Сравнение выражений с радикалами...

[ewert]

AKazak в сообщении #237343 писал(а):

Это утверждение носит отдельное название как теорема (лемма)?

это -- просто тривиально для тех, кто в курсе. Кто привык к интегралам, ну а уж заодно и к производным. Ну а формализовывать можно как угодно, При любой аксиоматике -- и способ формализации соотв. найдётся.

[AKazak]

ewert
Интуитивно понятно, но хотелось бы строго доказать...

[ewert]

$f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)dt$, где $f(0)=0$. И если производная -- всюду неотрицательна, то соответственно неотрицателен и интеграл. А если она к тому же ещё и всюду положительна, кроме нуля -- то и интеграл аналогично (просто потому, что он не меньше интеграла по некоторому меньшему промежутку, по которому он положителен с запасом).

[AKazak]

Общее утверждение:
Если
$\[\begin{gathered} \forall x \geqslant a \hfill \\ f(a) = g(a) \hfill \\ f'(x) \geqslant g'(x) \hfill \\ \end{gathered} \] $
то
$\[\begin{gathered} \forall x \geqslant a \hfill \\ f(x) \geqslant g(x) \hfill \\ \end{gathered} \] $

Как это можно доказать? С помощью теоремы Лагранжа или как-то по-другому?

[ewert]

Сведите задачу к более (интуитивно) очевидной -- вычтите $g$ из $f$.

[AKazak]

Итак...
$\[\begin{gathered} D(x) = f(x) - g(x) \Rightarrow D(a) = 0 \hfill \\ D(x) = \int\limits_a^x {D'(\xi )d\xi } = \int\limits_a^x {f'(\xi ) - g'(\xi )d\xi } \hfill \\ \end{gathered} \] $
Теперь, вроде бы, очевидно.

Только есть сомнения насчёт справедливости представления $\[F(x) = F(a) + \int\limits_a^x {F'(\xi )d\xi } \] $... Это легально?

[ewert]

легально-то легально, да только вот задачу Вы так и не переформулировали. В чём в точности состоит утверждение, которое требуется доказать?... Пока что у Вас -- лишь лирическая игра значками.

[gris]

Фактически это формула Ньютона-Лейбница. Вас наверное смущает обозначения переменной интегрирования и верхнего предела одной буквой? Ну для перестраховки обозначьте разными.

Сообщение № 1640... Когда то я жил в этой комнате

[AKazak]

gris в сообщении #237563 писал(а):

Фактически это формула Ньютона-Лейбница. Вас наверное смущает обозначения переменной интегрирования и верхнего предела одной буквой? Ну для перестраховки обозначьте разными.

Спасибо, исправил.

ewert в сообщении #237562 писал(а):

легально-то легально, да только вот задачу Вы так и не переформулировали. В чём в точности состоит утверждение, которое требуется доказать?...

Нужно доказать, что начиная с некоторой общей точки функции можно сравнивать по результатам сравнения их производных.

[ewert]

AKazak в сообщении #237573 писал(а):

Нужно доказать, что начиная с некоторой общей точки функции можно сравнивать по результатам сравнения их производных.

Неверно. Требуется сформулировать точно (а не лирически) ту задачу, к которой сводится предыдущая после вычитания.

[AKazak]

ewert в сообщении #237574 писал(а):

Неверно. Требуется сформулировать точно (а не лирически) ту задачу, к которой сводится предыдущая после вычитания.

Хм...

После вычитания имеем функцию $\[D(x) = f(x) - g(x)\] $. Пусть $\[\exists \left\{ {{a_i}} \right\}_{i = 1}^k:D({a_i}) = 0\] $, тогда $\[\forall x \in ({a_{i - 1}};{a_i});i = 2..k\]$ справедливо $\[\operatorname{sgn} G(x) = \operatorname{sgn} G'(x)\]$

Вы имеете ввиду некоторый общий закон?

[ewert]

AKazak в сообщении #237595 писал(а):

Хм...

После вычитания имеем функцию $\[D(x) = f(x) - g(x)\] $. Пусть $\[\exists \left\{ {{a_i}} \right\}_{i = 1}^k:D({a_i}) = 0\] $, тогда

Явный троллинг, поскольку ни малейшего отношения к исходной задаче это не имеет, и автор не может этого не осознавать.

[gris]

Я тоже не понял, что требует ewert.

Может быть такой формулировки:

Пусть $f(x)$ непрерывна на отезке $[a;b]$, дифференцируема на интервале $(a;b); f(a)=0;\forall x \in (a;b) f'(x) \geqslant 0$
Тогда функция неотрицательна на отрезке.

[ewert]

gris в сообщении #237614 писал(а):

Я тоже не понял, что требует ewert.

А Вы лучше попытайтесь понять, чего, собственно, хочет аффтар.

У него -- вечные метания. То, третье, пятое, десятое... И всё это -- демонстративно.

[AKazak]

ewert в сообщении #237613 писал(а):

Явный троллинг, поскольку ни малейшего отношения к исходной задаче это не имеет, и автор не может этого не осознавать.

Исходная задача состояла в сравнении двух функций на отрезке. Вы дали дельный совет:

ewert в сообщении #237320 писал(а):

После взятия производных по дельте неравенство становится тривиальным. А при дельте, равной нулю, имеем равенство. Ну и.

Общими трудами, взяли производные, сравнили и получили результат.

У меня возник вопрос: почему можно сравнить производные? Вы ответили:

ewert в сообщении #237350 писал(а):

это -- просто тривиально для тех, кто в курсе. Кто привык к интегралам, ну а уж заодно и к производным. Ну а формализовывать можно как угодно, При любой аксиоматике -- и способ формализации соотв. найдётся.

Ну если тривиально, то доказывается в одну строчку. Я, с вашей помощью, изложил свои мысли, но так и не понял, можно ли так рассуждать или нет.

Извините, если я запудрил ваши мозги...