ординальная плотность линейного упорядочения

[AGu]

rishelie в сообщении #234674 писал(а):

Да, вроде все точно...

Спасибо за отклик.

rishelie в сообщении #234674 писал(а):

Даже утверждение, что $X$ - счетно насыщенное, не вызывает сомнений

Ага. (Это, наверное, наименее тривиальный момент.)

rishelie в сообщении #234674 писал(а):

Интересно, можно ли аналогично говорить о $\tau$ насыщенности и изоморфизме $\tau$ насыщенных л.у. множеств мощности $\tau^+$, где $\tau$ - несчетный кардинал?

Вы почти точно угадали. Вот соответствующий блок сведений:

Пусть $X$ — л.у. множество и $\tau$ — бесконечный кардинал.
Назовем $\tau$-дыркой в $X$ такую пару $(A,B)$, что
$A,B\subseteq X$, $|A|,|B|<\tau$ (случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются),
$A<B$ и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.

Л.у. множество назовем $\tau$-насыщенным, если в нем нет $\tau$-дырок.
(Классики называют такие л.у. множества $\eta_\alpha$-множествами, где $\tau=\aleph_\alpha$.)

Стоит отметить, что $\aleph_0$-насыщенные л.у. множества —
это в точности плотные л.у. множества без концов,
а $\aleph_1$-насыщенные л.у. множества —
это в точности счетно насыщенные л.у. множества.

Известно [Хаусдорф], что $\tau$-насыщенные л.у. множества мощности $\tau$
попарно изоморфны.

rishelie в сообщении #234674 писал(а):

Кстати, а не надо ли для изоморфизма требовать, чтобы порядок был без $\tau$-концов, как и в случае плотных (т.е. конечно-насыщенных) л.у. множеств требуется отсутствие (просто) концов?

Надо. Более того, это уже потребовано.
Роль $\tau$-концов играют $\tau$-дырки вида $(A,\varnothing)$ и $(\varnothing,B)$.
(Я не зря в обоих определениях подчеркнул, что
«случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются».)

[Инт]

AGu в сообщении #234791 писал(а):

$|A|,|B|<\tau$

Здесь нет опечатки? Точно ли, что должно стоять строгое неравенство$|A|,|B|<\tau$?

[AGu]

Инт в сообщении #234869 писал(а):

Точно ли, что должно стоять строгое неравенство$|A|,|B|<\tau$?

Точно.

[rishelie]

AGu в сообщении #234791 писал(а):

Известно [Хаусдорф], что $\tau$-насыщенные л.у. множества мощности $\tau$
попарно изоморфны.

Соответственно, в $\tau$-насыщенное множество мощности $\tau$ можно вложить ординал мощности $\tau$? то есть $\gamma(X)\geqslant \tau^+$?

[AGu]

rishelie в сообщении #236599 писал(а):

Соответственно, в $\tau$-насыщенное множество мощности $\tau$ можно вложить ординал мощности $\tau$? то есть $\gamma(X)\geqslant \tau^+$?

Вроде, да. К такому выводу, кажись, приводит соответствующая
модификация фрагмента сообщения #234378. Вот:

Пусть $\tau$ — бесконечный кардинал
и пусть $Y$ — $\tau$-насыщенное л.у. множество мощности $\tau$.
Покажем, что $\gamma(Y)\geqslant\tau^+$.

Для этого рассмотрим произвольный ординал $\alpha<\tau^+$
и покажем, что $\alpha\hookrightarrow Y$.

Построим возрастающую последовательность $(X_\beta)_{\beta<\tau}$
л.у. множеств $X_\beta$ следующей трансфинитной рекурсией.

Положим $X_0:=\alpha$.

Пусть построены $(X_\gamma)_{\gamma<\beta}$, где $0<\beta<\tau$.
Положим $U:=\bigcup_{\gamma<\beta}X_\gamma$.
Если $U$ $\tau$-насыщено, положим $X_\beta := U$.
В противном случае положим $X_\beta:={\rm Fill}_{(A,B)}U$,
где $(A,B)$ — какая-либо $\tau$-дырка в $U$.

Тогда $X:=\bigcup_{\beta<\tau}X_\beta$ — $\tau$-насыщенное л.у. множество
мощности $\tau$, а значит, $X$ изоморфно $Y$.
Осталось заметить, что $\alpha=X_0\hookrightarrow X$.

[rishelie]

Да, кстати, $\gamma(X)\geqslant\tau^+$ означает просто $\gamma(X)=\tau^+$ в данном случае. Интересно, как бы это дело в обратную сторону повернуть? То есть задать плотность "в каждой точке" $X$ и сказать, что если она равна $\tau^+$, то множество $X$ мощности $\tau$ является $\tau$-насыщенным. Может быть, следует потребовать, чтобы плотность любого интервала $X$ была равна $\tau^+$? Причем, вложимость ординалов мощности $\tau$ должна выполняться как по возрастанию, так и по убыванию.

[AGu]

rishelie в сообщении #236897 писал(а):

Да, кстати, $\gamma(X)\geqslant\tau^+$ означает просто $\gamma(X)=\tau^+$ в данном случае.

Кстати, да.

rishelie в сообщении #236897 писал(а):

Интересно, как бы это дело в обратную сторону повернуть? То есть задать плотность "в каждой точке" $X$ и сказать, что если она равна $\tau^+$, то множество $X$ мощности $\tau$ является $\tau$-насыщенным.

Не уверен, что правильно понял вопрос, но если я правильно понял
[Harzheim E. Ordered Sets. Springer, 2005], то можно в некотором роде
развернуть «насыщенность» в «плотность» следующим образом.

Пусть $X=(X,{\leqslant})$ — л.у. множество.

Подмножество $Y\subseteq X$ называется конфинальным в $X$,
если $(\forall\,x\in X)(\exists\,y\in Y)(x\leqslant y)$.
Ординал $\alpha$ называется конфинальным в $X$,
если существует конфинальное подмножество $X$, изоморфное $\alpha$.
Наименьший конфинальный в $X$ ординал называется
конфинальностью $X$ и обозначается символом ${\rm cf}(X)$.

Ординал $\alpha$ называется регулярным, если ${\rm cf}(\alpha)=\alpha$.
Известно [Harzheim, 3.1.9], что всякий регулярный ординал является
кардиналом, причем либо равным $0$, либо равным $1$, либо бесконечным.

Известно [Harzheim, 3.1.10], что ${\rm cf}(X)$ является регулярным ординалом,
причем единственным регулярным ординалом, конфинальным в $X$.
При этом ${\rm cf}(X)$ — наименьшая среди мощностей конфинальных подмножеств $X$.
(Последнее свойство ${\rm cf}(X)$ часто используется в качестве определения.)

Символом $X^*$ обозначается двойственное упорядоченное множество $(X,{\geqslant})$.
Используя это понятие, можно определить коинициальные подмножества $X$
как конфинальные подмножества $X^*$ и ввести коинициальность ${\rm ci}(X)$
л.у. множества $X$ как ${\rm cf}(X^*)$.

Дырочкой в $X$ назовем такую пару $(A,B)$ непустых подмножеств $X$, что $A<B$,
$A$ не имеет наибольшего элемента, $B$ не имеет наименьшего элемента
и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.
Плотностью дырочки $(A,B)$ назовем кардинал $\min\,\{{\rm cf}(A),\,{\rm ci}(B)\}$.

Плотностью элемента $x\in X$ назовем кардинал $\min\,\{{\rm cf}(A),\,{\rm ci}(B)\}$,
где $A=\{a\in X:a<x\}$, $B=\{b\in X:x<b\}$.

Теорема [Harzheim, 3.3.4]. Пусть $\tau$ — бесконечный кардинал.
Л.у. множество $X$ является $\tau$-насыщенным тогда и только тогда,
когда ${\rm cf}(X)\geqslant\tau$, ${\rm ci}(X)\geqslant\tau$, все дырочки в $X$ имеют плотность $\geqslant\tau$
и все элементы $X$ имеют плотность $\geqslant\tau$.

[rishelie]

Я предполагал формулировку попроще: $X$ является $\tau$-насыщенным тогда и только тогда, когда у любого интервала $(a,b)\subseteq X$ конфинальность и коинициальность $\geqslant\tau$. Правда, я при этом имел ввиду $|X|=\tau$ (и в этом случае ${\rm cf}(a,b)={\rm ci}(a,b)=\tau$).

Кстати, плотность всех элементов $X$ не меньше $\tau$ тогда и только тогда, когда ${\rm cf}(a,b),\,{\rm ci}(a,b)\geqslant\tau$ для любого интервала $(a,b)$.

А вот требование к плотностям дырок, похоже, нельзя свести к интервалам.

[AGu]

rishelie в сообщении #237072 писал(а):

Кстати, плотность всех элементов $X$ не меньше $\tau$ тогда и только тогда, когда ${\rm cf}(a,b),\,{\rm ci}(a,b)\geqslant\tau$ для любого интервала $(a,b)$.

Верно.

rishelie в сообщении #237072 писал(а):

А вот требование к плотностям дырок, похоже, нельзя свести к интервалам.

Тоже верно — даже если потребовать ${\rm cf}(X),{\rm ci}(X)\geqslant\tau$.
Например, если принять CH и положить $X={}^*\mathbb R\setminus\mu(0)$,
где $\mu(0)=\bigl\{x\in{}^*\mathbb R:(\forall\,n\in\mathbb N)\bigl(-\frac1{{}^*n}<x<\frac1{{}^*n}\bigr)\bigr\}$ — монада нуля,
то $|X|={\rm cf}(X)={\rm ci}(X)=\frak c$ и все элементы $X$ имеют плотность $\frak c$,
но $X$ не является $\frak c$-насыщенным, так как
$\bigl(\bigl\{-\frac1{{}^*n}:n\in\mathbb N\bigr\},\bigl\{\frac1{{}^*n}:n\in\mathbb N\bigr\}\bigr)$ — счетная дырка в $X$.

[rishelie]

Что-то я затупил.. Дырочки в $\mathbb R$ разве имеют плотность $\omega$?

И еще, рассмотрим пространство $B_\tau$ ($\tau$ - бесконечный кардинал), построенное как $2^\tau/_\sim$, где $\sim$ для бинарных последовательностей $\alpha,\beta\in 2^\tau$ задается так:
$\alpha\sim\beta$, если $\alpha=\beta$ или существует ординал $\lambda<\tau$ такой, что $\alpha|_\lambda=\beta|_\lambda$, $\alpha_\lambda\ne\beta_\lambda$ и для всех $\gamma\in(\lambda,\tau)$ имеем: $\alpha_\gamma=\beta_\lambda$ и $\beta_\gamma=\alpha_\lambda$. То есть отношение $\sim$ "склеивает" бинарные последовательности с соседними хвостами вида 0,1,1,1,1,... и 1,0,0,0,0,... Соседними - в смысле лексигорафического порядка.

На $B_\tau$ вводим стандартный лексиграфический порядок: $\alpha<\beta$, если существует $\lambda<\tau$ такой, что $\alpha|_\lambda=\beta|_\lambda$, $\alpha_\lambda=0$, $\beta_\lambda=1$.

Будет ли $B_\tau$ $\tau$-насыщенным?

А если в $B_\tau$ выделить подмножество $Q_\tau$ последовательностей со стационарными хвостами ($\alpha_\lambda=const$ начиная с некоторого $\lambda$). Какой насыщенностью оно будет обладать?

[AGu]

rishelie в сообщении #237624 писал(а):

Что-то я затупил.. Дырочки в $\mathbb R$ разве имеют плотность $\omega$?

Да — по той простой причине, что в $\mathbb R$ нет дырочек.
Возможно, Вы спутали дырочки с $\tau$-дырками.
Эти понятия похожи, но все же различаются.
(Прошу прощения за свои дурацкие термины.)

rishelie в сообщении #237624 писал(а):

Будет ли $B_\tau$ $\tau$-насыщенным?

Не будет, так как в $B_\tau$ есть наименьший и наибольший элементы: $(0,0,\dots)$ и $(1,1,\dots)$.
А вот если их выкинуть, — вроде, будет.
Пусть $A_\tau=B_\tau\backslash\{(0,0,\dots),(1,1,\dots)\}$.
Покажем, что любое подмножество $X\subseteq A_\tau$ мощности $|X|<\tau$ ограничено сверху.

Для каждого $x\in X$ положим $\alpha_x:=\min\{\alpha<\tau:x(\alpha)=0\}$.
Рассмотрим $\beta:=\sup\{\alpha_x:x\in X\}<\tau$ и определим $y\in2^\tau$, полагая

$y(\alpha):=\begin{cases}1:&\alpha\leqslant\beta\,;\\0:&\beta<\alpha<\tau\,.\end{cases}$
Тогда $y\in A_\tau$ и $x<y$ для всех $x\in X$.

Аналогично доказывается ограниченность снизу.
Ну а отсюда до $\tau$-насыщенности уже рукой подать.

rishelie в сообщении #237624 писал(а):

А если в $B_\tau$ выделить подмножество $Q_\tau$ последовательностей со стационарными хвостами ($\alpha_\lambda=const$ начиная с некоторого $\lambda$). Какой насыщенностью оно будет обладать?

Если я там выше не напортачил, то $Q_\tau$ тоже будет $\tau$-насыщенным
(так как в приведенных выше рассуждениях получается $y\in Q_\tau$).

Ой, все-таки, кажись, напортачил.
Мои рассуждения проходят только в случае, когда $\tau$ — регулярный кардинал.

[rishelie]

AGu в сообщении #237841 писал(а):

Возможно, Вы спутали дырочки с $\tau$-дырками.
Эти понятия похожи, но все же различаются.
(Прошу прощения за свои дурацкие термины.)

Да, я еще и путаю счетную насыщенность с $\omega$-насыщенностью )) А эти термины - вольный перевод английских?

AGu в сообщении #237841 писал(а):

Не будет, так как в $B_\tau$ есть наименьший и наибольший элементы: $(0,0,\dots)$ и $(1,1,\dots)$.

Да, точно, про эти-то я забыл... Под влиянием Инта я мыслил о пространстве, где на месте первой координаты стоит ординал $<\tau$, да еще со знаком, а дальше уже за ним идут нули и единички. Просто во всех рассуждениях можно легко уйти в интервал $(0,1)$ и как-то забываешь об этих тождественных нулях и единицах.

AGu в сообщении #237841 писал(а):

Ну а отсюда до $\tau$-насыщенности уже рукой подать.

Я как раз пытался искать промежуточный элемент (между $A$ и $B$, $A<B$ и $|A|, |B|<\tau$) путем выстраивания последовательности вложенных интервалов с концами из $Q_\tau$. Для $\tau=\aleph_1$ идея изложена вот тут: http://dxdy.ru/post237738.html#p237738

AGu в сообщении #237841 писал(а):

Если я там выше не напортачил, то $Q_\tau$ тоже будет $\tau$-насыщенным
(так как в приведенных выше рассуждениях получается $y\in Q_\tau$).

Вот это, кстати, весьма забавно, ведь $Q_\tau$ - аналог $\mathbb Q$ в $\mathbb R$

AGu в сообщении #237841 писал(а):

Мои рассуждения проходят только в случае, когда $\tau$ — регулярный кардинал.

Да, согласен, тут нужно иметь ${\rm cf(\tau)}=\tau$. Но, во всяком случае, обсуждаемый в соседней ветке изолированный кардинал $\aleph_1$ регулярен.

Только как быть с примером, где $\alpha_n$ имеет хвост нулей, начиная с позиции $n+1$, с 0 по $n$ позиции стоят 1, и $\alpha$ имеет единицы для всех натуральных позиций, и нули начиная с $\omega$. Это смахивает на счетную дырку.

[AGu]

rishelie в сообщении #237935 писал(а):

Да, я еще и путаю счетную насыщенность с $\omega$-насыщенностью )) А эти термины - вольный перевод английских?

Ага. Вольный и весьма дурацкий. Извините еще раз.
Как уже говорил, мои доморощенные $\tau$-насыщенные множества классики называют $\eta_\alpha$-множествами, где $\tau=\aleph_\alpha$.

rishelie в сообщении #237935 писал(а):

AGu в сообщении #237841 писал(а):

Ну а отсюда до $\tau$-насыщенности уже рукой подать.

Я как раз пытался искать промежуточный элемент (между $A$ и $B$, $A<B$ и $|A|, |B|<\tau$) путем выстраивания последовательности вложенных интервалов с концами из $Q_\tau$.

Мало ли что мне показалось, будто «рукой подать»! Может, и нет такой руки. Я лишь заметил, что все подмножества мощности $<\tau$ ограничены, а дальше поленился думать. Зря?

rishelie в сообщении #234674 писал(а):

Вот это, кстати, весьма забавно, ведь $Q_\tau$ - аналог $\mathbb Q$ в $\mathbb R$

Ну да, вроде, аналог. Но все-таки $A_{\aleph_1}$ довольно заметно отличается от $A_\omega$ — хотя бы тем, что в первом все счетные множества ограничены (если я, опять-таки, не протупил), а во втором — не все.

rishelie в сообщении #234674 писал(а):

Только как быть с примером, где $\alpha_n$ имеет хвост нулей, начиная с позиции $n+1$, с 0 по $n$ позиции стоят 1, и $\alpha$ имеет единицы для всех натуральных позиций, и нули начиная с $\omega$. Это смахивает на счетную дырку.

Смахивает. Ну, значит, не подать там рукой до насыщенности. Видать, попутал меня черт по имени ${}^*\mathbb R$.

P.S. Извините, что халявничаю: работа мешает. Через часок-другой у меня, возможно, появится время подумать. Если к тому времени вопрос останется актуальным — авось, вякну что-нибудь более вразумительное.

-- 2009.08.26 15:42 --

Ну да, натуральная счетная дырка: $\bigl(\{\chi_{[0,n]}:n\in\omega\},\{\chi_{[0,\omega)}\}\bigr)$.
Стало быть, $A_{\aleph_1}$ не является $\aleph_1$-насыщенным.
Виноват.

-- 2009.08.26 16:27 --

Кстати, кажись, в $A_{\aleph_1}$ вообще все элементы имеют плотность $\leqslant\aleph_0$.
Действительно, для $x\in 2^\tau$ и $S\subseteq\tau$ обозначим через $x\land 0_S$ результат зануления $x$ на $S$.
Тогда если $x\in A_{\aleph_1}$ и $\beta=\min\{\alpha<\aleph_1:x(\alpha)=0\}$, то $\bigl\{x\land 0_{[\alpha,\beta]}:\alpha<\beta}\bigr\}$ конфинально в $\{y\in A_{\aleph_1}:y<x\}$.
Правда ведь?

[rishelie]

AGu в сообщении #238057 писал(а):

Ага. Вольный и весьма дурацкий. Извините еще раз.

полноте надо ж как-то по-русски общаться а если нет устоявшихся терминов...

AGu в сообщении #238057 писал(а):

Но все-таки $A_{\aleph_1}$ довольно заметно отличается от $A_\omega$ — хотя бы тем, что в первом все счетные множества ограничены (если я, опять-таки, не протупил), а во втором — не все.

Насчет ограниченности верно.
Неверно сравнение счетные в $A_{\aleph_1}$ аналогичны конечным в $A_\omega$.

AGu в сообщении #238057 писал(а):

Кстати, кажись, в $A_{\aleph_1}$ вообще все элементы имеют плотность $\leqslant\aleph_0$.
Действительно, для $x\in 2^\tau$ и $S\subseteq\tau$ обозначим через $x\land 0_S$ результат зануления $x$ на $S$.
Тогда если $x\in A_{\aleph_1}$ и $\beta=\min\{\alpha<\aleph_1:x(\alpha)=0\}$, то $\bigl\{x\land 0_{[\alpha,\beta]}:\alpha<\beta}\bigr\}$ конфинально в $\{y\in A_{\aleph_1}:y<x\}$.
Правда ведь?

если $x(\gamma)=0$, где $\gamma>\beta$, то это рассуждение проходит. гораздо хуже, если выше $\beta$ есть единички.
достаточно одну из них поменять на ноль, построив таким образом, элемент $y<x$, как у нас получается элемент между $x$ и всеми $x\land 0_{[\alpha,\beta]}$, и ведь на каждую единичку в $x$ с номером выше $\beta$ можно такой $y$ состряпать, вот в чем вся штука.

Похоже, что только для $x$ с хвостом нулей, начинающихся с предельного ординала(!), конфинальность луча $\{y<x\}$ будет счетной. Иначе говоря, только у элементов из $Q_{\aleph_1}$ плотность будет равна $\omega$.

В случае, когда у нас хвост имеет вид 10000, где единичка стоит на месте $\alpha$, он эквивалентен хвосту 011111. И если мы теперь вместо исходного $A_{\aleph_1}$ рассмотрим пространство хвостов, т.е. $\{x|_{\aleph_1\setminus(\alpha+1)}:\;x\in A_{\aleph_1}\}$, это будет то же самое $A_{\aleph_1}$ А в нем счетные множества ограничены, значит, к нашему исходному элементу с хвостом 10000 не может сходиться возрастающая счетная последовательность.

Вот такие сюрпризы с этими склееными хвостами )

Так что мы для $A_{\aleph_1}$ имеем такие свойства:
1. дырочки в нем имеют плотность не менее $\aleph_1$
2. плотность точек равна $\omega$, если это точки из $Q_{\aleph_1}$, не являющиеся парами склееных хвостов, и не меньше ${\aleph_1}$ для других точек.
3. ${\rm cf}(A_{\aleph_1})={\rm ci}(A_{\aleph_1})=\omega$

Но тогда получается, что наше $Q_{\aleph_1}$ не является счетно насыщенным, ведь именно в нем сидят точки с хвостами нулей, к которым можно построить сходящиеся счетные последовательности элементов, опять же, из$Q_{\aleph_1}$.
Так что точки $Q_{\aleph_1}$ в порядке на $Q_{\aleph_1}$ обладают плотностью $\omega$.

Полагаю, это легко обобщается на случай регулярного кардинала $\tau$.
Обозначим $Q^2_\tau$ множество всех тех точек из $A_\tau$, которые являются классами эквивалентности мощности 2 (то есть представляют собой пару склееных бинарных последовательностей вида 1000 и 0111).
Тогда
1. плотность точек из $Q^2_\tau$ будет не меньше $\tau$ в индуцированном на $Q^2_\tau$ порядке.
2. плотность точек из $Q_\tau\setminus Q^2_\tau$ будет лежать в полуинтервале $[\omega,\tau)$ (точное значение, видимо, определяется мощностью той позиции, с которой начинается хвост нулей)
3. плотность точек из $A_\tau\setminus Q^2_\tau$ также не меньше $\tau$.
4. плотность дырочек в $A_\tau$ - не меньше $\tau$
5. плотность дырочек в $Q^2_\tau$ в индуцированном порядке вроде тоже не меньше $\tau$ (для дырочек с мощностью меньше $\tau$ можно найти промежуточный элемент, принадлежащий $Q^2_\tau$, по методу, который я бегло описывал тут: http://dxdy.ru/post237738.html#p237738 для $\tau=\aleph_1$), то $Q^2_\tau$ $\tau$-насыщенное.

[AGu]

rishelie в сообщении #238218 писал(а):

Неверно сравнение счетные в $A_{\aleph_1}$ аналогичны конечным в $A_\omega$.

И ведь правда. Да, теперь я понимаю, что $Q_\tau\subset A_\tau$ — вполне себе аналог $\mathbb Q\subset\mathbb R$.
Впрочем, в $\mathbb Q$ попадают еще и периодические дроби, но я не знаю, как подступиться к понятию «периодической» последовательности, индексированной $\aleph_1$ (хотя и не исключаю, что какой-то более-менее адекватный подход тут возможен).

rishelie в сообщении #238218 писал(а):

AGu в сообщении #238057 писал(а):

Кстати, кажись, в $A_{\aleph_1}$ вообще все элементы имеют плотность $\leqslant\aleph_0$.

если $x(\gamma)=0$, где $\gamma>\beta$, то это рассуждение проходит. гораздо хуже, если выше $\beta$ есть единички.

Опять верно. Моя лажа.

В Ваши дальнейшие выкладки я, к сожалению, не очень глубоко вникал (извините), но они мне понравились. Вот только...

rishelie в сообщении #238218 писал(а):

3. ${\rm cf}(A_{\aleph_1})={\rm ci}(A_{\aleph_1})=\omega$

Сейчас я, наверное, снова начну лажать, но...

Пусть $X$ — конфинальное подмножество $A_{\aleph_1}$.
Для $x\in X$ положим $\beta_x:=\min\{\alpha\in\aleph_1:x(\alpha)=0\}$.
Поскольку $X$ конфинально в $A_{\aleph_1}$, мы имеем $(\forall\,\alpha\in\aleph_1)(\exists\,x\in X)(\chi_{[0,\alpha)}\leqslant x)$,
а значит, $(\forall\,\alpha\in\aleph_1)(\exists\,x\in X)(\alpha\leqslant\beta_x)$, т.е. $B_X:=\{\beta_x:x\in X\}$ конфинально в $\aleph_1$,
откуда в силу ${\rm cf}(\aleph_1)=\aleph_1$ следует, что $|B_X|\geqslant\aleph_1$ и поэтому $|X|\geqslant\aleph_1$.