b^n$ и, согласно малой теореме Ферма,
2°) $M’=2^{kn}a^{kn}-b^{kn}1$.

Кроме этого, числа в парах
3°) ($2^t+1$, $2^n-1$) и
4°) ($2^t-1$, $2^n-1$),
где $0<t<n$, являются взаимнопростыми (минимально значени числа $m$ равно 7 - при $n=3$).

Из этого следует, что числа в парах
5°) ($d=2^ta^n+b^n$, $f=2^na^n+b^n$) и
6°) ($d=2^ta^n-b^n$, $f=2^na^n+b^n$)
являются взаимнопростыми.

Доказательство Теоремы (черновик)

7°) Умножим число $M=2^1a^n+b^n$ на $u=2^{kn-1}a^{(k-1)n}-b^{(k-1)n}1$ и, отбросив пару слагаемых, кратную $m$, после мы получаем НОВОЕ число $M_1$, кратное $m$.

8°) С новым числом $M_1$ мы проводим операцию, аналогичную в предыдущем пункте с получением нового числа $M_2$ …

И так далее (не более $k$ операций) – до тех пор, пока не получим число $M_s=2^na^n+b^n$ (возможно, в этом месте придется обратиться за помощью к линейному диофантовому уравнению).

И теперь из разницы $M_s-M$ мы находим, что у этих двух чисел общим делителем может быть только делители числа $2^n-1$.

Что и требовалось доказать.

P.S. Конечно, в доказательстве возможны разные шероховатости, но надеюсь, что в процессе обсуждения они будут устранены.

[Droog_Andrey]

http://www.leyland.vispa.com/numth/fact ... n/main.htm
http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=5722

[age]

victor_sorokin в сообщении #238993 писал(а):

Итак, рассмотрим Теорему:

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ множество простых сомножителей вида $m=kn+1$ числа $M=2a^n+b^n$ не выходит за пределы множества таковых в числе $2^n-1$.

В вашей же соседней теме вам приводился пример:
$3^3+2\cdot4^3=5\cdot31$
где $31=2^5-1$, $5>3$. А вы пишете не выходит за пределы множества таковых в числе $2^3-1$.

[victor_sorokin]

age в сообщении #239010 писал(а):

victor_sorokin в сообщении #238993 писал(а):

Итак, рассмотрим Теорему:

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ множество простых сомножителей вида $m=kn+1$ числа $M=2a^n+b^n$ не выходит за пределы множества таковых в числе $2^n-1$.

В вашей же соседней теме вам приводился пример:
$3^3+2\cdot4^3=5\cdot31$
где $31=2^5-1$, $5>3$. А вы пишете не выходит за пределы множества таковых в числе $2^3-1$.

Вы правы! Уточняю формулировку Теоремы:

При простом $n>2$ и взаимнопростых $a$ и $b$ произведение всех простых сомножителей вида $m=kn+1$ в числе $M=2a^n+b^n$ не превосходит числа $2^n-1$.

Спасибо!

-- Сб авг 29, 2009 22:18:53 --

Кстати, в доказательстве ВТФ я использовал уже правильную формулировку: с произведением, а не со множеством чисел m.

-- Сб авг 29, 2009 22:21:02 --

Droog_Andrey в сообщении #239008 писал(а):

http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm
http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=5722

Спасибо, интересно, но не знаю, как и где могу это использовать.

-- Сб авг 29, 2009 22:28:13 --

Кстати, в доказательстве Теоремы речь тоже идет о произведении чисел $m=kn+1$.

И еще: факт кратности числа $k$ числу $n$ на доказательство Теоремы, как будто, не влияет.

Итак, небольшое сомнение вызывают лишь кое-какие мелочи. Так что надежда есть!..