теорема о равенстве функций с одинаковыми дифференциалами

[AD]

Circiter в сообщении #235779 писал(а):

Они же равны (производные), разность ЕСТЬ ноль!

В этом и противоречие. Мол а если разность не константа, то теоремой Лагранжа указываем точку, где производная разности не ноль. Точками $a$ и $b$ будут любые точки, в которых $\phi-\psi$ принимают разные значения.

[Circiter]

Простите, а что если при доказательстве применить наивный подход, из первых принципов?

Доказать: $d\varphi(x)=d\psi(x)\ \Leftrightarrow\ \varphi(x)=\psi(x)+const$.
Доказательство: Равенство дифференциалов $d\varphi(x)=d\psi(x)$ эквивалентно равенству нулю их разностей: $d\varphi(x)-d\psi(x)=0$. Дифференцирование дистрибутивно, i.e.: $d(u+v)=du+dv$, не так ли? Поэтому $d(\varphi(x)-\psi(x))=0$, но всюду равен нулю только дифференциал константы, что приводит к $\varphi(x)-\psi(x)=const$, ч.т.д.

[ewert]

Circiter в сообщении #236137 писал(а):

но всюду равен нулю только дифференциал константы,

так ведь это-то как раз и нуждается в доказательстве

[Circiter]

2ewert

Цитата:

так ведь это-то как раз и нуждается в доказательстве

А разве это не следует непосредственно из определения понятия "дифференциал"?

[ewert]

Circiter в сообщении #236159 писал(а):

А разве это не следует непосредственно из определения понятия "дифференциал"?

Нет. Непосредственно из определения следует обратное утверждение: если функция константа, то её дифференциал -- ноль.

[Circiter]

Как страшно жить...

[ewert]

Аж жуть.

[Circiter]

Попробую доказать, что $df(x)=0\ \Rightarrow\ f(x)=const$.

Произвольно выберем точки $\alpha$ и $\beta$, теперь утверждение $f(x)=const$ эквивалентно $f(\alpha)=f(\beta)$. Сконструируем вспомогательную функцию $g(x)$, у которой это свойство заведомо выполняется, т.е. для которой справедливо $g(\alpha)=g(\beta)$. Опять же, по вейерштрассовской теореме, раз значения функции $g(x)$ в двух точках совпадают, то между ними должен быть локальный экстремум $\gamma$, в котором $g'(\gamma)=0$. Осталось добиться, чтобы из этого условия, i.e. из $g'(\gamma)=0$ следовало $f(\alpha)=f(\beta)$. В общем, неплохо бы было подобрать функцию, удовлетворяющую двум требованиям: $g'(x)=f(\beta)-f(\alpha)$ и $g(\alpha)=g(\beta)$.

Для этого стоит обратить внимание на ещё одну функцию $h(x)=(x-\beta)/(\alpha-\beta)$, предполагая $\alpha\neq\beta$ (что не нарушает общности). Очевидно, что $h(\alpha)=1$ и $h(\beta)=0$. Выражение $f(x)+h(x)$ в точке $\beta$ есть $f(\beta)$, а в точке $\alpha$ равно $f(\alpha)+1$. Это дает возможный вид $g(x)$, а именно: $g(x)=f(x)+h(x)[f(\beta)-f(\alpha)]$. Действительно, $g(\alpha)=f(\beta)=g(\beta)$ и $g'(x)=f'(x)+h'(x)[f(\beta)-f(\alpha)]$. Однако, $h'(x)=1$, а из $df(x)=0$ немедленно следует $f'(x)=0$. Таким образом, подстановка дает $g'(x)=f(\beta)-f(\alpha)$.

Искомая функция $g(x)$ получена (N.B.: кажется, достаточно было как-нибудь доказать лишь её существование, а не находить готовый пример такой функции). Поэтому $\forall\alpha,\beta\ f(\alpha)=f(\beta)$, $\blacksquare$.

Странные рассуждения получились, прямо таки "подгонка" под результат какая-то... Кстати, по-сути, это почти доказательство той самой лагранжевской теоремы...

[gris]

Я чего-то не пойму. Все пытаются объяснить автору совсем не то, что он спрашивал. Хотя понять, что именно он спрашивал, не так просто.
Я думаю, что речь идёт о решении дифференциальных уравнений. В некоторых курсах студентам просто даются приёмы решения 4-5 стандартных видов уравнений без всякого доказательства.
Например, чтобы решить уравнение

$$2xdx=3y^2dy$$

просто подпишем в начале каждой части по интегральчику и вперёд:

$$\int 2xdx=\int 3y^2dy$$

$$x^2=y^3+C$$

Доверительно сообщается, что константу можно прибавлять только к одной из частей. Пытливые студенты пытаются выяснить, почему дифференциалы с разными буквами можно интегрировать, а им говорять, что строгое доказательство не входит в сокращённую для их же блага программу.

[Sasha2]

Мне кажется, что у автора вопроса изначально он поставлен не совсем правильно.
Равенство дифференциалов, равно как и производных ни о чем абсолютно не говорит, пока не указано, где это равенство имеет место.
Если они равны в одной точке, то это абсолютно не значит, что равны функции в этой точке. А вот если они равны на отрезке (точнее везде внутри него), то тогда действительно функции равны.
Проще всего об этом сказано у Фихтенгольца
Теорема: Пусть функция f(x) определена и непрерывна в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f'(x). Для того, чтобы f(x) была постоянной в X НЕОБХОДИМО И ДОСТАТОЧНО, чтобы f'(x)=0 внутри X.

Фихтенгольц, Том 1, пункт 131.
Смотрите также следствие к этой теореме.

[ewert]

gris в сообщении #236270 писал(а):

Пытливые студенты пытаются выяснить, почему дифференциалы с разными буквами можно интегрировать,

А эта проблема возникает, видимо, просто из легкомысленности (и вполне оправданной легкомысленности, кстати) правила интегрирования уравнения с разделяющимися переменными. Дескать, ну допустим, что $\displaystyle y'(x)=f(x)\cdot g(y).$ Ну тогда $\displaystyle {dy\over g(y)}=f(x)dx,$ откуда приписываем крючки и т.д. Я и сам всегда так объясняю -- на уровне размахивания руками (ибо это по существу), но потом параллельно и непременно выписываю что-нибудь типа: $\displaystyle \left(\int{1\over g(y)}dy\right)'_y\cdot y'(x)=f(x)$ и т.д. Уж не знаю, насколько помогает детям это осознать ситуацию, но дублирую -- всегда.

[gris]

Уравнения с разделяющимися переменными обычно решают в самом начале курса. А потом уже проходят уравнения в полных дифференциалах (более общий случай). А вот там не важно, какая из переменных является независимой.

Рассматривается некоторая неявная функция $F(x,y)$ от двух переменных, определяется её полный дифференциал, рассматриваются условия, при которых... ну и так далее. И всё действительно сводится к тому, что если дифференциал функции двух переменных равен нулю, то функция равна константе, о чём, кстати, и говорилось в первом же ответе ewerta.

Так что выражение $f(x)dx-g(y)dy$ можно рассматривать как полный дифференциал некоторой функции $F(x,y)$, а функции $f$ и $-g$ как частные производные этой функции.

Если, конечно, ув. Roman80 интересовался именно этим.

[AD]

Circiter в сообщении #236259 писал(а):

Кстати, по-сути, это почти доказательство той самой лагранжевской теоремы...

+1

[ShMaxG]

gris в сообщении #236270 писал(а):

просто подпишем в начале каждой части по интегральчику и вперёд

А почему никто не пишет, что навешивание интегралов слева и справа объясняется (Петровский, Понтрягин, Степанов) через понятие решения диффура? Пусть дан диффур:

$\[ a\left( x \right)dx + b\left( y \right)dy = 0 \]$.

Если существует параметрическое решение этого уравнения, задаваемого функциями $\[ x = \varphi \left( t \right),y = \psi \left( t \right),t \in I \]$ то, подставив его в уравнение, получим тождество на промежутке $I$:

$\[ a\left[ {\varphi \left( t \right)} \right]d\varphi \left( t \right) + b\left[ {\psi \left( t \right)} \right]d\psi \left( t \right) \equiv 0 \]$

Таким образом мы приходим к тождеству, содержащему только одну переменную $t$ и можно его интегрировать, из чего следует, что всякое параметрическое решение уравнения удовлетворяет уравнению

$\[ \int {a\left( x \right)dx} + \int {b\left( y \right)dy} = C \]$.

(Взято из В.К.Романко - Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления).

[ewert]

ShMaxG в сообщении #236762 писал(а):

А почему никто не пишет, что навешивание интегралов слева и справа объясняется (Петровский, Понтрягин, Степанов) через понятие решения диффура?

Попробую объяснить, почему. Потому, что прежде навешивания крючков и прочих бантиков -- следует выяснить, действительно ли и почему из равенства нулю производной следует константа. Именно в таком порядке. В противном случае все разглагольствования насчёт дифуров -- лишаются почвы под ногами.