может быть так:
Рассмотрим функцию
![$$f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/d/c/6dce46ee1ee3e993db683dc3a01a12d482.png "$$f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$$")
при
и докажем, что она неотрицательна?
непрерывна на
![$[0;1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/a/21ad730ee7df0b97abd700cb0f8426e682.png "$[0;1]$")
. Найдём её производную. Ну и так далее. Это требовалось?
Вообще, автор спрашивал, какими методами решать подобные задачи. Для частных случаев он обошёлся без высшей математики. Надо ещё знать, какие методы разрешены, а то мы и ТФКП посоветуем.
Но вот такой метод сработал: составить разность функций и доказать её знакопостоянство.
-- Пн авг 24, 2009 23:46:57 --AKazak, если честно, то эти три строки с
очень неаккуратны. В общем, понятно, что Вы имели в виду, но лучше так не писать.
24.08.2009, 22:17 
![$\[\begin{gathered}
0 \leqslant \delta \leqslant 1;n \in \mathbb{N} \hfill \\
\sqrt[n]{{1 + \delta }} - 1 \leqslant 1 - \sqrt[n]{{1 - \delta }} \hfill \\
\end{gathered} \]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/a/91a8b9c920eafbaf73ece5acf4378a3282.png "$\[\begin{gathered}
0 \leqslant \delta \leqslant 1;n \in \mathbb{N} \hfill \\
\sqrt[n]{{1 + \delta }} - 1 \leqslant 1 - \sqrt[n]{{1 - \delta }} \hfill \\
\end{gathered} \]
$")
:![$\[\begin{gathered}
{\left( {1 + \delta } \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} \wedge {\left( {1 - \delta } \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} \hfill \\
{\left( {1 - \delta } \right)^{1 - \frac{1}
{n}}} \wedge {\left( {1 + \delta } \right)^{1 - \frac{1}
{n}}} \hfill \\
\left( {1 - \delta } \right) \wedge \left( {1 + \delta } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/4/c64e8b729051ad708fd255a738c0604b82.png "$\[\begin{gathered}
{\left( {1 + \delta } \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} \wedge {\left( {1 - \delta } \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} \hfill \\
{\left( {1 - \delta } \right)^{1 - \frac{1}
{n}}} \wedge {\left( {1 + \delta } \right)^{1 - \frac{1}
{n}}} \hfill \\
\left( {1 - \delta } \right) \wedge \left( {1 + \delta } \right) \hfill \\
\end{gathered} \]
$")
![$f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/1/041e90bb0062528a3539ae88dd1cf4b482.png "$f(x)=2-\sqrt[n]{1 + x } - \sqrt[n]{1 - x }$")
![$\[f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} - {\left( {1 - x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}}\]
$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/e/4dee625ab113b5134bfe8642190e662982.png "$\[f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} - {\left( {1 - x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}}\]
$")
![$\[f(0) = 0\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/9/fc91a596baa456356acde9242b6d295382.png "$\[f(0) = 0\]$")
, то ![$\[f(x) \geqslant 0\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/8/1584e7ff4c8a7a7c84b3f663ee374e1e82.png "$\[f(x) \geqslant 0\]$")
для ![$\[x \geqslant 0\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/1/bf11099e5f6d55a8e95997de48b3d3ce82.png "$\[x \geqslant 0\]$")
.
,
![$
\sqrt[n]{{1 + \delta }} - 1 \ \leqslant \ 1 - \sqrt[n]{{1 - \delta }}
$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/9/7c9ccda1ad49efa771d1f8e1e1272e7782.png "$
\sqrt[n]{{1 + \delta }} - 1 \ \leqslant \ 1 - \sqrt[n]{{1 - \delta }}
$")
![$\[\begin{gathered}
f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} - {\left( {1 - x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} \geqslant 0 \hfill \\
\Downarrow \hfill \\
f(x) \geqslant 0 \Rightarrow 2 - \sqrt[n]{{1 - x}} - \sqrt[n]{{1 + x}} \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt[n]{{1 + x}} - 1 \geqslant 1 - \sqrt[n]{{1 - x}} \hfill \\
\end{gathered} \]
$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/0/1c0d195ab97f6233965048caf07723d082.png "$\[\begin{gathered}
f'(x) = {\left( {1 + x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} - {\left( {1 - x} \right)^{\frac{1}
{n} - 1}} \geqslant 0 \hfill \\
\Downarrow \hfill \\
f(x) \geqslant 0 \Rightarrow 2 - \sqrt[n]{{1 - x}} - \sqrt[n]{{1 + x}} \geqslant 0 \Rightarrow \sqrt[n]{{1 + x}} - 1 \geqslant 1 - \sqrt[n]{{1 - x}} \hfill \\
\end{gathered} \]
$")