Точность оценки погрешности интерполяции

[ewert]

Вроде бы несложная, но полезная задачка, навеянная вот этой темой.

Пусть $\delta^nf\equiv f(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ -- разделённая разность, построенная по узлам $x_0<x_1<\ldots<x_n$ (монотоннность нумерации, конечно, необязательна, но так проще формулировать). Известно: если функция $f(x)$ дифференцируема $n$ раз на всём $(x_0;x_n)$, то существует точка $\xi\in(x_0;x_n)$ такая, что $\delta^nf={f^{(n)}(\xi)\over n!}$.

Доказать, что $f^{(n)}(\xi)$ не совпадает ни с минимумом, ни с максимумом этой производной по всему участку (кроме, естественно, случая, когда эта производная всюду постоянна).

(Как следствие: оценка погрешности интерполяции вида $|R_n(x)|\leqslant|\omega_{n+1}(x)|\cdot{\max|f^{(n+1)}|\over(n+1)!}$ -- завышена всегда, кроме тривиального случая.)

[TOTAL]

ewert в сообщении #236669 писал(а):

Доказать, что $f^{(n)}(\xi)$ не совпадает ни с минимумом, ни с максимумом этой производной по всему участку (кроме, естественно, случая, когда эта производная всюду постоянна).

$R_n^{(n-1)}(x)$ обращается в ноль по крайней мере в двух различных точках, поэтому
либо $R_n^{(n-1)}(x) \equiv 0$, либо $R_n^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-n!\delta^nf$ принимает значения обоих знаков.

[ewert]

TOTAL в сообщении #236750 писал(а):

ewert в сообщении #236669 писал(а):

$R_n^{(n-1)}(x)$ обращается в ноль по крайней мере в двух различных точках, поэтому
либо $R_n^{(n-1)}(x) \equiv 0$, либо $R_n^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-n!\delta^nf$ принимает значения обоих знаков.

Почему?... То, что минимум в двух -- естественно. Но из этого ещё не следует, что обе не могут быть точками максимума или там минимума старшей производной.

[gris]

В крайне упрощённом виде задача звучит так.

Пусть $f(x)$ дифференцируема на $[a,b]$ и $f(a)=f(b)=0$.
Тогда существует точки $f'(x_1)<0$ и $f'(x_2)>0$, если функция не равна тождественно нулю.
Доказывается с помощью пресловутой теоремы Лагранжа.

Ну а потом как-нить распространить на более высокие степени.

[ewert]

gris в сообщении #236825 писал(а):

Ну а потом как-нить распространить на более высокие степени.

Совершенно правильно. Весь вопрос -- как именно корректно распространить.

[gris]

Построить интерполяционный полином (то есть тривиальный случай) и вычесть его из функции.

[ewert]

Это мы уже сделали (кстати, с TOTAL'ом). Само по себе -- ещё не помогает.

[gris]

А почему к тем точкам, которые указал TOTAL нельзя применить теорему Лагранжа? n раз дифференцируемая функция не может совпасть с интерполяционным полиномом на отрезке и отличаться вне него. А одна из точек $\xi$ обязательно лежит внутри этого интервала.

Это неверно, разумеется. Например, бесконечно дифференцируемые финитные функции.

[ewert]

Не обязательно. Тривиальный контрпример: производная функции может быть равна нулю в точках $a$ и $b$, и тождественно равна нулю между ними, а за пределами -- в принципе, чему угодно. Вот и опровергайте его возможность.

[gris]

Вы меня нечестно запутали.
Я интерполяционный полином вычесть хотел для того, чтобы привести задачу к более понятному виду.

Пусть во всех узлах функция равна 0. Тогда все разделённые разности равны 0. Существует точка $\xi: f^{(n)}(\xi)=0$.
Надо показать, что если $f \not\equiv 0$, то внутри интервала существуют точки $\xi_1: f^{(n)}(\xi_1)>0$ и $\xi_2: f^{(n)}(\xi_2)<0$.

Наверное, это действительно то же самое.
Функция может отличаться от нуля на очень маленьком интервальчике в самом начале.

Частный случай. Если дважды дифференцируемая функция, равная нулю на концах отрезка, принимает нулевое значение внутри этого отрезка, то либо она тождественный ноль, либо вторая производная принимает положительные и отрицательные значения.

[ewert]

gris в сообщении #236936 писал(а):

Вы меня нечестно запутали.

Прошу прощения, я нечаянно.

gris в сообщении #236936 писал(а):

Я интерполяционный полином вычесть хотел для того, чтобы привести задачу к более понятному виду.

Пусть во всех узлах функция равна 0. Тогда все разделённые разности равны 0. Существует точка $\xi: f^{(n)}(\xi)=0$.
Надо показать, что если $f \not\equiv 0$, то внутри интервала существуют точки $\xi_1: f^{(n)}(\xi_1)>0$ и $\xi_2: f^{(n)}(\xi_2)<0$.

Наверное, это действительно то же самое.
Функция может отличаться от нуля на очень маленьком интервальчике в самом начале.

Частный случай. Если дважды дифференцируемая функция, равная нулю на концах отрезка, принимает нулевое значение внутри этого отрезка, то либо она тождественный ноль, либо вторая производная принимает положительные и отрицательные значения.

Совершенно верно. Теперь осталось всё это аккуратно доказать.

Собственно, для второй производной (т.е. для трёх узлов) это довольно легко получается теоремой Лагранжа. А как оформить дальше?

[gris]

Чего-то довольно легко не получается для трёх точек. Какое-то громоздкое доказательство с кучей случаев .

[TOTAL]

ewert в сообщении #236796 писал(а):

Почему?... То, что минимум в двух -- естественно. Но из этого ещё не следует, что обе не могут быть точками максимума или там минимума старшей производной.

Следует. Если $R_n^{(n-1)}(x)$ тождественно равна нулю между двумя своими нулями, то $R_n^{(n-2)}(x)$ тождественно равна нулю между тремя своими нулями (строго между которыми лежат два нуля $R_n^{(n-1)}(x)$) и т.д.

[ewert]

TOTAL в сообщении #236990 писал(а):

Следует. Если $R_n^{(n-1)}(x)$ тождественно равна нулю между двумя своими нулями, то $R_n^{(n-2)}(x)$ тождественно равна нулю между тремя своими нулями (строго между которыми лежат два нуля $R_n^{(n-1)}(x)$) и т.д.

Хм, чего-то я не понял. Если $f'(x)\equiv0$ на $[\alpha;\beta]$, то $f(x)\equiv0$ на $(a;b)\supset[\alpha;\beta]$ при условии, что $f(a)=0$ и $f(b)=0$ -- так, что ли?...

gris в сообщении #236988 писал(а):

Чего-то довольно легко не получается для трёх точек. Какое-то громоздкое доказательство с кучей случаев .

Там ведь три узла. Хоть на одной из двух частей интервала функция не постоянна, поэтому там есть две точки, в которых первая производная принимает значения разных знаков. А в оставшейся части заведомо есть точка, в которой первая производная обращается в ноль. Этого и достаточно. (Собственно, это и намёк на общее решение).

[TOTAL]

ewert в сообщении #236995 писал(а):

Хм, чего-то я не понял. Если $f'(x)\equiv0$ на $[\alpha;\beta]$, то $f(x)\equiv0$ на $(a;b)\supset[\alpha;\beta]$ при условии, что $f(a)=0$ и $f(b)=0$ -- так, что ли?...

$f(x)$ еще обращается в ноль в какой-то точке на $[\alpha;\beta]$