теорема о равенстве функций с одинаковыми дифференциалами

[ewert]

Ну вот ведь только что же доказала.

[мат-ламер]

Извините, возможно в тему будет теорема Ньютона-Лейбница, типа, если взять интеграл от производной, то получим саму функцию. Если неопределённый интеграл, то с точностью до константы.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #235058 писал(а):

возможно в тему будет теорема Ньютона-Лейбница, типа, если взять интеграл от производной, то получим саму функцию.

Не будет. Формула Ньютона-Лейбница относится уже к определённым интегралам. Обсуждаемый же здесь (непонятно зачем) вопрос -- гораздо более ранний: о том, что две первообразные могут различаться лишь на константу. И только после прояснения этого вопроса вводится понятие неопределённого интеграла, а уж определённого -- и ещё гораздо, гораздо позже.

[Henrylee]

Roman80 в сообщении #235053 писал(а):

Вы хотите сказать, что если мы докажем, что из равенства производных вытекает равенство функций, то для равенства дифференциалов это следует автоматически. Спору нет! Но вначале это нужно доказать для производных, а теорема Лагранжа ничего подобного не доказывает.

Ну так Вам же намекают, если производные равны, т.е. их разность равна нулю, то производная разности функций тоже ноль, следовательно...

[мат-ламер]

Если производная функции равна нулю, то должна ли быть сама функция постоянной? А если взять Канторову лестницу? Хотя там, возможно, производная существует не везде (может, почти везде?). Надо будет посмотреть.

-- Пт авг 14, 2009 14:46:17 --

Может ограничиться в рассмотрении только абсолютно непрерывными функциями.

[ewert]

мат-ламер в сообщении #235065 писал(а):

Хотя там, возможно, производная существует не везде (может, почти везде?).

Именно так. Утверждение справедливо лишь для функций, дифференцируемых во всех точках (или в крайнем случае абсолютно непрерывных).

[Roman80]

Henrylee в сообщении #235064 писал(а):

Ну так Вам же намекают, если производные равны, т.е. их разность равна нулю, то производная разности функций тоже ноль, следовательно...

Спасибо за разъяснение! Только одна загвоздка: функции эти разных переменных. Т.е. под общий знак производной не загонишь. f(x)dx=g(y)dy

ewert с досадой заметила, что речь идет о том, что первообразные отличаются на константу. И это доказывалось бы именно так! но я имею в виду не эту теорему.

[ewert]

Roman80 в сообщении #235074 писал(а):

f(x)dx=g(y)dy

Это уже что-то новенькое. Из этого вообще ничего не следует -- за недостатком связей.

Roman80 в сообщении #235074 писал(а):

первообразные отличаются на константу. И это доказывалось бы именно так! но я имею в виду не эту теорему.

А Вы вообще хоть какую-то теорему "имеете в виду"? Очень трудно понять, чего Вам хочется. Поскольку Вы тщательно избегаете точных формулировок.

[Roman80]

f(x)dx=g(y)dy
дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Решается интегрированием обеих частей.
Какую теорему я имею в виду? Ту, которую позволяет это сделать. То есть: "Пусть f(x) есть производная F(x), а g(y) - производная G(y). Пусть при этом f(x)dx=g(y)dy. Тогда F(x)=G(y)+C".

ewert в сообщении #235076 писал(а):

А Вы вообще хоть какую-то теорему "имеете в виду"?

Ewert, я очень благодарен вам за участие, но извините, глядя на ваши колкости, я представляю вас преподом, который любит поиздеваться над студентом и втоптать его в грязь. Ewert, да, я знаю меньше вас, но я не наркоман и не алкоголик. Мне нравится заниматься математикой и хочется разъяснить непонятный для себя момент. Неужели вместо того, чтобы пояснить, надо унижать человека только потому, что он знает меньше?
Почему тогда наше общество осуждает педофилов? Они точно также пользуются своим превосходством, вместо того, чтобы помочь!
Я четко сформулировал вопрос еще в первом посте.

[ewert]

Roman80 в сообщении #235093 писал(а):

, который любит поиздеваться над студентом и втоптать его в грязь.

Я лично -- категорически не люблю издеваться над студентами, иногда даже чересчур не люблю. Хуже того: ежели студент порет какую-то чушь -- я назойливо и вежливо прошу его сформулировать хоть ту же чушь, но более аккуратно. И надо сказать, что подавляющее большинство студентов на это поддаются, и формулируют-таки, и мы приходим-таки к консенсусу (ну к тому или иному, разумеется). Но бывают и исключения. К примеру:

Roman80 в сообщении #235093 писал(а):

Я четко сформулировал вопрос еще в первом посте.

Это утверждение -- неверно, а Вы так до сих пор этого и не заметили. Нехорошо.

[Circiter]

2Roman80

Цитата:

Только одна загвоздка: функции эти разных переменных. Т.е. под общий знак производной не загонишь. f(x)dx=g(y)dy

Кажется, именно такая формулировка есть нонсенс, ибо не удовлетворяет определению понятия "равенство функций" (правда проканывает если $f=const$, $g=const$). К тому же, возможно, вы ошиблись, ведь $f(x)dx$ -- не дифференциал $f(x)$.

Так, что попробую порассуждать о формулировке, которую подразумевали другие участники с самого начала дискуссии, i.e. над формулировкой:

Цитата:

Как доказать, что если равны дифференциалы функций, то равны и функции (с точностью до константы)?

По-моему сама теорема Лагранжа здесь плоха тем, что на одном и том же интервале, точка, удовлетворяющая теореме, не единственна (?), и, поэтому, необходимо специально оговаривать выбор одной и той же точки для проверки равенства производных в ней.

Можно пояснить связь между равенством функций, равенством их дифференциалов и обобщением теоремы Лагранжа -- теоремой Коши о среднем значении -- примерно так.

Пусть $\varphi(x),\ \psi(x)\in\mathcal{C}^0$ -- исходные непрерывные (вроде-бы необязательно гладкие) функции. Если $d\varphi(x)=d\psi(x)$, то $\varphi'(x)dx=\psi'(x)dx$, и, следовательно, $\varphi'(x)=\psi'(x)$. Нужно доказать, что в этом случае $\varphi(x)=\psi(x)$.

Можно произвольно выбрать ненулевой отрезок $[a,\ y]$, и на нём, по теореме Коши, будет выполняться равенство

$$\frac{\varphi(y)-\varphi(a)}{\psi(y)-\psi(a)}=\frac{\varphi'(\xi)}{\psi'(\xi)},$$

где $\xi\in]a,\ y[$.

Так как $\varphi'(\xi)/\psi'(\xi)=1$, то, следовательно, $\varphi(y)-\varphi(a)=\psi(y)-\psi(a)\ \Leftrightarrow\ \varphi(y)=\psi(y)+\varphi(a)-\psi(a)$. Если считать $y$ переменной, а $C=\varphi(a)-\psi(a)=const$, то получается $\varphi(y)=\psi(y)+C$, q.e.d.

Думаю, такой подход немного более нагляден...

[AD]

Circiter в сообщении #235765 писал(а):

По-моему сама теорема Лагранжа здесь плоха тем, что на одном и том же интервале, точка, удовлетворяющая теореме, не единственна

Ну и что? Как только мы видим, что они существует, то приходим к противоречию немедленно. Выбирать ничего не надо даже.

-- Пн авг 17, 2009 10:07:25 --

Circiter в сообщении #235765 писал(а):

где $\xi\in]a,\ y[$.

Ну и тут она тоже не единственна ведь? Тогда в чем счастье?

[Circiter]

2AD

Цитата:

Ну и что? Как только мы видим, что они существует, то приходим к противоречию немедленно. Выбирать ничего не надо даже.

Но ведь теорема Лагранжа утверждает, что на подходящем отрезке, подходящая функция имеет ноль производной как минимум в одной точке. Тоже верно для второй сравниваемой функции. А равенство функций следует из приравнивания $(\varphi(b)-\varphi(a))/(b-a)=\varphi'(\gamma), \gamma\in]a,b[$ и $(\psi(b)-\psi(a))/(b-a)=\psi'(\lambda), \lambda\in]a,b[$ только когда $\gamma=\lambda$. Но выбор этих точек не единственен для двух функций (по теореме Вейерштрасса на рассматриваемом промежутке может быть несколько экстремумов) и нужно в этих двух наборах найти пару равных точек (да, пара первых попавшихся, наименьших точек, уже подходяща, но это очевидно если только a priori предположить равенство функций, а мы это как раз и доказываем).

P.S.: Я просто попробовал предложить альтернативный вариант доказательства.

-- Пн авг 17, 2009 12:23:28 --

Цитата:

Ну и тут она тоже не единственна ведь? Тогда в чем счастье?

Да, но в формуле Коши берется отношение производных уже в одной и той же точке (любой из подходящих). Символизм этой формулы облегчает понимание доказательства.

[AD]

Не-не-не, Вы ничего не поняли. Теорема Лагранжа применяется всего один раз, к функции $\varphi-\psi$, и находит точку, в которой производная НЕ ноль, что и требовалось.

[Circiter]

А, $\varphi(b)-\psi(b)-\varphi(a)+\psi(a)=(\varphi'(c)-\psi'(c))(b-a), c\in]a,b[$??? Тогда понятно, я запутался.

Только вот, почему:

Цитата:

...производная НЕ ноль...

Они же равны (производные), разность ЕСТЬ ноль!