Попробую доказать, что

.
Произвольно выберем точки

и

, теперь утверждение

эквивалентно

. Сконструируем вспомогательную функцию

, у которой это свойство заведомо выполняется, т.е. для которой справедливо

. Опять же, по вейерштрассовской теореме, раз значения функции

в двух точках совпадают, то между ними должен быть локальный экстремум

, в котором

. Осталось добиться, чтобы из этого условия, i.e. из

следовало

. В общем, неплохо бы было подобрать функцию, удовлетворяющую двум требованиям:

и

.
Для этого стоит обратить внимание на ещё одну функцию

, предполагая

(что не нарушает общности). Очевидно, что

и

. Выражение

в точке

есть

, а в точке

равно

. Это дает возможный вид

, а именно:
![$g(x)=f(x)+h(x)[f(\beta)-f(\alpha)]$ $g(x)=f(x)+h(x)[f(\beta)-f(\alpha)]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/a/8fa6c9241db8797895f3626b67c32ea882.png)
. Действительно,

и
![$g'(x)=f'(x)+h'(x)[f(\beta)-f(\alpha)]$ $g'(x)=f'(x)+h'(x)[f(\beta)-f(\alpha)]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/6/e06c24b8871b97af1be8dc2eb015d68f82.png)
. Однако,

, а из

немедленно следует

. Таким образом, подстановка дает

.
Искомая функция

получена (N.B.: кажется, достаточно было как-нибудь доказать лишь её существование, а не находить готовый пример такой функции). Поэтому

,

.
Странные рассуждения получились, прямо таки "подгонка" под результат какая-то... Кстати, по-сути, это почти доказательство той самой лагранжевской теоремы...