4-х значная комплементарная логика Лобанова и ее значения

[Zuborg]

Никак не могу уяснить четкий смысл второго значения из реализуемых четырех "нет", "не может быть никогда", "может быть", "да";
если "может быть" - равновероятное значение между "да" и "нет", или в терминах нечеткой логики "0.5", то куда втискивается "не может быть"? Особенно учитывая, что отрицание преобразует его в "может быть"? Интуитивно предполагается его эквивалентность значению "нет", но так ли это...

Первоисточник

[AGu]

Zuborg в сообщении #234801 писал(а):

Никак не могу уяснить четкий смысл второго значения из реализуемых четырех "нет", "не может быть никогда", "может быть", "да"

Я ничего не знаю о «силлогистике» и лишь мельком взглянул на «Первоисточник», но мне показалось, что там описывается не что иное как классическая булевозначная модель исчисления высказываний/предикатов с 4-элементной булевой алгеброй значений истинности $\{0,i,j,1\}$. Именование элементов $i$ и $j$ этой алгебры фразами «может быть» и «не может быть» мне представляется неудачным (контр-интуитивным), но это дело вкуса.

Кстати, фразы «не может быть никогда» я в «Первоисточнике» не встретил и поэтому вопрос Zuborg не понял.

[AD]

Это ж альтернативщина какая-то

[AGu]

AD в сообщении #234822 писал(а):

Это ж альтернативщина какая-то

Скорее тривиальщина, велосипедство-изобретальщина.
Впрочем, это я не о силлогистике (о которой я ничего не знаю), а о логической составляющей «Первоисточника».

[Zuborg]

AGu в сообщении #234812 писал(а):

Zuborg в сообщении #234801 писал(а):

Никак не могу уяснить четкий смысл второго значения из реализуемых четырех "нет", "не может быть никогда", "может быть", "да"

Я ничего не знаю о «силлогистике» и лишь мельком взглянул на «Первоисточник», но мне показалось, что там описывается не что иное как классическая булевозначная модель исчисления высказываний/предикатов с 4-элементной булевой алгеброй значений истинности $\{0,i,j,1\}$. Именование элементов $i$ и $j$ этой алгебры фразами «может быть» и «не может быть» мне представляется неудачным (контр-интуитивным), но это дело вкуса.

Кстати, фразы «не может быть никогда» я в «Первоисточнике» не встретил и поэтому вопрос Zuborg не понял.

В разных главах там часть определения "никогда" не всегда упоминается (упоминается в конце 11-й главы. Именно "функция не имеет места, т.е. не может быть никогда" особо бросилось в глаза)...

Можете дать ссылку на материал о четырех-элементной булевой алгебре? Я что-то google ничего вразумительного найти не могу. Какой смысл в ней вкладывается в символы $i и j$?

[AGu]

Zuborg в сообщении #234861 писал(а):

Можете дать ссылку на материал о четырех-элементной булевой алгебре? Я что-то google ничего вразумительного найти не могу.

Если погуглить просто "булева алгебра" (с кавычками), то нагуглятся несколько тысяч ссылок, и первая из них — википедийная, вполне сойдет. А «4-элементная булева алгебра» — это всего лишь булева алгебра, состоящая из 4 элементов. Если обозначить элементы такой булевой алгебры через $0,i,j,1$, то булевы операции будут вычисляться так:

$0=0\land0=0\land i=0\land j=0\land1=i\land0=j\land0=1\land0=i\land j=j\land i$,
$i=i\land i=i\land1=1\land i$,
$j=j\land j=j\land1=1\land j$,
$1=1\land1$,
$0=0\lor0$,
$i=0\lor i=i\lor0=i\lor i$,
$j=0\lor j=j\lor 0=j\lor j$,
$1=1\lor0=1\lor i=1\lor j=1\lor1=0\lor1=i\lor1=j\lor1=i\lor j=j\lor i$,
$\neg 0=1$, $\neg i=j$, $\neg j=i$, $\neg 1=0$.

Впрочем, гораздо экономнее определять булеву алгебру не операциями $\lor$, $\land$ (и/или $\neg$), а отношением порядка. Тогда приведенный выше список сократится до такого: $0<i<1$, $0<j<1$ (при этом $i$ и $j$ несравнимы друг с другом).

Zuborg в сообщении #234861 писал(а):

Какой смысл в ней вкладывается в символы $i и j$?

Это просто имена двух «промежуточных» элементов — отличных от $0$ и $1$.

[Yu_K]

На закрытом окошке пивного ларька висит бумажка с надписью "ПИВА НЕТ". А чуть ниже еще одна бумажка с надписью "ПИВА НЕТ, СОВСЕМ!".

[Zuborg]

AGu в сообщении #235021 писал(а):

Это просто имена двух «промежуточных» элементов — отличных от $0$ и $1$.

Ну теперь вроде все относительно ясно! (немного смущает, что отрицание $i$ порождает $j$, и наобророт, и то, что первый символ называют "как бы истина", второй - "как бы ложь").
То есть если третий добавочный символ еще можно наделить вполне конкретным смыслом "может быть" / "неопределенность" / "0.5", то четвертый - как пятое колесо.

-- Пт авг 14, 2009 17:26:39 --

Yu_K в сообщении #235068 писал(а):

На закрытом окошке пивного ларька висит бумажка с надписью "ПИВА НЕТ". А чуть ниже еще одна бумажка с надписью "ПИВА НЕТ, СОВСЕМ!".

Хороший пример, показывающий, что разницы-то между этими двумя сообщениями никакой нет.

[AGu]

Zuborg в сообщении #235069 писал(а):

(немного смущает, что отрицание $i$ порождает $j$, и наобророт, и то, что первый символ называют "как бы истина", второй - "как бы ложь").
То есть если третий добавочный символ еще можно наделить вполне конкретным смыслом "может быть" / "неопределенность" / "0.5", то четвертый - как пятое колесо.

Во-во. Поэтому, собственно, я и сказал, что (цитирую себя) именование элементов $i$ и $j$ этой алгебры фразами «может быть» и «не может быть» мне представляется неудачным (контр-интуитивным).

Чтобы включилась интуиция, предлагаю расценивать $i$ и $j$ следующим образом. Представим, будто наше левое полушарие мозга связано с левым глазом, а правое — с правым (на самом деле они, вроде, крест-накрест связаны, но это не суть), причем полушария мыслят независимо друг от друга, но по одним и тем же законам логики. Теперь представим, что нам предъявили какой-то объект $x$ и утверждение $p(x)$ о нем. Мы можем посмотреть на $x$ левым глазом и своим левым полушарием оценить, верно ли $p(x)$. Если наша левая часть посчитала $p(x)$ истинным, будем говорить, что $p(x)$ истинно слева, иначе — ложно слева. Аналогично мы можем поступить с правым глазом и правым полушарием. Если наша правая часть посчитала $p(x)$ истинным, будем говорить, что $p(x)$ истинно справа, иначе — ложно справа. Теперь определяем 4-значную истинность следующим образом. Говорим, что истинность $p(x)$ равна $0$, если $p(x)$ ложно и слева, и справа. Истинность $p(x)$ равна $i$, если $p(x)$ истинно слева и ложно справа. Истинность $p(x)$ равна $j$, если $p(x)$ ложно слева и истинно справа. Истинность $p(x)$ равна $1$, если $p(x)$ истинно и слева, и справа.

Все, интуиция сразу заработала! Действительно, пусть истинность $p(x)$ равна $i$. Чему будет равна истинность $\neg\,p(x)$? Разумеется, $j$. В самом деле, если истинность $p(x)$ равна $i$, то $p(x)$ истинно слева и ложно справа, а тогда $\neg\,p(x)$, само собой, ложно слева и истинно справа, т.е. истинность $\neg\,p(x)$ равна $j$.

Конкретный пример. Пусть в качестве объекта $x$ нам предъявили пару чисел $(1,2)$ и пусть мы смотрим левым глазом на левую часть $x$ (т.е. на $1$), а правым глазом — на правую часть $x$ (т.е. на $2$). Пусть теперь $p(x)$ — утверждение «$x$ является целым числом». Какова истинность $p(x)$? Она равна $1$, так как $p(x)$ истинно и слева, и справа. Пусть теперь $q(x)$ — утверждение «$x$ является четным числом». Какова истинность $q(x)$? Она равна $j$, так как $q(x)$ ложно слева и истинно справа. Все совершенно интуитивно и напрочь элементарно!

[arseniiv]

Да ну так мучиться с этой логикой. Всё в ней можно легко вывести, если учесть, что это булева алгебра над векторами длины 2, компоненты которых $0$ и $1$: ${\bf{0}} = \{ 0;\;0\} ,\;{\bf{i}} = \{ 0;\;1\} ,\;{\bf{j}} = \{ 1;\;0\} ,\;{\bf{1}} = \{ 1;\;1\}$

[AGu]

arseniiv в сообщении #235101 писал(а):

Да ну так мучиться с этой логикой. Всё в ней можно легко вывести, если учесть, что это булева алгебра над векторами длины 2, компоненты которых $0$ и $1$: ${\bf{0}} = \{ 0;\;0\} ,\;{\bf{i}} = \{ 0;\;1\} ,\;{\bf{j}} = \{ 1;\;0\} ,\;{\bf{1}} = \{ 1;\;1\}$

А вот и нет! Вот как правильно: ${\bf0}=(0,0),\ {\bf i}=(1,0),\ {\bf j}=(0,1),\ {\bf1}=(1,1)$. Потому что ${\bf i}$ — это истинность слева, а не справа!

Шутю, естессно. Вы совершенно правы, arseniiv. Как ни крути, все равно тривиальщина получается. Поэтому, собственно, булевозначному анализу интересны именно бесконечные булевы алгебры (более того, безатомные).

[arseniiv]

Бесконечные? Ух ты, интересно! А как лучше понять слово "безатомные"?

-- Пт авг 14, 2009 21:25:45 --

Как жаль, что самые интересные структуры не существуют: алгебры с нулём операций на ${\Bbb R}^\infty$!

[AGu]

arseniiv в сообщении #235110 писал(а):

А как лучше понять слово "безатомные"?

Элемент $a$ булевой алгебры $B$ называется атомом, если $a\ne0$ и $\neg(\exists\,b\in B)(0<b<a)$. В терминах булевых операций последнее условие можно переписать так: $(\forall\,b\in B)(a\land b=0$ или $a\land b=a)$.

Безатомная булева алгебра — это булева алгебра, не имеющая атомов.

Булева алгебра $B$ называется атомной (или атомической), если $(\forall\,b\in B\backslash\{0\})(\exists\,a\in B)(a$ — атом и $a\leqslant b)$, где $a\leqslant b$ — синоним равенства $a\land b=a$.

Все конечные булевы алгебры являются атомными. (Например, если $B=\{0,i,j,1\}$, то $i$ и $j$ — атомы.) Простейшим примером бесконечной атомной булевой алгебры является булева алгебра $\mathcal P(X)$ всех подмножеств какого-либо бесконечного множества $X$. Классическим примером безатомной булевой алгебры служит булева алгебра классов эквивалентности измеримых (по Лебегу) подмножеств $[0,1]$.

arseniiv в сообщении #235110 писал(а):

Как жаль, что самые интересные структуры не существуют: алгебры с нулём операций на ${\Bbb R}^\infty$!

Увы, ничего не понял. В каком смысле «не существуют»? Что такое «алгебра с нулем операций»? Что такое $\mathbb R^\infty$? (Это $\mathbb R^{\mathbb N}$?)

[Утундрий]

Еще немного, еще чуть-чуть... и доберемся до бесконечнозначных логик, в которых истинность высказывания - некоторая функция, принимающая непрерывный ряд значений от $0$ до $1$

[arseniiv]

AGu в сообщении #235265 писал(а):

Что такое «алгебра с нулем операций»?

Вот именно, что ничего. Сигнатура алгебры должна быть непустой. Поэтому такие алгебры и не существуют. А под $\mathbb R^\infty$ я имел ввиду произведение $\mathbb R$ $\left| {\Bbb N} \right|$ раз, не знаю, как правильно это обозначается, где-то такое обозначение видел