2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение13.08.2009, 12:18 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #234674 писал(а):
Да, вроде все точно...
Спасибо за отклик.

rishelie в сообщении #234674 писал(а):
Даже утверждение, что $X$ - счетно насыщенное, не вызывает сомнений :)
Ага. :-) (Это, наверное, наименее тривиальный момент.)

rishelie в сообщении #234674 писал(а):
Интересно, можно ли аналогично говорить о $\tau$ насыщенности и изоморфизме $\tau$ насыщенных л.у. множеств мощности $\tau^+$, где $\tau$ - несчетный кардинал?
Вы почти точно угадали. Вот соответствующий блок сведений:

Пусть $X$ — л.у. множество и $\tau$ — бесконечный кардинал.
Назовем $\tau$-дыркой в $X$ такую пару $(A,B)$, что
$A,B\subseteq X$, $|A|,|B|<\tau$ (случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются),
$A<B$ и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.

Л.у. множество назовем $\tau$-насыщенным, если в нем нет $\tau$-дырок.
(Классики называют такие л.у. множества $\eta_\alpha$-множествами, где $\tau=\aleph_\alpha$.)

Стоит отметить, что $\aleph_0$-насыщенные л.у. множества —
это в точности плотные л.у. множества без концов,
а $\aleph_1$-насыщенные л.у. множества —
это в точности счетно насыщенные л.у. множества.

Известно [Хаусдорф], что $\tau$-насыщенные л.у. множества мощности $\tau$
попарно изоморфны.

rishelie в сообщении #234674 писал(а):
Кстати, а не надо ли для изоморфизма требовать, чтобы порядок был без $\tau$-концов, как и в случае плотных (т.е. конечно-насыщенных) л.у. множеств требуется отсутствие (просто) концов?
Надо. Более того, это уже потребовано. :-)
Роль $\tau$-концов играют $\tau$-дырки вида $(A,\varnothing)$ и $(\varnothing,B)$.
(Я не зря в обоих определениях подчеркнул, что
«случаи $A=\varnothing$, $B=\varnothing$ не исключаются».)

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение13.08.2009, 18:55 


18/10/08
622
Сибирь
AGu в сообщении #234791 писал(а):
$|A|,|B|<\tau$
Здесь нет опечатки? Точно ли, что должно стоять строгое неравенство$|A|,|B|<\tau$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение14.08.2009, 11:44 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Инт в сообщении #234869 писал(а):
Точно ли, что должно стоять строгое неравенство$|A|,|B|<\tau$?
Точно.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение20.08.2009, 22:04 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
AGu в сообщении #234791 писал(а):
Известно [Хаусдорф], что $\tau$-насыщенные л.у. множества мощности $\tau$
попарно изоморфны.

Соответственно, в $\tau$-насыщенное множество мощности $\tau$ можно вложить ординал мощности $\tau$? то есть $\gamma(X)\geqslant \tau^+$?

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение21.08.2009, 10:14 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #236599 писал(а):
Соответственно, в $\tau$-насыщенное множество мощности $\tau$ можно вложить ординал мощности $\tau$? то есть $\gamma(X)\geqslant \tau^+$?
Вроде, да. К такому выводу, кажись, приводит соответствующая
модификация фрагмента сообщения #234378. Вот:

Пусть $\tau$ — бесконечный кардинал
и пусть $Y$$\tau$-насыщенное л.у. множество мощности $\tau$.
Покажем, что $\gamma(Y)\geqslant\tau^+$.

Для этого рассмотрим произвольный ординал $\alpha<\tau^+$
и покажем, что $\alpha\hookrightarrow Y$.

Построим возрастающую последовательность $(X_\beta)_{\beta<\tau}$
л.у. множеств $X_\beta$ следующей трансфинитной рекурсией.

    Положим $X_0:=\alpha$.

    Пусть построены $(X_\gamma)_{\gamma<\beta}$, где $0<\beta<\tau$.
    Положим $U:=\bigcup_{\gamma<\beta}X_\gamma$.
    Если $U$ $\tau$-насыщено, положим $X_\beta := U$.
    В противном случае положим $X_\beta:={\rm Fill}_{(A,B)}U$,
    где $(A,B)$ — какая-либо $\tau$-дырка в $U$.

Тогда $X:=\bigcup_{\beta<\tau}X_\beta$$\tau$-насыщенное л.у. множество
мощности $\tau$, а значит, $X$ изоморфно $Y$.
Осталось заметить, что $\alpha=X_0\hookrightarrow X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение21.08.2009, 22:03 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
Да, кстати, $\gamma(X)\geqslant\tau^+$ означает просто $\gamma(X)=\tau^+$ в данном случае. Интересно, как бы это дело в обратную сторону повернуть? То есть задать плотность "в каждой точке" $X$ и сказать, что если она равна $\tau^+$, то множество $X$ мощности $\tau$ является $\tau$-насыщенным. Может быть, следует потребовать, чтобы плотность любого интервала $X$ была равна $\tau^+$? Причем, вложимость ординалов мощности $\tau$ должна выполняться как по возрастанию, так и по убыванию.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение22.08.2009, 16:16 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #236897 писал(а):
Да, кстати, $\gamma(X)\geqslant\tau^+$ означает просто $\gamma(X)=\tau^+$ в данном случае.
Кстати, да. :-)

rishelie в сообщении #236897 писал(а):
Интересно, как бы это дело в обратную сторону повернуть? То есть задать плотность "в каждой точке" $X$ и сказать, что если она равна $\tau^+$, то множество $X$ мощности $\tau$ является $\tau$-насыщенным.
Не уверен, что правильно понял вопрос, но если я правильно понял
[Harzheim E. Ordered Sets. Springer, 2005], то можно в некотором роде
развернуть «насыщенность» в «плотность» следующим образом.

Пусть $X=(X,{\leqslant})$ — л.у. множество.

Подмножество $Y\subseteq X$ называется конфинальным в $X$,
если $(\forall\,x\in X)(\exists\,y\in Y)(x\leqslant y)$.
Ординал $\alpha$ называется конфинальным в $X$,
если существует конфинальное подмножество $X$, изоморфное $\alpha$.
Наименьший конфинальный в $X$ ординал называется
конфинальностью $X$ и обозначается символом ${\rm cf}(X)$.

Ординал $\alpha$ называется регулярным, если ${\rm cf}(\alpha)=\alpha$.
Известно [Harzheim, 3.1.9], что всякий регулярный ординал является
кардиналом, причем либо равным $0$, либо равным $1$, либо бесконечным.

Известно [Harzheim, 3.1.10], что ${\rm cf}(X)$ является регулярным ординалом,
причем единственным регулярным ординалом, конфинальным в $X$.
При этом ${\rm cf}(X)$ — наименьшая среди мощностей конфинальных подмножеств $X$.
(Последнее свойство ${\rm cf}(X)$ часто используется в качестве определения.)

Символом $X^*$ обозначается двойственное упорядоченное множество $(X,{\geqslant})$.
Используя это понятие, можно определить коинициальные подмножества $X$
как конфинальные подмножества $X^*$ и ввести коинициальность ${\rm ci}(X)$
л.у. множества $X$ как ${\rm cf}(X^*)$.

Дырочкой в $X$ назовем такую пару $(A,B)$ непустых подмножеств $X$, что $A<B$,
$A$ не имеет наибольшего элемента, $B$ не имеет наименьшего элемента
и $\neg(\exists\,x\in X)(A<x<B)$.
Плотностью дырочки $(A,B)$ назовем кардинал $\min\,\{{\rm cf}(A),\,{\rm ci}(B)\}$.

Плотностью элемента $x\in X$ назовем кардинал $\min\,\{{\rm cf}(A),\,{\rm ci}(B)\}$,
где $A=\{a\in X:a<x\}$, $B=\{b\in X:x<b\}$.

Теорема [Harzheim, 3.3.4]. Пусть $\tau$ — бесконечный кардинал.
Л.у. множество $X$ является $\tau$-насыщенным тогда и только тогда,
когда ${\rm cf}(X)\geqslant\tau$, ${\rm ci}(X)\geqslant\tau$, все дырочки в $X$ имеют плотность $\geqslant\tau$
и все элементы $X$ имеют плотность $\geqslant\tau$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение22.08.2009, 18:22 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
Я предполагал формулировку попроще: $X$ является $\tau$-насыщенным тогда и только тогда, когда у любого интервала $(a,b)\subseteq X$ конфинальность и коинициальность $\geqslant\tau$. Правда, я при этом имел ввиду $|X|=\tau$ (и в этом случае ${\rm cf}(a,b)={\rm ci}(a,b)=\tau$).

Кстати, плотность всех элементов $X$ не меньше $\tau$ тогда и только тогда, когда ${\rm cf}(a,b),\,{\rm ci}(a,b)\geqslant\tau$ для любого интервала $(a,b)$.

А вот требование к плотностям дырок, похоже, нельзя свести к интервалам.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение23.08.2009, 10:10 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #237072 писал(а):
Кстати, плотность всех элементов $X$ не меньше $\tau$ тогда и только тогда, когда ${\rm cf}(a,b),\,{\rm ci}(a,b)\geqslant\tau$ для любого интервала $(a,b)$.
Верно.

rishelie в сообщении #237072 писал(а):
А вот требование к плотностям дырок, похоже, нельзя свести к интервалам.
Тоже верно — даже если потребовать ${\rm cf}(X),{\rm ci}(X)\geqslant\tau$.
Например, если принять CH и положить $X={}^*\mathbb R\setminus\mu(0)$,
где $\mu(0)=\bigl\{x\in{}^*\mathbb R:(\forall\,n\in\mathbb N)\bigl(-\frac1{{}^*n}<x<\frac1{{}^*n}\bigr)\bigr\}$ — монада нуля,
то $|X|={\rm cf}(X)={\rm ci}(X)=\frak c$ и все элементы $X$ имеют плотность $\frak c$,
но $X$ не является $\frak c$-насыщенным, так как
$\bigl(\bigl\{-\frac1{{}^*n}:n\in\mathbb N\bigr\},\bigl\{\frac1{{}^*n}:n\in\mathbb N\bigr\}\bigr)$ — счетная дырка в $X$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение24.08.2009, 22:10 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
Что-то я затупил.. Дырочки в $\mathbb R$ разве имеют плотность $\omega$?

И еще, рассмотрим пространство $B_\tau$ ($\tau$ - бесконечный кардинал), построенное как $2^\tau/_\sim$, где $\sim$ для бинарных последовательностей $\alpha,\beta\in 2^\tau$ задается так:
$\alpha\sim\beta$, если $\alpha=\beta$ или существует ординал $\lambda<\tau$ такой, что $\alpha|_\lambda=\beta|_\lambda$, $\alpha_\lambda\ne\beta_\lambda$ и для всех $\gamma\in(\lambda,\tau)$ имеем: $\alpha_\gamma=\beta_\lambda$ и $\beta_\gamma=\alpha_\lambda$. То есть отношение $\sim$ "склеивает" бинарные последовательности с соседними хвостами вида 0,1,1,1,1,... и 1,0,0,0,0,... Соседними - в смысле лексигорафического порядка.

На $B_\tau$ вводим стандартный лексиграфический порядок: $\alpha<\beta$, если существует $\lambda<\tau$ такой, что $\alpha|_\lambda=\beta|_\lambda$, $\alpha_\lambda=0$, $\beta_\lambda=1$.

Будет ли $B_\tau$ $\tau$-насыщенным?

А если в $B_\tau$ выделить подмножество $Q_\tau$ последовательностей со стационарными хвостами ($\alpha_\lambda=const$ начиная с некоторого $\lambda$). Какой насыщенностью оно будет обладать?

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение25.08.2009, 15:42 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #237624 писал(а):
Что-то я затупил.. Дырочки в $\mathbb R$ разве имеют плотность $\omega$?
Да — по той простой причине, что в $\mathbb R$ нет дырочек. :-)
Возможно, Вы спутали дырочки с $\tau$-дырками.
Эти понятия похожи, но все же различаются.
(Прошу прощения за свои дурацкие термины.)

rishelie в сообщении #237624 писал(а):
Будет ли $B_\tau$ $\tau$-насыщенным?
Не будет, так как в $B_\tau$ есть наименьший и наибольший элементы: $(0,0,\dots)$ и $(1,1,\dots)$.
А вот если их выкинуть, — вроде, будет.
Пусть $A_\tau=B_\tau\backslash\{(0,0,\dots),(1,1,\dots)\}$.
Покажем, что любое подмножество $X\subseteq A_\tau$ мощности $|X|<\tau$ ограничено сверху.
    Для каждого $x\in X$ положим $\alpha_x:=\min\{\alpha<\tau:x(\alpha)=0\}$.
    Рассмотрим $\beta:=\sup\{\alpha_x:x\in X\}<\tau$ и определим $y\in2^\tau$, полагая
      $y(\alpha):=\begin{cases}1:&\alpha\leqslant\beta\,;\\0:&\beta<\alpha<\tau\,.\end{cases}$
    Тогда $y\in A_\tau$ и $x<y$ для всех $x\in X$.
Аналогично доказывается ограниченность снизу.
Ну а отсюда до $\tau$-насыщенности уже рукой подать.

rishelie в сообщении #237624 писал(а):
А если в $B_\tau$ выделить подмножество $Q_\tau$ последовательностей со стационарными хвостами ($\alpha_\lambda=const$ начиная с некоторого $\lambda$). Какой насыщенностью оно будет обладать?
Если я там выше не напортачил, то $Q_\tau$ тоже будет $\tau$-насыщенным
(так как в приведенных выше рассуждениях получается $y\in Q_\tau$).

Ой, все-таки, кажись, напортачил.
Мои рассуждения проходят только в случае, когда $\tau$ — регулярный кардинал.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение25.08.2009, 20:10 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
AGu в сообщении #237841 писал(а):
Возможно, Вы спутали дырочки с $\tau$-дырками.
Эти понятия похожи, но все же различаются.
(Прошу прощения за свои дурацкие термины.)

Да, я еще и путаю счетную насыщенность с $\omega$-насыщенностью :))) А эти термины - вольный перевод английских?

AGu в сообщении #237841 писал(а):
Не будет, так как в $B_\tau$ есть наименьший и наибольший элементы: $(0,0,\dots)$ и $(1,1,\dots)$.

Да, точно, про эти-то я забыл... Под влиянием Инта я мыслил о пространстве, где на месте первой координаты стоит ординал $<\tau$, да еще со знаком, а дальше уже за ним идут нули и единички. Просто во всех рассуждениях можно легко уйти в интервал $(0,1)$ и как-то забываешь об этих тождественных нулях и единицах.
AGu в сообщении #237841 писал(а):
Ну а отсюда до $\tau$-насыщенности уже рукой подать.

Я как раз пытался искать промежуточный элемент (между $A$ и $B$, $A<B$ и $|A|, |B|<\tau$) путем выстраивания последовательности вложенных интервалов с концами из $Q_\tau$. Для $\tau=\aleph_1$ идея изложена вот тут: http://dxdy.ru/post237738.html#p237738
AGu в сообщении #237841 писал(а):
Если я там выше не напортачил, то $Q_\tau$ тоже будет $\tau$-насыщенным
(так как в приведенных выше рассуждениях получается $y\in Q_\tau$).

Вот это, кстати, весьма забавно, ведь $Q_\tau$ - аналог $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ :)
AGu в сообщении #237841 писал(а):
Мои рассуждения проходят только в случае, когда $\tau$ — регулярный кардинал.

Да, согласен, тут нужно иметь ${\rm cf(\tau)}=\tau$. Но, во всяком случае, обсуждаемый в соседней ветке изолированный кардинал $\aleph_1$ регулярен.

Только как быть с примером, где $\alpha_n$ имеет хвост нулей, начиная с позиции $n+1$, с 0 по $n$ позиции стоят 1, и $\alpha$ имеет единицы для всех натуральных позиций, и нули начиная с $\omega$. Это смахивает на счетную дырку.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение26.08.2009, 10:53 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #237935 писал(а):
Да, я еще и путаю счетную насыщенность с $\omega$-насыщенностью :))) А эти термины - вольный перевод английских?
Ага. Вольный и весьма дурацкий. Извините еще раз.
Как уже говорил, мои доморощенные $\tau$-насыщенные множества классики называют $\eta_\alpha$-множествами, где $\tau=\aleph_\alpha$.

rishelie в сообщении #237935 писал(а):
AGu в сообщении #237841 писал(а):
Ну а отсюда до $\tau$-насыщенности уже рукой подать.
Я как раз пытался искать промежуточный элемент (между $A$ и $B$, $A<B$ и $|A|, |B|<\tau$) путем выстраивания последовательности вложенных интервалов с концами из $Q_\tau$.
Мало ли что мне показалось, будто «рукой подать»! Может, и нет такой руки. Я лишь заметил, что все подмножества мощности $<\tau$ ограничены, а дальше поленился думать. Зря?

rishelie в сообщении #234674 писал(а):
Вот это, кстати, весьма забавно, ведь $Q_\tau$ - аналог $\mathbb Q$ в $\mathbb R$ :)
Ну да, вроде, аналог. Но все-таки $A_{\aleph_1}$ довольно заметно отличается от $A_\omega$ — хотя бы тем, что в первом все счетные множества ограничены (если я, опять-таки, не протупил), а во втором — не все.

rishelie в сообщении #234674 писал(а):
Только как быть с примером, где $\alpha_n$ имеет хвост нулей, начиная с позиции $n+1$, с 0 по $n$ позиции стоят 1, и $\alpha$ имеет единицы для всех натуральных позиций, и нули начиная с $\omega$. Это смахивает на счетную дырку.
Смахивает. Ну, значит, не подать там рукой до насыщенности. Видать, попутал меня черт по имени ${}^*\mathbb R$.

P.S. Извините, что халявничаю: работа мешает. Через часок-другой у меня, возможно, появится время подумать. Если к тому времени вопрос останется актуальным — авось, вякну что-нибудь более вразумительное.

-- 2009.08.26 15:42 --

Ну да, натуральная счетная дырка: $\bigl(\{\chi_{[0,n]}:n\in\omega\},\{\chi_{[0,\omega)}\}\bigr)$.
Стало быть, $A_{\aleph_1}$ не является $\aleph_1$-насыщенным.
Виноват.

-- 2009.08.26 16:27 --

Кстати, кажись, в $A_{\aleph_1}$ вообще все элементы имеют плотность $\leqslant\aleph_0$.
Действительно, для $x\in 2^\tau$ и $S\subseteq\tau$ обозначим через $x\land 0_S$ результат зануления $x$ на $S$.
Тогда если $x\in A_{\aleph_1}$ и $\beta=\min\{\alpha<\aleph_1:x(\alpha)=0\}$, то $\bigl\{x\land 0_{[\alpha,\beta]}:\alpha<\beta}\bigr\}$ конфинально в $\{y\in A_{\aleph_1}:y<x\}$.
Правда ведь?

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение26.08.2009, 18:06 
Аватара пользователя


12/03/08
191
Москва
AGu в сообщении #238057 писал(а):
Ага. Вольный и весьма дурацкий. Извините еще раз.

полноте :) надо ж как-то по-русски общаться :) а если нет устоявшихся терминов...
AGu в сообщении #238057 писал(а):
Но все-таки $A_{\aleph_1}$ довольно заметно отличается от $A_\omega$ — хотя бы тем, что в первом все счетные множества ограничены (если я, опять-таки, не протупил), а во втором — не все.

Насчет ограниченности верно.
Неверно сравнение :) счетные в $A_{\aleph_1}$ аналогичны конечным в $A_\omega$.
AGu в сообщении #238057 писал(а):
Кстати, кажись, в $A_{\aleph_1}$ вообще все элементы имеют плотность $\leqslant\aleph_0$.
Действительно, для $x\in 2^\tau$ и $S\subseteq\tau$ обозначим через $x\land 0_S$ результат зануления $x$ на $S$.
Тогда если $x\in A_{\aleph_1}$ и $\beta=\min\{\alpha<\aleph_1:x(\alpha)=0\}$, то $\bigl\{x\land 0_{[\alpha,\beta]}:\alpha<\beta}\bigr\}$ конфинально в $\{y\in A_{\aleph_1}:y<x\}$.
Правда ведь?


если $x(\gamma)=0$, где $\gamma>\beta$, то это рассуждение проходит. гораздо хуже, если выше $\beta$ есть единички.
достаточно одну из них поменять на ноль, построив таким образом, элемент $y<x$, как у нас получается элемент между $x$ и всеми $x\land 0_{[\alpha,\beta]}$, и ведь на каждую единичку в $x$ с номером выше $\beta$ можно такой $y$ состряпать, вот в чем вся штука.

Похоже, что только для $x$ с хвостом нулей, начинающихся с предельного ординала(!), конфинальность луча $\{y<x\}$ будет счетной. Иначе говоря, только у элементов из $Q_{\aleph_1}$ плотность будет равна $\omega$.

В случае, когда у нас хвост имеет вид 10000, где единичка стоит на месте $\alpha$, он эквивалентен хвосту 011111. И если мы теперь вместо исходного $A_{\aleph_1}$ рассмотрим пространство хвостов, т.е. $\{x|_{\aleph_1\setminus(\alpha+1)}:\;x\in A_{\aleph_1}\}$, это будет то же самое $A_{\aleph_1}$ :) А в нем счетные множества ограничены, значит, к нашему исходному элементу с хвостом 10000 не может сходиться возрастающая счетная последовательность.

Вот такие сюрпризы с этими склееными хвостами :))

Так что мы для $A_{\aleph_1}$ имеем такие свойства:
1. дырочки в нем имеют плотность не менее $\aleph_1$
2. плотность точек равна $\omega$, если это точки из $Q_{\aleph_1}$, не являющиеся парами склееных хвостов, и не меньше ${\aleph_1}$ для других точек.
3. ${\rm cf}(A_{\aleph_1})={\rm ci}(A_{\aleph_1})=\omega$

Но тогда получается, что наше $Q_{\aleph_1}$ не является счетно насыщенным, ведь именно в нем сидят точки с хвостами нулей, к которым можно построить сходящиеся счетные последовательности элементов, опять же, из$Q_{\aleph_1}$.
Так что точки $Q_{\aleph_1}$ в порядке на $Q_{\aleph_1}$ обладают плотностью $\omega$.

Полагаю, это легко обобщается на случай регулярного кардинала $\tau$.
Обозначим $Q^2_\tau$ множество всех тех точек из $A_\tau$, которые являются классами эквивалентности мощности 2 (то есть представляют собой пару склееных бинарных последовательностей вида 1000 и 0111).
Тогда
1. плотность точек из $Q^2_\tau$ будет не меньше $\tau$ в индуцированном на $Q^2_\tau$ порядке.
2. плотность точек из $Q_\tau\setminus Q^2_\tau$ будет лежать в полуинтервале $[\omega,\tau)$ (точное значение, видимо, определяется мощностью той позиции, с которой начинается хвост нулей)
3. плотность точек из $A_\tau\setminus Q^2_\tau$ также не меньше $\tau$.
4. плотность дырочек в $A_\tau$ - не меньше $\tau$
5. плотность дырочек в $Q^2_\tau$ в индуцированном порядке вроде тоже не меньше $\tau$ (для дырочек с мощностью меньше $\tau$ можно найти промежуточный элемент, принадлежащий $Q^2_\tau$, по методу, который я бегло описывал тут: http://dxdy.ru/post237738.html#p237738 для $\tau=\aleph_1$), то $Q^2_\tau$ $\tau$-насыщенное.

 Профиль  
                  
 
 Re: ординальная плотность линейного упорядочения
Сообщение27.08.2009, 13:18 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
rishelie в сообщении #238218 писал(а):
Неверно сравнение :) счетные в $A_{\aleph_1}$ аналогичны конечным в $A_\omega$.
И ведь правда. Да, теперь я понимаю, что $Q_\tau\subset A_\tau$ — вполне себе аналог $\mathbb Q\subset\mathbb R$.
Впрочем, в $\mathbb Q$ попадают еще и периодические дроби, но я не знаю, как подступиться к понятию «периодической» последовательности, индексированной $\aleph_1$ (хотя и не исключаю, что какой-то более-менее адекватный подход тут возможен).

rishelie в сообщении #238218 писал(а):
AGu в сообщении #238057 писал(а):
Кстати, кажись, в $A_{\aleph_1}$ вообще все элементы имеют плотность $\leqslant\aleph_0$.
если $x(\gamma)=0$, где $\gamma>\beta$, то это рассуждение проходит. гораздо хуже, если выше $\beta$ есть единички.
Опять верно. Моя лажа.

В Ваши дальнейшие выкладки я, к сожалению, не очень глубоко вникал (извините), но они мне понравились. Вот только...
rishelie в сообщении #238218 писал(а):
3. ${\rm cf}(A_{\aleph_1})={\rm ci}(A_{\aleph_1})=\omega$
Сейчас я, наверное, снова начну лажать, но...

Пусть $X$ — конфинальное подмножество $A_{\aleph_1}$.
Для $x\in X$ положим $\beta_x:=\min\{\alpha\in\aleph_1:x(\alpha)=0\}$.
Поскольку $X$ конфинально в $A_{\aleph_1}$, мы имеем $(\forall\,\alpha\in\aleph_1)(\exists\,x\in X)(\chi_{[0,\alpha)}\leqslant x)$,
а значит, $(\forall\,\alpha\in\aleph_1)(\exists\,x\in X)(\alpha\leqslant\beta_x)$, т.е. $B_X:=\{\beta_x:x\in X\}$ конфинально в $\aleph_1$,
откуда в силу ${\rm cf}(\aleph_1)=\aleph_1$ следует, что $|B_X|\geqslant\aleph_1$ и поэтому $|X|\geqslant\aleph_1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group