Сравнение выражений с радикалами...

[gris]

может быть дело в исходной формулировке и надо её изложить так: доказать, что при
$\[\begin{gathered} 0 \leqslant \delta \leqslant 1;n \in \mathbb{N} \hfill \\ \sqrt[n]{{1 + \delta }} - 1 \leqslant 1 - \sqrt[n]{{1 - \delta }} \hfill \\ \end{gathered} \] $

[ewert]

AKazak в сообщении #237623 писал(а):

Общими трудами, взяли производные, сравнили и получили результат.

Не взяли, не сравнили и не выписали. На предложение переписать задачу для одной функции -- Вы так и не откликнулись. А уж кто только не упрашивал Вас... И чего бы проще...

[AKazak]

ewert в сообщении #237631 писал(а):

Не взяли, не сравнили и не выписали.

Производные от обеих частей по $\delta$:
$\[\begin{gathered} {\left( {1 + \delta } \right)^{\frac{1} {n} - 1}} \wedge {\left( {1 - \delta } \right)^{\frac{1} {n} - 1}} \hfill \\ {\left( {1 - \delta } \right)^{1 - \frac{1} {n}}} \wedge {\left( {1 + \delta } \right)^{1 - \frac{1} {n}}} \hfill \\ \left( {1 - \delta } \right) \wedge \left( {1 + \delta } \right) \hfill \\ \end{gathered} \] $

Разве это не то?

ewert в сообщении #237631 писал(а):

На предложение переписать задачу для одной функции -- Вы так и не откликнулись. А уж кто только не упрашивал Вас... И чего бы проще...

Пока я не понимаю, как эту задачу, в которой участвуют две различных функции, "переписать для одной"...

[gris]

может быть так:
Рассмотрим функцию

$$f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$$

при

$$ 0 \leqslant x \leqslant 1;n \in \mathbb{N} $$

и докажем, что она неотрицательна?

$f(x)$ непрерывна на $[0;1]$. Найдём её производную. Ну и так далее. Это требовалось?

Вообще, автор спрашивал, какими методами решать подобные задачи. Для частных случаев он обошёлся без высшей математики. Надо ещё знать, какие методы разрешены, а то мы и ТФКП посоветуем.

Но вот такой метод сработал: составить разность функций и доказать её знакопостоянство.

-- Пн авг 24, 2009 23:46:57 --

AKazak, если честно, то эти три строки с $\wedge$ очень неаккуратны. В общем, понятно, что Вы имели в виду, но лучше так не писать.

[ewert]

AKazak в сообщении #237642 писал(а):

Пока я не понимаю, как эту задачу, в которой участвуют две различных функции, "переписать для одной"...

О хоссподи... Как говорил Марк Твен, "иногда лучше кувалдой". Ну сказано же: вычтите их друг из друга, и перепишите эквивалентное утверждение для разности.

[AKazak]

$f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$
$\[f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1} {n} - 1}} - {\left( {1 - x} \right)^{\frac{1} {n} - 1}}\] $

ewert
Сделано! Что дальше?

-- Пн авг 24, 2009 23:01:26 --

gris в сообщении #237643 писал(а):

AKazak, если честно, то эти три строки с $\wedge$ очень неаккуратны. В общем, понятно, что Вы имели в виду, но лучше так не писать.

Подскажите, пожалуйста, каким знаком лучше такие выражения обозначать?

[ewert]

Дальше -- посмотрите, каков знак этого выражения при положительных иксах.

[AKazak]

ewert в сообщении #237651 писал(а):

Дальше -- посмотрите, каков знак этого выражения при положительных иксах.

Всегда "+".

[ewert]

AKazak в сообщении #237648 писал(а):

каким знаком лучше

Любым, это дело вкуса, галочка, в принципе, тоже сойдёт, разве что немного неуютно, что она в других темах для других целей занята, но это не важно.

-- Вт авг 25, 2009 00:05:45 --

AKazak в сообщении #237652 писал(а):

Всегда "+".

Делайте выводы.

[AKazak]

ewert в сообщении #237653 писал(а):

AKazak в сообщении #237652 писал(а):

Всегда "+".

Делайте выводы.

Производная положительная - функция растёт, а так как $\[f(0) = 0\]$, то $\[f(x) \geqslant 0\]$ для $\[x \geqslant 0\]$.
Правильный вывод?

[gris]

AKazak, да я так уж по мелочи. Если написать

$$\sqrt {3+\sqrt {5}} \wedge \sqrt {5+\sqrt {2}} $$

$$3+\sqrt {5} \wedge 5+\sqrt {2}} $$

$$14+6\sqrt {5} \wedge27+2\sqrt {2}} $$

$$6\sqrt {5} \wedge13+2\sqrt {2}} $$

$$180 \wedge177+52\sqrt {2}} $$

$$3\wedge 52\sqrt {2}} $$

,

то мне это не нравится в качестве окончательного варианта

[ewert]

В принципе -- правильный. Теперь собирайте всё вместе.

[AKazak]

ewert в сообщении #237660 писал(а):

В принципе -- правильный. Теперь собирайте всё вместе.

Кувалдой уже поработали - теперь пора самим Марком Твеном...

Если $\[f(x) \geqslant 0\]$ для $\[x \geqslant 0\]$, то $ \sqrt[n]{{1 + \delta }} - 1 \ \leqslant \ 1 - \sqrt[n]{{1 - \delta }} $

[ewert]

Воодушевление -- вижу, а вот точных формулировок -- пока увы. Соберите аккуратно, что в точности из чего следует.

[AKazak]

Итак...
Рассмотрим $f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$ при $\[x \geqslant 0\]$
$\[\begin{gathered} f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1} {n} - 1}} - {\left( {1 - x} \right)^{\frac{1} {n} - 1}} \geqslant 0 \hfill \\ \Downarrow \hfill \\ f(x) \geqslant 0 \Rightarrow 2 - \sqrt[n]{{1 - x}} - \sqrt[n]{{1 + x}} \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt[n]{{1 + x}} - 1 \geqslant 1 - \sqrt[n]{{1 - x}} \hfill \\ \end{gathered} \] $