Общие делители чисел a^n-b^n и c^n-d^n

[victor_sorokin]

Общие делители чисел $a^n-b^n$ и $c^n-d^n$

Попытка доказательства ВТФ споткнулась о следующую гипотезу:

Теорема

Если натуральные числа
1) $a, b, c, d$ взаимнопростые и не кратны простому $n>2$,
2) число $c-d$ делится на $a-b$ и на $n$ и
3) число $c^n-d^n$ делится на $a^n-b^n$, то
число $c-d$ делится на $a^n-b^n$.

По-видимому, вторую часть требования 2 можно заменить условием:
2a) $c-d>2$.

Вопрос: известна ли эта теорема? Что о ней известно?

[migmit]

О ней известно, что она неверна.

Контрпример:

n = 3
a = 4
b = 1
c = 43
d = 1

[gris]

А разве не требуется, чтобы $a,b,c,d$ были больше 1?

[migmit]

В исходной задаче не написано. Но добиться этого не просто, а очень просто. Скажем:

n = 3
a = 7
b = 4
c = 191
d = 5

[victor_sorokin]

migmit в сообщении #237274 писал(а):

В исходной задаче не написано. Но добиться этого не просто, а очень просто. Скажем:

n = 3
a = 7
b = 4
c = 191
d = 5

Исключительно сильный пример!
Отличие условий Теоремы от соотношений между числами $a, b, c, d, n$ в ВТФ незначительно:
каждый простой делитель в числах $c$ и $d$ имеет вид $m=kn+1$.
Под силу ли привести опровергающий пример с учетом этого дополнительного требования?

[migmit]

Была б проблема.
n = 3
a = 13
b = 7
c = 661
d = 43

[Коровьев]

Предлагаю усилить ахинею. Исключить из неё n=3, раз есть контрпример.
А поскоку
$\frac{{2861^5 - 1061^5 }}{{7^5 - 4^5 }} = 12059872143000$
то и n=5 тоже.
А пусть их ковыряются с контрпримерами для других показателей .

[migmit]

Не пойдёт, 7 mod 5 = 2.

А вот так пойдёт:
n = 5
a = 31
b = 11
c = 5693771
d = 151

Дальше, действительно, пусть сами.

[Коровьев]

Э, нет. У victor_sorokin есть закорючка $(a-b)$ не делится на $n$, то бишь $5$.
А то что простые делители $a$ и $b$ должны быть вида $ 5k+1$, он пока ещё не говорил.
Это, вероятно, у него будет очередное последнее 1001 китайское уточнение леммы. Подождём.

[migmit]

Да, действительно. Не обратил внимания.

[victor_sorokin]

migmit в сообщении #237339 писал(а):

Была б проблема.
n = 3
a = 13
b = 7
c = 661
d = 43

Факт основательный. По сути, он означает, что противоречия между эелементами в равенстве Ферма нет. Но это уже к теме не относится.

Однако есть два вопроса по теме:
1. При каком условии число $c^n-d^n$ не делится на $a^n-b^n$ ни при каких значениях букв?
2. Являются ли взаимнопростыми числа $a^n-b^n$ и $a^n-d^n$ при попарно взаимнопростых и больших 1 числах a, b, d?

-- Пн авг 24, 2009 18:39:13 --

migmit в сообщении #237375 писал(а):

Не пойдёт, 7 mod 5 = 2.

Даже если на числа a, b, c, d, p, q наложить дополнительные ограничения (коих немного), вытекающие из равенства Ферма, вряд ли это спасет положение.

Еще раз большое спасибо и за результаты, и за помощь ферматистам - дабы не искали там, где ничего нет.

С уважением,

В.С.

-- Пн авг 24, 2009 18:44:38 --

migmit в сообщении #237382 писал(а):

Да, действительно. Не обратил внимания.

Да это и не существенно. Однако кое-какие интересные пары чисел $c^n-d^n$ и $a^n-b^n$ обещают появиться в ближайшее время.

[age]

victor_sorokin
Тема общих делителей двух полиномов $a^n-b^n$ и $x^n-y^n$ безусловно одна из самых интересных. Но боюсь, для доказательства теоремы Ферма это не та опера.
Гипотеза:
Каким бы ни было число $a^n-b^n$ всегда найдется другое число $x^n-y^n$ с любыми заданными условиями на $x-y$ такое, что оно будет иметь общие множители/делители с $a^n-b^n$.
Надеюсь, если вы мне поверите на слово, что эта гипотеза верна, вы оставите заведомо бесплодное направление?

Кстати, просматривал вашу тему и обнаружил некое интересное свойство:
$\dfrac{(a+p)^n-(b+p)^n}{a^n-b^n}$ может иметь бесчисленное множество целых решений для любых $a, b$ и простого $n$.

[migmit]

age в сообщении #237781 писал(а):

Гипотеза:
Каким бы ни было число $a^n-b^n$ всегда найдется другое число $x^n-y^n$ с любыми заданными условиями на $x-y$ такое, что оно будет иметь общие множители/делители с $a^n-b^n$.
Надеюсь, если вы мне поверите на слово, что эта гипотеза верна, вы оставите заведомо бесплодное направление?

Очень сложно поверить. Попробуйте доказать для "заданного условия" $|x|+|y|+1=0$.

[age]

migmit
$|x|+|y|+1\neq0$. Боюсь что заданное условие нельзя выполнить.

[migmit]

О чём, в общем-то, и речь.