Полное решение континуум-проблемы

[Инт]

Someone в сообщении #235875 писал(а):

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Сведём задачу, поставленную Someone к задаче, поставленной в условиях теоремы 7 (см. post220877.html#p220877), когда множество линий $m_{\mu}$ счётно. В самом деле, берём на линии $m$ произвольное множество точек $M_{\mu}$, где $\mu \in \mathbb{N}$ и, когда $\mu \to \omega_0$, то $\lim_{\mu}M_{\mu} = M$, где $M$ - конец линии $m$ на дуге $C$. Пусть, линия $m’_{\mu}$ заканчивается в точке $M_{\mu}$, а начинается в точке $O$. Тогда, некоторой непрерывной биекцией плоскости на себя, отобразим линию $m$ на дугу $\subset C$. В то время как дуга $YM$ пусть при отображении остаётся на месте. Пусть линии $l'_{\nu}$, где $\nu$ пробегает множество всех конечных и счётных ординалов, отображаются на линии $l_{\nu}$. Пусть поставлено условие: $l'_{\nu} -< m$. Пусть, $m’_{\mu}$ отображаются на линии $m_{\mu}$. Отображение плоскости сводится по сути к распрямлению угла между дугой $C$ и линией $m$. Тогда, без ограничения общности, можно считать, что оказывается $l_{\nu} -< m_{\mu}$. Если существует линия $k'$ такая, что $l’_{\nu} -< k’ -< m$, то при «распрямлении угла» эта линия перейдёт в линию $k$ такую, что $l_{\nu} -< k -< m_{\mu}$.

Вы не видите никаких проблем в этом месте? По меньшей мере одна проблема есть: линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, вообще говоря, нельзя задать уравнениями вида $\varphi=f(r)$. Проблема не исчезнет и после того, как Вы подправите условия, наложенные на гомеоморфизм, чтобы он оставлял точку $O$ на месте, а линию $m$ отображал на объединение дуги $MX$ и отрезка $OX$. А линии, которые нельзя задать уравнением вида $\varphi=f(r)$, никак не "лезут" в Ваши "аксиомы" и "теоремы". Разумеется, линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, можно заменить эквивалентными им линиями $l''_{\nu}$, но совсем не очевидно, что можно подобрать такие линии, которые можно задать уравнениями требуемого вида.

То, что «распрямление угла» затрагивает всю плоскость никак не мешает. Пусть «распрямление» уже проведено. Рассматриваем худший случай, когда все линии $l_{\nu}$ заканчиваются в точке $M$. Вообще говоря, линия $l_{\nu}$ может не быть представленной как функция от аргумета $r$. Тогда, проводим деформацию $G_{\nu}$, непрерывную уже только для внутренности сектора, зависящую от $\nu$, когда: (а) каждая из дуг $r = const$ отображается на себя; (б) каждая линия $G_{\nu}m_{\mu}$ заканчивается в точке, расположенной правее точки $M$ и правее точки, в которой заканчивается линия $G_{\nu}m_{\mu+1}$, концы линий $G_{\nu}m_{\mu}$ стремятся к точке $M$ вдоль дуги; (в) линия $G_{\nu}l_{\nu}$ заканчивается в точке $L_{\nu}$, расположенной на дуге $C$ левее точки $M$; (г) каждая линия $G_{\nu}l_{\nu'}$, при $\nu’ > \nu$, заканчивается в $M$, в частности в $M$ заканчивается линия $G_{\nu}l_{\nu +1}$. Существует линия $g’_{\nu}$ такая, которая представлена функцией от аргумента $r$, т.е. линия входит в множество $HC$, и заканчивается в точке $L_{\nu}$ так, что для всех достаточно больших $r < 1$ каждая точка пересечения линии $G_{\nu}l_{\nu}$ с дугой $r = const$ расположена левее линии $g’_{\nu}$. Вернём деформацией $G_{\nu}^{-1}$ сектор в исходное состояние. Тогда, линия $g_{\nu} = G_{\nu}^{-1}g’_{\nu} \in HC$, так как дуги $r = const$ переходят вновь на себя. Прямо отсюда получаем, что $g_{\nu}$ -< $g_{\nu'}$ при $\nu < \nu'$, так как все достаточно близкие к дуге $C$ точки линии $G_{\nu}l_{\nu’}$ будут располагаться правее линии $g’_{\nu}$. Линии $m_{\mu}$, в силу счётности их множества, всегда можно заменить на линии множества $HC$ следующим образом: Во-первых, ещё до проведения деформаций $G_{\nu}$, можно установить их такое положение, когда, по крайней мере, отрезки линий, примыкающие к дуге $C$, будут представлять из себя функции от аргумента $r$. Соединяя конец такого отрезка, расположенный во внутренности сектора с точкой $O$ прямым отрезком получаем линию $m^*_{\mu} \in HC$. Тогда же, $g_{\nu}$ -< $m^*_{\mu}$ при всех $\nu$ и $\mu$.

Пусть мы находим линию $k^*$ такую, что $g_{\nu}$ -< $k^*$ -< $m^*_{\mu}$. Тогда, возвращая плоскость из состояния «развёрнутого угла», получаем линию $k$ такую, все точки которой при достаточной близости к дуге $C$ расположены левее линии $m$ и правее каждой линии $l'_{\nu}$. Получить из линии $k$ требуемую линию множества $HC$ уже не представляет труда.

-- Вт авг 18, 2009 17:07:05 --

Детализация построения линий $l'_{\nu} -< m$ не является примером строгости, так как строгость нужна была в установлении самого факта $l'_{\nu} -< m$, который вытекает из свойств I и II. Конкретизация трансфинитной последовательности уже не важна. Это уже тривиальная рутинная работа. Если я буду расписывать, подобно Вам, с такими совершенно излишними подробностями свои рассуждения, то за ними не будет видно никакой целостности, и текст увеличится в раз десять. Строгое доказательство линии k указано (оно, ещё раз напоминаю, указано в моём сообщении http://dxdy.ru/post220877.html#p220877). Ничего конкретного против этого доказательства, кроме предположений, не предъявлено.

Теперь, что касается параметра $t$. Ничего особенного за этим параметром не стоит. Повторяю: в доказательстве целесообразно рассматривать некоторый один подвижный сектор, в котором "всё и происходит", т.е. в котором рассматривается движение линий. Параметр $t$, действительно, не нужен и не используется при определении деформаций $\Omega_{\nu}$. Но он нужен когда мы спускаемся к сектору $D$. Поскольку, он назван "временем", то может течь только вперёд. В некотором смысле он характеризует "шаги доказательства". В качестве функции $h(t)$ можно взять любую непрерывную функцию, стремящуюся к нулю когда $t \to 1$. В частности, можно считать, что первая производная по времени от $h(t)$ стремится так же к нулю, когда $t \to 1$.

[Someone]

Someone в сообщении #235875 писал(а):

Вам придётся начать с того, чтобы явно указать требуемый гомеоморфизм, поскольку его существование не очевидно, и явно доказать его свойства. Так, как это делал я при построении семейства линий $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$.

Значит, либо Вы явно строите гомеоморфизм, сохраняющий возможность записи уравнений всех линий $l'_{\nu}$ (или эквивалентных им линий $l''_{\nu}$), $\nu<\omega_1$, в виде $\varphi=f(r)$, либо решаете задачу в первоначальной формулировке. После этого будем обсуждать дальше. Сразу всё, что Вы понаписали, я обсуждать не буду, поскольку оно ничем не лучше того, что можно найти в Вашем исходном тексте. а свободного времени у меня на это не хватит.

Я напоминаю, что рассматривается конкретные семейства линий А и Б, определённые в моём сообщении http://dxdy.ru/post235097.html#p235097. Пожалуйста, имейте в виду именно их.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

То, что «распрямление угла» затрагивает всю плоскость никак не мешает.

Может быть, и не мешает, но заведомо не помогает. Поэтому лучше ничего лишнего в построение не впутывать.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Пусть «распрямление» уже проведено.

То есть, Вы хотите показать, что указанная проблема роли не играет. Поскольку существование требуемого гомеоморфизма половины сектора на весь сектор общеизвестно, будем считать, что это любой гомеомерфизм (обозначим его $G$), который отображает линию $m$ в объединение дуги $MX$ и отрезка $OX$.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Рассматриваем худший случай, когда все линии $l_{\nu}$ заканчиваются в точке $M$.

По условию, они именно так и заканчиваются, как и линия $m$.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Вообще говоря, линия $l_{\nu}$ может не быть представленной как функция от аргумета $r$.

Стоп. Линии $l_{\nu}$ по условию заданы уравнениями $\varphi=f_{\nu}(r)$. О чём Вы говорите? Соблюдайте, пожалуйста, обозначения. Если речь идёт об их образах, то есть, о линиях $l'_{\nu}=Gl_{\nu}$, то так их и обозначайте - со штрихом.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Тогда, проводим деформацию $G_{\nu}$, непрерывную уже только для внутренности сектора, зависящую от $\nu$, когда: (а) каждая из дуг $r = const$ отображается на себя; (б) каждая линия $G_{\nu}m_{\mu}$ заканчивается в точке, расположенной правее точки $M$ и правее точки, в которой заканчивается линия $G_{\nu}m_{\mu+1}$, концы линий $G_{\nu}m_{\mu}$ стремятся к точке $M$ вдоль дуги; (в) линия $G_{\nu}l_{\nu}$ заканчивается в точке $L_{\nu}$, расположенной на дуге $C$ левее точки $M$; (г) каждая линия $G_{\nu}l_{\nu'}$, при $\nu’ > \nu$, заканчивается в $M$, в частности в $M$ заканчивается линия $G_{\nu}l_{\nu +1}$.

Исправьте обозначения.
Почему такая "деформация" существует? Предъявите её. Для первоначального семейства $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, мне было понятно, как её построить. Для $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, - непонятно. Это семейство не является упорядоченным Вашим отношением "$-<$".

[Инт]

Действительно, некоторая коллизия в обозначениях.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Пусть поставлено условие: $l'_{\nu} -< m$.

Т.е. построенные Вами линии обозначаются в моём пояснении, конечно, как $l'_{\nu}$. А $l_{\nu}$ это линии, в которые перешли $l'_{\nu}$ при "распрямлении угла". $l'_{\nu}$ по условию задаются функциями $f_{\nu}(r) = \varphi$.

Someone в сообщении #236153 писал(а):

Я напоминаю, что рассматривается конкретные семейства линий А и Б, определённые в моём сообщении http://dxdy.ru/post235097.html#p235097. Пожалуйста, имейте в виду именно их.

Совершенно не важно, как выстраивались линии $l'_{\nu}$. Как бы ни были построены линии, по указанному мною правилу строится линия $k$.

Someone в сообщении #236153 писал(а):

Почему такая "деформация" существует? Предъявите её. Для первоначального семейства $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, мне было понятно, как её построить. Для $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, - непонятно. Это семейство не является упорядоченным Вашим отношением "$-<$".

Вот деформация $G_{\nu}$ и предъявляется через перечисленные свойства. Пользуясь тем, что множество линий, состоящее из всех линий $m_{\mu}$ и одной линии $l_{\nu}$ счётно, разводим концы указанных линий как надо, т.е. в соответствии с условиями (а)-(г) разводим, перемещаем линии одну за другой. Если $l$ линия, то $G_{\nu}l$ есть линия, в которую перешла $l$ при отображении $G_{\nu}$.

[Someone]

Инт в сообщении #236162 писал(а):

Действительно, некоторая коллизия в обозначениях.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Пусть поставлено условие: $l'_{\nu} -< m$.

Т.е. построенные Вами линии обозначаются в моём пояснении, конечно, как $l'_{\nu}$. А $l_{\nu}$ это линии, в которые перешли $l'_{\nu}$ при "распрямлении угла". $l'_{\nu}$ по условию задаются функциями $f_{\nu}(r) = \varphi$.

Поскольку моё сообщение (post235097.html#p235097) с формулировкой задачи является более ранним, естественно было бы сохранить первоначальные обозначения: $l_{\nu}$ - исходные линии, $l'_{\nu}$ - то, во что они превратились в результате гомеоморфизма $G$.

Инт в сообщении #236162 писал(а):

Someone в сообщении #236153 писал(а):

Я напоминаю, что рассматривается конкретные семейства линий А и Б, определённые в моём сообщении http://dxdy.ru/post235097.html#p235097. Пожалуйста, имейте в виду именно их.

Совершенно не важно, как выстраивались линии $l'_{\nu}$. Как бы ни были построены линии, по указанному мною правилу строится линия $k$.

Вообще говоря, важно. В любой момент я могу вспомнить, какие именно линии я указал, если мне это зачем-то понадобится. А Вам почему-то хочется заменить мои линии другими.

Инт в сообщении #236162 писал(а):

Пользуясь тем, что множество линий, состоящее из всех линий $m_{\mu}$ и одной линии $l_{\nu}$ счётно, разводим концы указанных линий как надо, т.е. в соответствии с условиями (а)-(г) разводим, перемещаем линии одну за другой. Если $l$ линия, то $G_{\nu}l$ есть линия, в которую перешла $l$ при отображении $G_{\nu}$.

Вы что-то путаете.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Тогда, проводим деформацию $G_{\nu}$, непрерывную уже только для внутренности сектора, зависящую от $\nu$, когда: (а) каждая из дуг $r = const$ отображается на себя; (б) каждая линия $G_{\nu}m_{\mu}$ заканчивается в точке, расположенной правее точки $M$ и правее точки, в которой заканчивается линия $G_{\nu}m_{\mu+1}$, концы линий $G_{\nu}m_{\mu}$ стремятся к точке $M$ вдоль дуги; (в) линия $G_{\nu}l_{\nu}$ заканчивается в точке $L_{\nu}$, расположенной на дуге $C$ левее точки $M$; (г) каждая линия $G_{\nu}l_{\nu'}$, при $\nu’ > \nu$, заканчивается в $M$, в частности в $M$ заканчивается линия $G_{\nu}l_{\nu +1}$.

Инт в сообщении #236162 писал(а):

Вот деформация $G_{\nu}$ и предъявляется через перечисленные свойства.

Вы говорите глупость. Свойства можно придумать какие угодно. Почему объект с этими свойствами существует? Пока не предъявите, дальше двигаться нельзя.

Посмотрите ещё раз внимательно моё построение и найдите в нём что-нибудь, "предъявленное через перечисление свойств".

Someone в сообщении #235097 писал(а):

Я даже построю семейство А, чтобы показать, как должно выглядеть Ваше изложение. Как я понял из Вашего текста и рисунков, Вы отсчитываете угол $\varphi$ от оси $OY$. Так и будем отсчитывать.

Для построения мне понадобятся вспомогательные непрерывные функции $h_k(r)$, $k\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$, $0\leqslant r<1$, которые я определю так:

$$h_1(r)=\begin{cases}1-2r\text{ при }0\leqslant r\leqslant\frac 12\text{,}\\ 0\text{ при }\frac 12<r<1\text{,}\end{cases}$$

а при $k>1$

$$h_k(r)=\begin{cases}0\text{ при }0\leqslant r\leqslant 1-\frac 1{k-1}\text{,}\\ k(k-1)\left(r-\left(1-\frac 1{k-1}\right)\right)\text{ при }1-\frac 1{k-1}<r\leqslant 1-\frac 1k\text{,}\\ k(k+1)\left(\left(1-\frac 1{k+1}\right)-r\right)\text{ при }1-\frac 1k<r\leqslant 1-\frac 1{k+1}\text{,}\\ 0\text{ при }1-\frac 1{k+1}<r<1\text{.}\end{cases}$$

Заметим, что на каждом отрезке $\left[1-\frac 1k,1-\frac 1{k+1}\right]$ в точности две из этих функций отличны от $0$, а именно, $h_k(r)$ и $h_{k+1}(r)$, причём, их сумма на этом отрезке равна $1$. Поэтому, в частности, ряд $\sum\limits_{k=1}^{\infty}h_k(r)$ сходится на полуинтервале $[0,1)$, и его сумма равна $1$.
Кроме того, каждая точка $r\in[0,1)$ имеет окрестность, в которой отличны от $0$ не более трёх из этих функций (для точки $0$ годится полуинтервал $\left[0,\frac 12\right)$; если точка принадлежит интервалу $\left(1-\frac 1k,1-\frac 1{k+1}\right)$, то годится сам этот интервал; если точка совпадает с $1-\frac 1k$ при $k\in\mathbb N$, $k>1$, то годится $\left(1-\frac 1{k-1},1+\frac 1{k+1}\right)$).

Теперь надо построить семейство А, указанное в приведённой выше цитате из моего сообщения. Для этого, разумеется, достаточно указать непрерывные функции $f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\omega_1$. Используем построение по индукции по всем ординалам, меньшим $\omega_1$.

Предположим, что для некоторого ординала $\gamma<\omega_1$ уже построены непрерывные функции $f_{\alpha}(r)$, $\alpha<\gamma$, удовлетворяющие следующим условиям:
а) для всех $\alpha<\gamma}$ выполняются неравенства $0\leqslant f_{\alpha}(r)<\frac{\pi}4$ при $0\leqslant r<1$, и существует $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha}(r)=\frac{\pi}4$;
б) если $\alpha<\beta<\gamma$, то найдётся такое число $\varepsilon>0$, что при всех $r\in(1-\varepsilon,1)$ выполняется неравенство $f_{\alpha}(r)<f_{\beta}(r)$.
(Для $\gamma=0$ множество функций будет пустым.)
Построим $f_{\gamma}(r)$. Рассмотрим три случая.

1) Для $\gamma=0$ положим $f_0(r)=\frac{\pi r}4$. Заметим, что эта функция непрерывна и $0\leqslant f_0(r)<\frac{\pi}4$ при $0\leqslant r<1$, и $\lim\limits_{r\to 1^-}f_0(r)=\frac{\pi}4$, то есть, условие а) выполняется, а условие б) тривиально.

2) Ординал $\gamma$ - не предельный, то есть, существует такой ординал $\beta$, что $\gamma=\beta+1$. Тогда положим $f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+f_{\beta}(r)\right)$. Эта функция непрерывна, так как по предположению индукции $f_{\beta}(r)$ непрерывна.
Условие а) выполняется:
так как при $0\leqslant r<1$ по предположению индукции $0\leqslant f_{\beta}(r)<\frac{\pi}4$, то $0<\frac{\pi}8=\frac 12\left(\frac{\pi}4+0\right)\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4)=\frac{\pi}4$, то есть, $0\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$;
так как $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\beta}(r)=\frac{\pi}4$, то $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4\right)=\frac{\pi}4$.
Условие б) выполняется:
так как при $0\leqslant r<1$ выполняется неравенство $f_{\beta}(r)<\frac{\pi}4$, то $f_{\beta}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+f_{\beta}(r)\right)=f_{\gamma}(r)$;
если задан ординал $\alpha<\beta$, то по предположению индукции найдётся такое число $\varepsilon>0$, что при всех $r\in(1-\varepsilon,1)$ выполняется неравенство $f_{\alpha}(r)<f_{\beta}(r)$. Тогда для этого $\varepsilon$ и $r\in(1-\varepsilon,1)$ получим $f_{\alpha}(r)<f_{\beta}(r)<f_{\gamma}(r)$.

3) Ординал $\gamma>0$ - предельный. Перенумеруем все ординалы, меньшие $\gamma$, натуральными числами. Таким образом, все ординалы, меньшие $\gamma$, перечислены в виде последовательности $\{\alpha_k:k\in\mathbb N\}$. Для каждого $n\in\mathbb N$ и $0\leqslant r<1$ положим $g_n(r)=\max\{f_{\alpha_k}}(r):1\leqslant k\leqslant n\}$. Сразу заметим, что эти функции непрерывны на $[0,1)$, и при $1\leqslant k\leqslant n$ выполняются неравенства $f_{\alpha_k}(r)\leqslant g_n(r)\leqslant g_{n+1}(r)<\frac{\pi}4$.
Определим функцию $\hat g_{\gamma}(r)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}g_n(r)h_n(r)$. Эта функция непрерывна на $[0,1)$, так как члены этого ряда непрерывны, и для каждой точки рассматриваемого полуинтервала существует окрестность, в которой отличны от $0$ не более трёх членов ряда. Заметим, что при $1\leqslant k\leqslant n$ на отрезке $\left[1-\frac 1n,1-\frac 1{n+1}\right]$ выполняются неравенства

\begin{multline*}0\leqslant f_{\alpha_k}(r)\leqslant g_n(r)=h_n(r)g_n(r)+h_{n+1}(r)g_n(r)\leqslant h_n(r)g_n(r)+h_{n+1}(r)g_{n+1}(r)=\\ =\hat g_{\gamma}(r)\leqslant h_n(r)g_{n+1}(r)+h_{n+1}(r)g_{n+1}(r)=g_{n+1}(r)<\frac{\pi}4\text{,}\end{multline*}

то есть, $f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$. Поскольку $n\geqslant k$ можно взять произвольным, неравенство $f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$ выполняется при всех $r\in\left(1-\frac 1k,1\right)$.
Наконец, положим $f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+\hat g_{\gamma}(r)\right)$. Эта функция непрерывна. Проверим, что выполняются условия а) и б).
Условие а):
так как при $0\leqslant r<1$ имеем $0\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$, то $0<\frac{\pi}8=\frac 12\left(\frac{\pi}4+0\right)\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4)=\frac{\pi}4$, то есть, $0\leqslant f_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$;
так как $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\alpha_1}(r)=\frac{\pi}4$ и $f_{\alpha_1}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$ при $r\in[0,1)$, то, по теореме о двух милиционерах, $\lim\limits_{r\to 1^-}\hat g_{\alpha_1}(r)=\frac{\pi}4$, откуда $\lim\limits_{r\to 1^-}f_{\gamma}(r)=\frac 12\left(\frac{\pi}4+\frac{\pi}4\right)=\frac{\pi}4$.
Условие б):
пусть $\alpha<\gamma$; существует такое $k\in\mathbb N$, что $\alpha=\alpha_k$. Тогда при $r\in\left(1-\frac 1k,1\right)$ из неравенства $f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac{\pi}4$ получаем $f_{\alpha}(r)=f_{\alpha_k}(r)\leqslant\hat g_{\gamma}(r)<\frac 12\left(\frac{\pi}4+\hat g_{\gamma}(r)\right)=f_{\gamma}(r)$, то есть, $f_{\alpha}(r)<f_{\gamma}(r)$ при $1-\frac 1k<r<1$.

Таким образом, требуемая функция $f_{\gamma}(r)$ построена, и можно продолжать построение дальше.
Требуемое семейство А, таким образом, построено.

Теперь Ваша задача состоит в том, чтобы построить линию $k$, разделяющую семейства А и Б. Построение должно быть в таком стиле, как я продемонстрировал: никаких неопределённых элементов и недоказанных свойств быть не должно.

[Инт]

Someone в сообщении #236214 писал(а):

Инт в сообщении #236162 писал(а):

Someone в сообщении #236153 писал(а):

Я напоминаю, что рассматривается конкретные семейства линий А и Б, определённые в моём сообщении http://dxdy.ru/post235097.html#p235097. Пожалуйста, имейте в виду именно их.

Совершенно не важно, как выстраивались линии $l'_{\nu}$. Как бы ни были построены линии, по указанному мною правилу строится линия $k$.

Вообще говоря, важно. В любой момент я могу вспомнить, какие именно линии я указал, если мне это зачем-то понадобится. А Вам почему-то хочется заменить мои линии другими.

Докажем, что так называемых "конкретных линий" Вы не предъявили. В самом деле:

Someone в сообщении #235097 писал(а):

...Перенумеруем все ординалы, меньшие $\gamma$, натуральными числами. Таким образом, все ординалы, меньшие $\gamma$, перечислены в виде последовательности $\{\alpha_k:k\in\mathbb N\}$...

А это означает, что трансфинитную последовательность Вы выстаиваете в общем виде, например, никак не конкретизируя способ пересчёта (то, что AGu называет "доказать существование можно, а предъявить конкретно нельзя"). Таким образом, Ваше построение ничем не лучше моего доказательства свойств I и II. Из которых прямо вытекает, что такого рода последовательности существуют. При том, что мои доказательства, смею утверждать, яснее и короче. Поэтому то я и говорю, что мне совершенно не важно как строилась трансфинитная последовательность линий. Как только мне предъявят какую угодно такую трансфинитную последовательность, так сразу укажу способ построения по ней линии $k$.

Теперь о Вашем требовании доказать существование деформаций. Если я буду в подробностях расписывать все детали, например, сводя доказательство к аксиомам теории множеств, то думаю как раз тогда мои доказательства и не будут поняты. Кроме того, они, только по одному этому факту займут страниц десять (и думаю, если Вы предпримете их по подобной схеме, то и у Вас получится такой же объём). Причём уточнений можно будет требовать до бесконечности. Поэтому ещё раз поясняю: Отводим линию $l_{\nu}$ (построение которой может иметь только общий характер, подобно тому как, такой характер построения предъявлен Вами, т.е. линию, полученную из $l'_{\nu}$ раскрытием угла) от точки $M$, смещая точки линии вдоль дуг $r = const$, в положение, когда отведённая линия будет заканчиваться в точке $L_{\nu} \neq M$, левее точки $M$, т.е. считаем $L_{\nu} < M$ на дуге $C$. Линии $m^{*}_{\mu}$ оставляем при этом отводе-деформации (заодно растягивающем сектор непрерывно) в таких положениях, пользуясь их счётностью, чтобы они заканчивались в точках $M^{*}_{\mu} > M^{*}_{\mu+1} > M > L_{\nu}$. Если сразу задать $\lim M^{*}_{\mu} = M$, и конец линии $l_{\nu+1}$ оставить в $M$, то остальные линии трансфинитной последовательности линий автоматически окажутся заканчивающимися в $M$. Можно, для удобства понимания, заменить разводимые линии эквивалентными, полностью расположенными одна левее другой. Именно такими моими общими условиями и предъявляется деформация, если хотите. Она не может иметь слишком конкретных параметров, так как и сами линии, в частности Вами, предъявлены в общем виде.

[Инт]

Замечу ещё, насколько я понял, Вы Someone уже проверили, что возможна трансформация разводящая несчётное множество линий $HQ$. Но тем более, возможна аналогичная деформация $G_{\nu}$, т.е. классическое отображение, разводящая счётное количество линий.

[rishelie]

Инт, а можно вехи ваших рассуждений перенумеровать, поставив четко решенную задачу в каждой из них?
Например, так:
1. Определили $C_1$ как множество бинарных последовательностей длины $\aleph_1$ (приравнивая последовательности с хвостами нулей и единиц). Ввели на нем упорядочение, показали, что оно линейное.
2. Показали, что $C_1$ с введенным порядком $\aleph_1$-насыщенное (иначе говоря, счетно насыщенное).
3. Отметили, что мощность $C_1$ равна $2^{\aleph_1}$.
4. Выделили в $C_1$ подмножество $B$ как последовательности с хвостами нулей или единиц.
5. Отметили, что мощность $B$ равна континууму.
6. Множество $B$ с индуцированным из $C_1$ порядком является ли счетно насыщенным? Не уверен. Хотя...
7. Определили $HC$ как множество непрерывных линий в секторе $D$.
8. Ввели частичное упорядочение на нем, показали его свойства (транзитивность, антирефлексивность).
9. Отметили, что мощность $HC$ - континуум.
10. Теперь вот появляется Утверждение 2 о выделении в ч.у. множестве цепи, изоморфной $B$. Как строится эта цепь? Не по лемме Цорна?
11. Выделили в $HC$ некое $HQ$, порядково изоморфное $B$, по Утверждению 2.
12. Про деформации не понимаю. Да, можно взять некую счетную монотонную последовательность и "развести" ее концы в разные точки на дуге $C$. Но при этом не получится ли так, что другие линии, ранее имевшие разные пределы, теперь будут сходиться в одну точку? Мы же не можем для каждой счетной последовательности применять свою деформацию. К тому же, речь идет о выделении $HQ$ в исходом (недеформированном множестве)!
13. Далее объясняется что-то вроде того, что можно неким преобразованием $D$ обосновать взаимно однозначное соответствие между $HC$ и $C_1$. Мало того, точки в аксиоме 2 берутся действительные (точка $K$ с дуги $C$, а не бинарные последовательности из $C_1$). По сути заявляется эквивалентность гипердействительных чисел, построенных через ультрафильтр, и бинарных последовательностей из $C_1$.
14. Аксиома 4 говорит о том, что $HC$ является $\aleph_2$-насыщенным, что означает порядковую вложимость в него ординалов мощности $\aleph_2$ (http://dxdy.ru/topic24394-15.html), если только в $HC$ есть цепь длины не менее $\aleph_2$.
15. В случае континуум-гипотезы ординалы мощности $\aleph_2$ вложить в $HC$ не удастся, т.к. в этом случае $|HC|=\aleph_1$. Поэтому Аксиома 4 влечет вложимость в $HC$ ординалов мощности $\aleph_1$ и то, что $HC$ - $\aleph_1$-насыщенное.
16. В случае континуум-гипотезы $\aleph_1$-насыщенное (см. п.6) континуальное множество $B$ порядково изоморфно цепи мощности $\aleph_1$ в $HC$. Это следует из теоремы Хаусдорфа (см. посты AGu). Но если даже $B$ не счетно насыщенное, то оно вкладывается в счетно насыщенную цепь мощности $\aleph_1$ в $HC$. Это и обосновывает Утверждение 2, но только в случае принятия континуум-гипотезы.
17. Логика сюжета-то какова? К чему все это?

[Someone]

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Докажем, что так называемых "конкретных линий" Вы не предъявили.

Не тратьте своё и моё время на вздор. Разумеется, они "конкретные", как говорил академик П.С.Александров, "в некотором пиквикском смысле". В построении упрятано использование аксиомы выбора, и начать его следовало бы так: для предельных ординалов $\alpha$, $0<\alpha<\omega_1$, обозначим $N_{\alpha}$ множество всех взаимно однозначных отображений натурального ряда $\mathbb N$ на ординал $\alpha$; множество $N_{\alpha}$ непусто для каждого указанного $\alpha$, поэтому существует функция выбора $\phi$ на семействе $\{N_{\alpha}:0<\alpha<\omega_1,\alpha\text{ - предельный ординал}\}$. Затем в процессе построения нужно использовать нумерации, определяемые этой функцией выбора. Вся "неконкретность" сидит именно в этой функции выбора. Для потери конкретности достаточно просто написать "возьмём любую точку $x_0\in[0,1)$" и использовать затем её в построении. Что касается линий $l'_{\alpha}$, $\alpha<\omega_1$, полученных из $l_{\alpha}$ с помощью почти произвольного гомеоморфизма половины сектора на весь сектор, то в них "конкретности" ещё меньше.

Тем не менее, я не ограничился указанием свойств, которыми должно обладать семейство $\{l_{\alpha}:\alpha<\omega_1\}$, а построил его с соблюдением стандартов, принятых в математике, доказав тем самым существование семейства с этими свойствами.

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Таким образом, Ваше построение ничем не лучше моего доказательства свойств I и II. Из которых прямо вытекает, что такого рода последовательности существуют. При том, что мои доказательства, смею утверждать, яснее и короче.

У Вас вообще нет доказательства свойств I и II. Или Вы считаете доказательством вот этот текст?

Инт писал(а):

Возьмем, дальше, счётное количество линий $l_{\lambda}$ и $m_{\mu}$, где каждый из индексов $\lambda$ и $\mu$ пробегает все натуральные числа, а $L_{\lambda}$ и $M_{\mu}$ являются концами этих линий соответственно, совпадающими в одной точке $E$ на дуге $C$. Пусть, при этом, $l_{\lambda}-<l_{\lambda+1}-<m_{\mu+1}-<m_{\mu}$. Тогда, осуществима каноническая деформация области $D$ на себя (при которой разные точки переходят в разные), вдоль окружностей $r=const<1$, в результате которой, при любых натуральных $\lambda$ и $mu$, концы линий будут разведены между собой, так что окажется:

$$L_{\lambda}<L_{\lambda+1}<M_{\mu+1}<M_{\mu}\text{,}$$

$$\mathop{\text{деф}}l_{\lambda}-<\mathop{\text{деф}}l_{\lambda+1}-<\mathop{\text{деф}}m_{\mu+1}-<\mathop{\text{деф}}m_{\mu}\text{.}$$

В самом деле, для осуществления деформации, разводящей концы счётного количества линий, воспользуемся сходящейся омега-нуль-последовательностью канонических деформаций, осуществляющих разведение концов только двух линий.

При последнем деформированном состоянии области $D$, пусть $K$ - точка дуги $C$, которая лежит между точечными множествами $\{L_{\lambda}\}$ и $\{M_{\mu}\}$, т.е. $L_{\lambda}<K<M_{\mu}$ при любых $\lambda$ и $\mu$. Тогда, можно провести линию $k\in HC$, конец которой будет совпадать с точкой $K$ (рис. 1). Это будет означать, что при любых $\lambda$ и $\mu$ $\mathop{\text{деф}}l_{\lambda}-<k-<\mathop{\text{деф}}m_{\mu}$.

Здесь
1) не доказано существование деформаций, "разводящих" концы двух линий;
2) не доказано существование предела последовательности деформаций (на самом деле он может не существовать, если при построении деформаций не принять специальных мер) и не доказано, что этот предел, если он существует, является деформацией;
3) не доказано существование линии $k$, оканчивающейся в точке $K$.

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Поэтому то я и говорю, что мне совершенно не важно как строилась трансфинитная последовательность линий. Как только мне предъявят какую угодно такую трансфинитную последовательность, так сразу укажу способ построения по ней линии $k$.

Ну, я надеюсь, что моё семейство линий является достаточно общим в этом смысле. Так что Вам придётся строить линию $k$ именно для общего семейства. Однако моё семейство обладает некоторыми особенностями, которыми может не обладать произвольное семейство, и если понадобится, я Вам на них укажу.

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Теперь о Вашем требовании доказать существование деформаций.

Ещё раз повторяю. Недостаточно указать перечень свойств, которыми должен обладать объект. Прежде всего, требуемые свойства могут быть противоречивыми, и построение объекта (или хотя бы доказательство существования "от противного") должно продемонстрировать непротиворечивость этих свойств. Более того, в математике принцип "существует всё, что непротиворечиво" не работает: перечень свойств может быть непротиворечивым, но объект с такими свойствами может не существовать.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Рассматриваем худший случай, когда все линии $l_{\nu}$ заканчиваются в точке $M$. Вообще говоря, линия $l_{\nu}$ может не быть представленной как функция от аргумета $r$. Тогда, проводим деформацию $G_{\nu}$, непрерывную уже только для внутренности сектора, зависящую от $\nu$, когда: (а) каждая из дуг $r = const$ отображается на себя; (б) каждая линия $G_{\nu}m_{\mu}$ заканчивается в точке, расположенной правее точки $M$ и правее точки, в которой заканчивается линия $G_{\nu}m_{\mu+1}$, концы линий $G_{\nu}m_{\mu}$ стремятся к точке $M$ вдоль дуги; (в) линия $G_{\nu}l_{\nu}$ заканчивается в точке $L_{\nu}$, расположенной на дуге $C$ левее точки $M$; (г) каждая линия $G_{\nu}l_{\nu'}$, при $\nu’ > \nu$, заканчивается в $M$, в частности в $M$ заканчивается линия $G_{\nu}l_{\nu +1}$.

Я могу указать две линии, для которых деформация с указанными Вами свойствами не существует. Поэтому построить требуемую Вами деформацию, вообще говоря, нельзя.

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Если я буду в подробностях расписывать все детали, например, сводя доказательство к аксиомам теории множеств, то думаю как раз тогда мои доказательства и не будут поняты.

Пока никто не требует сведения к аксиомам и правилам вывода. Достаточно довести до такой степени подробности, чтобы недостающие детали восстанавливались без труда. Вам до такого уровня ещё очень далеко.

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Кроме того, они, только по одному этому факту займут страниц десять (и думаю, если Вы предпримете их по подобной схеме, то и у Вас получится такой же объём).

Видите ли, если потребуется - напишете и десять тысяч. Прецеденты известны. Что касается конкретно данного факта, то десяти страниц мне не потребуется. Строить деформацию я не буду, поскольку, как я сказал, она может не существовать, если линии нельзя задать уравнениями вида $\varphi=f(r)$.

Someone в сообщении #235875 писал(а):

Как я понял, Вы почему-то хотите избавиться от половины сектора, находящейся справа от линии $m$, которую я определил уравнением $\varphi=\frac{\pi}4$, и разместить эту линию на дуге $C$. Только не понял, зачем для этого нужен гомеоморфизм всей плоскости. Для построения нужно только то, что находится внутри сектора. Всё лишнее запутывает построение. Конечно, оставшаяся половина сектора гомеоморфна целому сектору, и требуемый гомеоморфизм существует, но доказательство этого требует либо явного построения, либо ссылки на какую-то теорему существования. Он преобразует линии $l_{\nu}$, расположенные в половине сектора, в линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, расположенные в полном секторе. Куда при этом перейдёт точка $O$? Тоже куда-то на дугу $C$. Обратный гомеоморфизм будет преобразовывать линии $l'_{\nu}$ в линии $l_{\nu}$, $\nu<\omega_1$.
Вы не видите никаких проблем в этом месте? По меньшей мере одна проблема есть: линии $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1$, вообще говоря, нельзя задать уравнениями вида $\varphi=f(r)$. Проблема не исчезнет и после того, как Вы подправите условия, наложенные на гомеоморфизм, чтобы он оставлял точку $O$ на месте, а линию $m$ отображал на объединение дуги $MX$ и отрезка $OX$. А линии, которые нельзя задать уравнением вида $\varphi=f(r)$, никак не "лезут" в Ваши "аксиомы" и "теоремы".

Я процитировал этот фрагмент, чтобы напомнить, что у нас пока сделано. Гомеоморфизм, о котором идёт речь, обозначим $G$. Кроме того, считаем, как Вы и хотели, что имеются линии $m_{\mu}$, $\mu<\omega_0$, заданные уравнениями $\varphi=\frac{\pi}4\left(1+\frac 1{2^{\mu}}\right)$ (они удовлетворяют тем условиям, которые Вы хотите). Теперь нужно заменить линии $l'_{\nu}=Gl_{\nu}$, $\nu<\omega_1}$, линиями $l''_{\nu}$, оканчивающимися в точке $M$, таким образом, чтобы каждая линия $l'_{\nu}$, $\nu<\omega_1}$, располагалась слева от соответствующей линии $l''_{\nu}$, и чтобы семейство $\{l''_{\nu}:\nu<\omega_1\}$ было вполне упорядочено отношением $-<$.

Построить требуемые линии возможно, но доказательство Ваше, Вы и стройте. Если не осилите, а у меня будет свободное время и сохранится интерес, я их построю. Десяти страниц мне для этого не потребуется. Или мы можем вернуться к первоначальному семейству. Я не вижу, чем оно хуже того, которое Вы хотите построить.

[Инт]

Someone в сообщении #236619 писал(а):

Инт в сообщении #236406 писал(а):

Докажем, что так называемых "конкретных линий" Вы не предъявили.

Не тратьте своё и моё время на вздор. Разумеется, они "конкретные", как говорил академик П.С.Александров, "в некотором пиквикском смысле"...

Someone Вы по делу высказывайтесь и такие слова как вздор рекомендую не употреблять, и менторский тон бросьте. В неком пиквисном смысле, фактически Вы признали то, о чём я говорю. Для возражения мне не стоило писать такой длинный ответ. Каждая деформация $G_{\nu}$, о которой я вам твержу, строится тривиально. Её, заменой линии на эквивалентные, можно свести к преобразованию сектора $D$ и функций $l_{\nu}$ и $m^{*}_{\mu}$ таких, что для всех $r$ выполнено $l_{\nu}(r) < m^{*}_{\mu+1}(r) < m^{*}_{\mu}(r)$. После преобразования функции (линии) заканчиваются в разных точках. Операция настолько примитивна, что понимать и доказывать здесь почти нечего.

[Someone]

Инт в сообщении #236722 писал(а):

Вы по делу высказывайтесь и такие слова как вздор рекомендую не употреблять, и менторский тон бросьте. В неком пиквисном смысле, фактически Вы признали то, о чём я говорю.

То, о чём Вы говорите, действительно вздор. Да, я согласен, что мои построения содержат некоторый неконтролируемый произвол. Это общеизвестно. Но Вам ведь не это нужно. Вы тщитесь обосновать отказ от предъявления доказательства существования нужных Вам объектов. А вот это не выйдет. Наличие произвола в построениях не означает, что построения не нужны. Вы уже налетели на ситуацию, когда нужная Вам деформация не существует, несмотря на то, что требуемые свойства Вы перечислили. Поэтому либо Вы строите все нужные Вам объекты и доказываете, что они действительно обладают требуемыми свойствами, как это сделал я, либо дискуссию на этом закрываем и констатируем, что опровержение континуум-гипотезы не состоялось.

Собственно говоря, я ещё продолжаю разговор потому, что один раз Вы продемонстрировали вменяемость. Если я Вас переоценил, прошу меня за это простить.

[Инт]

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

Инт, а можно вехи ваших рассуждений перенумеровать, поставив четко решенную задачу в каждой из них?
Например, так:
1. Определили $C_1$ как множество бинарных последовательностей длины $\aleph_1$ (приравнивая последовательности с хвостами нулей и единиц). Ввели на нем упорядочение, показали, что оно линейное.
2. Показали, что $C_1$ с введенным порядком $\aleph_1$-насыщенное (иначе говоря, счетно насыщенное).
3. Отметили, что мощность $C_1$ равна $2^{\aleph_1}$.
4. Выделили в $C_1$ подмножество $B$ как последовательности с хвостами нулей или единиц.
5. Отметили, что мощность $B$ равна континууму.
6. Множество $B$ с индуцированным из $C_1$ порядком является ли счетно насыщенным? Не уверен. Хотя...
7. Определили $HC$ как множество непрерывных линий в секторе $D$.
8. Ввели частичное упорядочение на нем, показали его свойства (транзитивность, антирефлексивность).
9. Отметили, что мощность $HC$ - континуум.

Уважаемый rishelie. Все пункты до 9, кроме 2, принимаются мною беззаговорочно, т.е. это всё, что в них написано, как раз я показал или доказал. На вопрос в пунке 6 отвечаю: $B$ является счётно насыщенным, т.к. оно просто удовлетворяет свойствам I и II. Насколько я понял, выражение счётно насыщенное могло предполагаться эквивалентным тому, что на множестве выполняются свойства I и II. А именно они, эти свойства мне и нужны. То, что свойствам I и II удовлетворяет множество $B$ проверяется непосредственно, так как множество $B$ определено конкретно.

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

10. Теперь вот появляется Утверждение 2 о выделении в ч.у. множестве цепи, изоморфной $B$. Как строится эта цепь? Не по лемме Цорна?.
11. Выделили в $HC$ некое $HQ$, порядково изоморфное $B$, по Утверждению 2.

Эти два пункта спрашивают об одном и том же. Для выделения множества $HQ$, изоморфного $B$, используем аксиому выбора (другое дело, что впоследствии можем заменить эту аксиому на более слабый принцип выбора, но такой который позволяет сделать выбор в данном кокретном случае). Пусть $\mu$ счётный предельный ординал. Проводим индукцию по уровням гиперконтинуума. Пусть, по предположению индуции, уже указано некоторое $M \subset B$ такое, что все точки множества $M$ сопоставлены взаимно однозначно функциям (линиям) из множества $HC$. Причём, пусть в множество M входят те и только те двоичные (гиперрациональные) трансфинитные последовательности, для которых для всех $\nu \geqslant \mu$ будет $\delta(\nu) = 1$. Те линии, для которых такое соответствие уже определено считаются принадлежащими множеству $HQ$. Каждое сечение множества $M$ определяет, вообще говоря, счётную дырку (см. http://dxdy.ru/post234378.html#p234378). В каждой счётной дырке расположено счётное множество точек множества $B$, из тех, которые представлены трансфинитными последовательностями такими, что $\nu \geqslant \mu'$ будет $\delta(\nu) = 1$, где $\mu'$ следующий предельный ординал после $\mu$. Каждому элементу указанного счётного множества сопоставляем, пользуясь свойствами I и II, элемент из множества $HC$, который сразу же объявляется элементом множества $HQ$. Продолжаем по индукции неограниченно, "уничтожая все счётные дырки". Приходим к требуемому после $\aleph_1$ шагов.

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

12. Про деформации не понимаю. Да, можно взять некую счетную монотонную последовательность и "развести" ее концы в разные точки на дуге $C$. Но при этом не получится ли так, что другие линии, ранее имевшие разные пределы, теперь будут сходиться в одну точку? Мы же не можем для каждой счетной последовательности применять свою деформацию. К тому же, речь идет о выделении $HQ$ в исходом (недеформированном множестве)!

Видимо, Вы имеете ввиду трансформацию, о которой говориться в аксиоме I. Эта трансформация рассматривается мною с разных точек зрения. С одной из них (интуиционистской) считаем так: берём и разводим концы линий для каждой пары линий множества $HQ$. Например, это (интуитивно) можно сделать, если множество пар линий вполнеупорядоченно. Я доказываю, затем, что такого рода трансформация, будучи определённой аксиомой (интуитивно), не может быть представлена как отображение евклидовой плоскости в себя. А потому, опасения, что некоторые линии "склеются обратно", в случае аксиоматического задания трансформации, не выполнятся. С некой второй точки зрения, можно просто по определению положить, что разные линии множества $HQ$ заканчиваются в разных точках на преобразованной дуге $C$, т.е. на дуге, которая превратилась в $C_1$. Для этого, в подробностях определяются окрестности точек как внутри сектора (такие окрестности остаются прежними), так и на трансформированной дуге. Пусть линия $l$ считается заканчивающеся в точке $L \in C_1$. И пусть $a$ и $b$ линии такие, которые заканчиваются в точках $A$ и $B$, лежащих левее и правее точки $L$ соответственно. Тогда, окрестностью точки $L$ объявлется точечное множество в трансформированном секторе такое, что каждая точка множества лежит правее линии $a$ и левее $b$. Можно сказать, с этих двух точек зрения, что трансформация сводится не к отображению, не к своеобразному перемещению точек, поэтому, а к изменению отношений между точками сектора (другой пример подобной трансформации это переопределение метрических отношений в плоскости, котоые могут превратить её из евклидовой в неевклидову). Т.е. это трансформация без отображения.

Наконец, с некой третьей точки зрения, трансформацию можно свести к класическому отображению в бесконечномерное пространства. Действительно, берём любые две линии множества $HQ$, и разводим их как надо, т.е. проводим классическую деформацию-отображение, зависящую от взятой пары линий. Пробегаем множество всех пар, считая, что каждой паре соответствует одна размерность бесконечномерного пространства. И одновременно, каждая пара линий порождает класическое отображение, "разводящее" концы именно линий пары. Считаем, что проекцией трансформированного сектора, расположенного в бесконечномерном пространстве-произведении, является сектор трансформированный указанной деформацией-отображением. Таких проекций - несчётное множество, т.е. размерность пространства - несчётна, т.е. рассматриваем все указанные классические отображения как множество проекций. Если точки различаются хотя бы в одной из проекций, то считаются, что такие точки различны.

По сказанному можно понять, что введение трансформаций можно интерпретировать как способ говорить. Т.е. собственно трансформации необходимы лишь для некоторого геометрического выражения аксиом. В конечных рассуждениях от трансформаций можно избавится. Хотя это и не интересно.

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

13. Далее объясняется что-то вроде того, что можно неким преобразованием $D$ обосновать взаимно однозначное соответствие между $HC$ и $C_1$. Мало того, точки в аксиоме 2 берутся действительные (точка $K$ с дуги $C$, а не бинарные последовательности из $C_1$). По сути заявляется эквивалентность гипердействительных чисел, построенных через ультрафильтр, и бинарных последовательностей из $C_1$.

Не преобразованием обосновать. Преобразование уже проведено в аксиоме I. Аксиома II говорит о том, что коль скоро можно считать, что дуга $C$ преобразовалась в гиперконтинуум, то в каждую точку гиперконтинуума, в каждое сечение множества $B$, можно провести линию множества $HC$. Поскольку сечений будет $2^{\aleph_1}$, а непрерывных линий (фукнций) всего $2^{\aleph_0}$, то $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1} > \aleph_1$. Вот и всё.

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

14. Аксиома 4 говорит о том, что $HC$ является $\aleph_2$-насыщенным, что означает порядковую вложимость в него ординалов мощности $\aleph_2$ (http://dxdy.ru/topic24394-15.html), если только в $HC$ есть цепь длины не менее $\aleph_2$.

Не совсем ясно, что имеется ввиду под цепью. Если цепь упорядочена отношением порядка на линиях, то из аксиомы IV прямо вытекает, что такая цепь есть. Обратное, кстати неочевидно. Т.е. если фиксировать одну цепь, то аксиому IV вряд ли можно вывести.

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

15. В случае континуум-гипотезы ординалы мощности $\aleph_2$ вложить в $HC$ не удастся, т.к. в этом случае $|HC|=\aleph_1$. Поэтому Аксиома 4 влечет вложимость в $HC$ ординалов мощности $\aleph_1$ и то, что $HC$ - $\aleph_1$-насыщенное.
16. В случае континуум-гипотезы $\aleph_1$-насыщенное (см. п.6) континуальное множество $B$ порядково изоморфно цепи мощности $\aleph_1$ в $HC$. Это следует из теоремы Хаусдорфа (см. посты AGu). Но если даже $B$ не счетно насыщенное, то оно вкладывается в счетно насыщенную цепь мощности $\aleph_1$ в $HC$. Это и обосновывает Утверждение 2, но только в случае принятия континуум-гипотезы.

А нет необходимости предполагать КГ. То, что Вы пишете и так тривиально. Т.е. если из X вытекает Y, а мы предполагаем, что Y неверно, то X так же будет неверным по этому предположению. Ну и что? Y то верно, и выводится из X построением линии k, которая заканчивается в произвольном, заранее заданном сечении, в точке гиперконтинуума.

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

17. Логика сюжета-то какова? К чему все это?

Вот к тому, чтобы вывести отрицание КГ. Я вижу, что Вы уже почти во всех формулировках аксиом разобрались. Но ещё раз повторю: по аксиоме II в каждое сечение множества $B$, можно провести линию $k \in HC$ (по аксиоме или через иное доказательство). Поскольку сечений будет $2^{\aleph_1}$, а непрерывных линий (фукнций) всего $2^{\aleph_0}$, то $2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1} > \aleph_1$. Вот к чему.

-- Пт авг 21, 2009 16:32:29 --

Someone в сообщении #236741 писал(а):

Вы уже налетели на ситуацию, когда нужная Вам деформация не существует, несмотря на то, что требуемые свойства Вы перечислили.

Это о какой деформации Вы говорите? Не было такого. Предлагаю считать, что с вопросом "о сведении задачи" разобрались и приступить к рассмотрению того немного, что осталось для полного заключения по доказательству существования $k$. Сначала предлагаю разобраться с самой идеей приёма, который был применён для доказательства, не слишком беспокоясь о формализации или выразимости приёма через принятые аксиомы. Если это будет разобрано, то проверка того, что доказательство сводится к канонической теории множеств, не будет трудным и, даже, сразу окажется достаточно очевидным.

-- Пт авг 21, 2009 21:20:11 --

Ещё про:

rishelie в сообщении #236587 писал(а):

Но если даже $B$ не счетно насыщенное, то оно вкладывается в счетно насыщенную цепь мощности $\aleph_1$ в $HC$. Это и обосновывает Утверждение 2, но только в случае принятия континуум-гипотезы.

Утверждение 2 выводимо без принятия континуум-гипотезы.

[Someone]

Инт в сообщении #236773 писал(а):

Это о какой деформации Вы говорите? Не было такого.

Короткая у Вас, однако, память. Напомню, причём, подробно.

Инт в сообщении #235315 писал(а):

Сведём задачу, поставленную Someone к задаче, поставленной в условиях теоремы 7 (см. post220877.html#p220877), когда множество линий $m_{\mu}$ счётно. В самом деле, берём на линии $m$ произвольное множество точек $M_{\mu}$, где $\mu \in \mathbb{N}$ и, когда $\mu \to \omega_0$, то $\lim_{\mu}M_{\mu} = M$, где $M$ - конец линии $m$ на дуге $C$. Пусть, линия $m'_{\mu}$ заканчивается в точке $M_{\mu}$, а начинается в точке $O$. Тогда, некоторой непрерывной биекцией плоскости на себя, отобразим линию $m$ на дугу $\subset C$. В то время как дуга $YM$ пусть при отображении остаётся на месте.

Указывать конкретный гомеоморфизм Вы отказались, поэтому считаем, что речь идёт о произвольном гомеоморфизме $G$ половины сектора на весь сектор. Рассматривать всю плоскость не нужно, поскольку нам совершенно несущественно, что происходит вне сектора. Я предлагаю наложить на гомеоморфизм немножко другие условия. Пусть он точки на дуге $YM$ и отрезке $OY$ оставляет неподвижными, а линию $m$ отображает на объединение дуги $XM$ и отрезка $OX$. Чуть-чуть подумав, можно такой гомеоморфизм выписать явно, но раз Вы не хотите, считаем его произвольным.

Гомеоморфизм $G$ преобразует построенные мной линии $l_{\alpha}$, $\alpha<\omega$, в линии $l'_{\alpha}$, а линии $m'_{\mu}$, $\mu<\omega_0$, в линии $m_{\mu}$; поскольку Вы эти линии никак не конкретизировали, давайте предположим, что их уравнения (после преобразования гомеоморфизмом $G$) имеют простейший вид $\varphi=\frac{\pi}4\left(1+\frac 1{2^{\mu}}\right)$. Что касается линий $l'_{\alpha}$, $\alpha<\omega$, то их, вообще говоря, нельзя задать уравнениями вида $\varphi=f(r)$. Не знаю, можно ли придумать такой гомеоморфизм $G$, который сохранял бы возможность такого задания, и не хочу сейчас думать над этим. Если хотите, подумайте сами.

Однако все Ваши определения, аксиомы и теоремы предполагают, что линии заданы именно уравнениями вида $\varphi=f(r)$. Поэтому в этом месте Вы на свой "трактат" ссылаться не можете.

Инт в сообщении #236130 писал(а):

Вообще говоря, линия $l_{\nu}$ может не быть представленной как функция от аргумета $r$. Тогда, проводим деформацию $G_{\nu}$, непрерывную уже только для внутренности сектора, зависящую от $\nu$, когда: (а) каждая из дуг $r = const$ отображается на себя; (б) каждая линия $G_{\nu}m_{\mu}$ заканчивается в точке, расположенной правее точки $M$ и правее точки, в которой заканчивается линия $G_{\nu}m_{\mu+1}$, концы линий $G_{\nu}m_{\mu}$ стремятся к точке $M$ вдоль дуги; (в) линия $G_{\nu}l_{\nu}$ заканчивается в точке $L_{\nu}$, расположенной на дуге $C$ левее точки $M$; (г) каждая линия $G_{\nu}l_{\nu'}$, при $\nu’ > \nu$, заканчивается в $M$, в частности в $M$ заканчивается линия $G_{\nu}l_{\nu +1}$.

То, что у Вас здесь обозначается $l_{\nu}$, должно обозначаться $l'_{\nu}$. Ещё раз настоятельно прошу Вас соблюдать обозначения, иначе мы с Вами запутаемся, где какие линии.

Давайте пока не будем рассматривать такие большие семейства линий. Рассмотрим только две линии, которые обозначим $a$ и $b$. Обе они начинаются в точке $O$ и заканчиваются в точке $M$ на дуге $XY$. Предполагаем, что других точек пересечения они не имеют. Поскольку теперь это произвольные линии, которые не задаются уравнениями вида $\varphi=f(r)$, они могут пересекать дугу $r=Const$ более одного раза. Предположим далее, что существует возрастающая последовательность $r_n$, $n\in\mathbb N$, $\lim\limits_{n\to\infty}r_n=1$, удовлетворяющая следующему условию: дуга $r=r_n$, $n\in\mathbb N$, пересекает линии $a$ и $b$ в порядке $abba$ или $baab$. Надеюсь, у Вас хватит воображения, чтобы нарисовать такие линии.

Предъявите, пожалуйста, деформацию $G_{ab}$, удовлетворяющую Вашему условию (а) и "разводящую" концы линий $a$ и $b$.

Инт в сообщении #236773 писал(а):

Предлагаю считать, что с вопросом "о сведении задачи" разобрались

Пока не разобрались.

Инт в сообщении #236773 писал(а):

и приступить к рассмотрению того немного, что осталось для полного заключения по доказательству существования $k$.

Пока рано. Слишком много ещё неясного в Ваших построениях. А "построение" линии $k$ - это вообще шедевр невнятности. Я сделал бы "разведение" линий совершенно не так, как это "делаете" Вы, но строить линию $k$ не умею.

[Инт]

Про линию $k$ вообще пока не говорим, раз не разобрались с "вопросом о сведении". В обозначениях я вообще запутался после последнего Вашего сообщения. Поэтому, принимаю наконец Ваши и, заодно, всё переобозначаю по новой. Итак:

Пусть указана трансфинитная последовательность $l_{\nu}$ -< $l_{\nu'}$ -< $m$, если $\nu < \nu'$. Все линии $\in HC$, т.е. могут считаться функциями. Пусть линия $m$ заканчивается в точке $M$. Пусть все линии $l_{\nu}$ так же заканчиваются в $M$. Берём точки $B_{\mu} \in m$, где $\mu = 1, 2, ...$, $\lim B_{\mu} = M$. Пусть в точках $B_{\mu}$ заканчиаются линии $b_{\mu}$ соответственно.

Делаем следующую операцию-отображение $G$: (i) Она эта операция - непрерывна. (ii) Она переносит отрезок линии $m$, примыкающий к точке $M$, на дугу $C$, точки $B_{\mu}$, лежащие на этом отрезке, переносятся в точки $GB_{\mu}$ соответственно на дуге $C$. (iii) Дуга $YM$ остаётся на месте, т.е. $G \cdot YM = YM$. Считаем, что точки $GB_{\mu}$ расположены на $C$ одна левее другой. Т.е. $GB_{\mu+1} < GB_{\mu}$.

Зададим произвольную монотонную последовательность положительных действительных чисел $\varepsilon_{\mu}$ таких, что $\lim \varepsilon_{\mu} = 0$.

Берём линию $b_{1}$. В дальнейшем, пользуемся некоторым произволом в установлении того, какую деформацию мы хотим, чтобы сохранялись свойства (i)-(iii). Выделяем некоторый отрезок линии $b_{1}$, который назовём $q_{1}$. Длина отрезка пусть будет меньше, чем $\varepsilon_{1}$. Отрезок пусть имеет один конец в $B_{1}$, а второй $Q_{1}$ где-то на линии $b_{1}$. Деформацией $G$, пользуясь указанным произволом, переводим линию $b_{1}$ в положение, когда $Gq_{1}$ будет описываться функцией от аргумента $r$ так, что если соединить точки $O$ и $GQ_{1}$ прямым отрезком, то такой прямой отрезок и возможно кривой отрезок $Gq_{1}$ образуют линию $b^{*}_{1} \in HC$. При этом, длину отрезка $Gq_{1}$ делаем меньше чем $\varepsilon_{1}$.

Рассматриваем линию $b_{2}$. Выделяем отрезок $q_{2}$ линии $b_{2}$ такой, что: Длина отрезка меньше, чем $\varepsilon_{2}$. Отрезок пусть имеет один конец в $B_{2}$, а второй $Q_{2}$ где-то на $b_{2}$. Отрезок $Gq_{2}$ пусть не пересекается с линией $b^{*}_{1} \in HC$. Сохраняя (i)-(iii) и уже неподвижным установленное положение линии $b^{*}_{1} \in HC$, как результат действия отображения $G$, не подлежащий пересмотру, отрезок $Gq_{2}$ устанавливаем в такое положение, когда его длина меньше чем $\varepsilon_{2}$ и он сам может быть описан как функция от аргумента $r$. Соединяем точки $O$ и $GQ_{2}$ прямым отрезком. Этот прямой отрезок и $Gq_{2}$ по определению образуют (считаем) функцию $b^{*}_{2} \in HC$ от аргумента $r$.

По индукции, далее, строим линии $b^{*}_{n} \in HC$, заканчивающиеся в точках $GB_{n}$ так, что установленные положения линий на предыдущих шагах, как результаты действия $G$, не пересматриваются. Отрезки $Gq_{n}$ не пересекаются с линиями $b^{*}_{\mu}$ при $\mu < n$, и имеют длину меньше чем $\varepsilon_n$.

Положение линии $Gl_{1}$ устанавливаем произвольно. Естественно, из-за непрерывности линия $Gl_{1}$, а вместе с ней и все $Gl_{\nu}$ при произвольном $\nu$ заканчиваются в точке $M$. Это и есть тот самый момент, когда видно, что $Gl_{\nu}$ не обязаны быть функциями от аргумента $r$. Ну и ладно. Берём эту самую линию $a_{1} = Gl_{1}$. Так как линии $b^{*}_{n}$ заканчиваются в точках $GB_{n} \neq M$, то всегда осуществима классическая деформация отображение $G_{1}$ такое, которое всюду непрерывна внутри сектора $D$ (но разрывно на дуге $C$), и которое производит перемещение точек сектора вдоль дуг $r = const$ так, что линия $G_{1}a_{1} = G_{1}Gl_{1}$ заканчивается в точке $A \neq M$ на дуге $C$ так, что $A < M$, т.е. $A$ лежит левее $M$, в то время как линии $G_{1}b^{*}_{n}$ по прежнему будут заканчиваться в точках $GB_{n} = G_{1}GB_{n}$, как считаем. Ясно, что существует линия $g_{1} \in HC$, что $G_{1}g_{1}$ будет заканчиваться в точке $A$ и все точки пересечения линии $G_{1}a_{1} = G_{1}Gl_{1}$ с дугой $r = const$ будут располагаться левее линии $G_{1}g_{1}$ при всех $r < 1$ достаточно близких к 1. Ясно так же, что $G_{1}g_{1} \in HC$. Как расположатся линии $G_{1}a_{\nu} = G_{1}Gl_{\nu}$ при $\nu > 1$ относительно линии $G_{1}g_{1}$ не имеет значения.

Точно так же строятся линии $g_{\nu} \in HC$. И строятся отображения $G_{\nu}$. Линию $g_{2}$ строим с условием: $g_{1}$ -< $g_{2}$, дополнительным к тому условию, что все точки пересечения линии $G_{2}a_{2} = G_{2}Gl_{2}$ с дугой $r = const$ будут располагаться левее линии $G_{2}g_{2}$ при всех $r < 1$ достаточно близких к 1.

Как только построены линии $g_{\nu}$ при $\nu < \lambda$, так сразу строим линию $g_{\lambda}$ такую, что $g_{\nu}$ -< $g_{\lambda}$ -< $b^{*}_{n}$ и все точки пересечения линии $G_{\lambda}a_{\lambda} = G_{\lambda}Gl_{\lambda}$ с дугой $r = const$ будут располагаться левее линии $G_{\lambda}g_{\lambda}$ при всех $r < 1$ достаточно близких к 1.

В итоге, при любых $\nu$, $\lambda$, $n$, $\nu < \lambda$, $g_{\nu}$ -< $g_{\lambda}$ -< $b^{*}_{n}$. И линии $g_{\nu}$ заканчиваются в $M$.

Если существует $k^*$ такая, что $g_{\nu}$ -< $k^*$ -< $b^{*}_{n}$, то существует $k$, такая что $l_{\nu}$ -< $k$ -< $m$.

[Someone]

Инт в сообщении #236923 писал(а):

Итак:

А что, собственно говоря, Вы мне здесь хотите продемонстрировать? Вы не могли бы сформулировать?

Я задавал вопрос о "разводящей" деформации для двух линий. Ваше построение как-то связано с этим вопросом?

Инт в сообщении #236923 писал(а):

Берём точки $B_{\mu}$, где $\mu = 1, 2, ...$, $\lim B_{\mu} = M$.

Где мы их, собственно говоря, берём? Из условия (ii), сформулированного чуть ниже, ясно, что Вы хотите построить "операцию-отображение" (что это такое?) $G$ так, чтобы выполнялось условие $GB_{\mu}\in C$, но про сами точки $B_{\mu}$ ничего не сказано кроме того, что мы их "берём".

Вы не могли бы использовать стандартную терминологию? Если речь идёт о том гомеоморфизме $G$ половины сектора на весь сектор, о котором мы говорили раньше, то давайте будем называть его гомеоморфизмом. Иногда встречается термин "топологическое преобразование" или "топологическое отображение", но он уж очень старинный.

Если линии $b_{\mu}$ - те самые, которые Вы раньше обозначали $m_{\mu}$, то, может быть, не стоит с ними возиться при построении гомеоморфизма $G$? Я не возражаю, если Вы их определите после построения $G$ так, как Вам будет удобно. Я их не определял, Вы их вводите по собственной инициативе и можете распоряжаться ими по собственному усмотрению.

Инт в сообщении #236923 писал(а):

Кроме того, требуем, чтобы в результате осуществления операции $G_{1}$ линия $Gl_{2}$ оказалась заканчивающейся в точке $M$. Т.е. $G_{1}a_{2} = G_{1}Gl_{2}$ пусть заканчивается в точке $M$.

Потребовать мы можем чего угодно. Выполнимы ли наши требования? Вот в чём вопрос.

Да, кстати. Линии $l_{\nu}$ ведь нумеруются ординалами, а ординалы начинаются с нуля, а не с единицы. Поэтому речь должна идти об $l_0$ и $l_1$.

[Инт]

Опасения, что линии "зацепят друг друга", считаем, оправданы. Так что при всех прочих введённых обозначениях можно так доопределить гомеоморфизм $G$, который отображает часть сектора на весь сектор $D$.

Можно считать, что $m$ есть прямой отрезок, проходящий из точки $O$ в точку $M$. Если необходимо, то $m$ выпрямляется до такого отрезка. Так же считаем, что линии $l_{\nu}$ суть строго возрастающие и гладкие функции от аргумента $r$ (напомню, что $\varphi$ растёт слева направо). Если необходимо, то заменяем $l_{\nu}$ на гладкие строго возрастающие функции $s_{\nu}$ такие, что для каждого $\nu$ будет $l_{\nu}$ -< $s_{\nu}$ -< $m$. Считаем, что точка $B_1$ есть середина отрезка $OM = m$, и она переходит при преобразовании $G$ в точку $X$. Дуги $r = const$, та их часть, что лежит между отрезком $OY$ и $OM = m$ пусть переходят в строго возрастающие функции (вида $\varphi = f(r)$) так: Если $\hat U$ - такая дуга, и она задаётся уравнением $r = u \geqslant \frac{1}{2}$, то линия (функция) $G \hat U$ есть строго возрастающая функция, которая начинается в той же точке на отрезке $OY$, что и $\hat U$, а заканчивается в точке $U$ на дуге $MX$ так, что $|UM| = 2 \cdot (1 - u) \cdot |MX|$. Пусть так же, $|UB_n| = 2 \cdot (1-\frac{1}{n}) \cdot |MX|$ (модулем обозначены длины дуг). Прямые отрезки $\hat V$, соединяющие точку $O$ и дугу $C$, пусть переходят в строго убывающие, не пересекающиеся между собой функции $G \hat V$ (вида $\varphi = f(r)$) такие, которые заполняют весь сектор непрерывно и заканчиваются на дуге $YM$. Концы функций $G \hat V$ пусть непрерывно заполняют отрезок $YM$.

В качестве линий $b^{*}_{\mu}$ выбираем произвольные линии-функции в секторе $D$, заканчивающиеся в точках на отрезке $XM$.

Проверяем, что $Gl_{\nu} \in HC$. Действительно, малый «прямоугольник», ограниченный линиями $r = u'$, $r = u''$, $\varphi = \varphi’$, $\varphi = \varphi’’$, $u’ < u’’$, $\varphi’ < \varphi’’$, т.е. линиями $\hat U’$, $\hat U’’$, $\hat V’$, $\hat V’’$ соответственно, переходит в прямоугольник, ограниченный линиями $G \hat U’$, $G \hat U’’$, $G \hat V’$, $G \hat V’’$. Для простоты считаем, что $G$ гладкое. Пусть достаточно малый отрезок линии $Gl_{\nu}$, выходит из «нижней левой вершины» малого прямоугольника $G \cdot T’$, где $T’ = (u’, \varphi’)$, и заканчивается в «верхней правой вершине» $G \cdot T’’$, где $T’’ = (u’’, \varphi’’)$. Тогда если перемещать вдоль отрезка от «нижней вершины» к «верхней» монотонно геометрическую точку $W$, то при всех достаточно малых (но фиксированных) размерах отрезка он будет пересекать каждый уровень $r = const$ в одной точке, и при движении $W$ радиус дуги $r$, на которой оказывается точка $W$, будет расти.

Таким образом, можно положить в данном случае $g_{\nu} = Gl_{\nu}$.

-- Сб авг 22, 2009 19:20:19 --

Someone в сообщении #236928 писал(а):

Инт в сообщении #236923 писал(а):

Кроме того, требуем, чтобы в результате осуществления операции $G_{1}$ линия $Gl_{2}$ оказалась заканчивающейся в точке $M$. Т.е. $G_{1}a_{2} = G_{1}Gl_{2}$ пусть заканчивается в точке $M$.

Да, это требование снимаю. Оно действительно запутывает ситуацию. В http://dxdy.ru/post236923.html#p236923 сделаны исправления. Т.е. не важно как будет располагаться $G_{1}Gl_{2}$ относительно линии $G_{1}g_{1}$. Можно даже не использовать отображения $G_{\nu}$. Достаточно брать линии $g_{\nu}$ одну за другой так, чтобы для всех достаточно близких к 1 значений $r$ пересечение линии $a_{\nu}$ с дугой $r = const$ располагалось полностью левее линии $g_{\nu}$, с одной стороны, и, с другой стороны, было бы $g_{\nu}$ -< $g_{\nu'}$, если $\nu < \nu'$. Такая трансфинитная последовательность линий $g_{\nu}$ определяется по индукции.