Натуральные числа и ZFC

[LetsGOX]

Как я только узнал, что натуральные числа можно представить в виде набора операция с пустым множеством, я сильно удивился и заинтересовался в сути вопроса, и хотя сначала я считал это целиком ошибочным*, сейчас я понял суть, но вижу что и в ZFC есть ошибка*

Итак как я понял, все исходит из аксиом Пеано. Мы берем некоторый элемент 1, и определяем функцию для определения следующего элемента, а также еще несколько правил, и таком образом мы последовательно стром все множество натуральных чисел, которое состоит из 1, S(1), S(S(1)) и так далее
ZFC пытается перевести эти замечательные аксиомы под себя, а именно пустое множество, единственно-определенное множество по аксиоматике ZFC, принимается на ноль, {0} за единицу, {{0}} за двойку, {{{0}}} за тройку и т.д, а потом в силу какихто аксиом их этих элеметнов составляется множество натуральынх чисел, и они переставляются типа 0U{0} это двойка и т.д.

Вроде бы как все хорошо, но вот тутто и кроется ошибка* Господин Пеано все продумал, и пускай для аналогии у насть есть карточки (То есть числа), и мы имеется правило для выставкивания карточки единица, а также для вытаскивания следующей катрочки, причем каждую вытаскиваемую картчку мы кладем в мешочек, и выполяя это действие бесконечное числа раз мы набиваем мешочек (Суть множество натуральных чисел) В итоге у нас есть набор элементов, надо их только сгруппировать**
А Френкель? Мы берем НИЧЕГО и кладем его в мешочек (Операция фигурных скобок), этот мешочек кладем в последующий и так далее, но ни одной карточки у нас так и нет, в результате мы понаобъединяли пустоту саму с собой, и так с ней и остались. В итоге у нас как не было элементов, так и нет

Говорите дело в карточках? Но ведь один из участников (Вроде бы Epros, веряотно я ошибаюсь) говорил, что математика работает с именами объектов, а что есть сами объекты никто не знает. В таком случае аналогия с карточками очень законна

* - Может быть не ошибка, а неверное истолкование
** - Да здесь должно быть другое слово, только не цепляйтесь к терминологии, увиливая от ответа

P.S. Почему-то многие считают ZFC тривиально, но что это вообще такое?

[rishelie]

Интересно, а символы графические - это, по-вашему, ничто? можете обозначать натуральные числа так:
0, 0', 0'', 0''', 0'''' - каждое последующее получается из предыдущего приписыванием штриха. Математика имеет дело с символами, а не с карточками
в ZF $0=\{\}$, $n+1=\{0,1,\dots,n\}$, т.е. $1=\{\{\}\}$, $2=\{\{\},\{\{\}\}\}$, $3=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}$, и так далее. Впрочем, это один из способов построения натурального ряда в ZF, такой, чтобы натуральные числа сразу же оказались упорядоченными по вложению и вписались в шкалу неймановских ординалов. Можно и просто скобки навешивать: $\{\}$, $\{\{\}\}$, $\{\{\{\}\}\}$, и так далее.
Так или иначе, эти символы годятся для обозначения натуральных чисел, а операция добавления скобок подходит как операция прибавления единицы.

Что ж тут крамольного? И чем плохи такие имена карточек? разве что длинноваты?
Всякая математическая теория - это набор записей. А чем уж там они соответствуют - "столам, стульям или пивным кружкам", как говорил старина Гильберт, - это не имеет значения, лишь бы введенные отношения выполнялись при таком соответствии.

[nikov]

LetsGOX в сообщении #232984 писал(а):

Мы берем НИЧЕГО и кладем его в мешочек (Операция фигурных скобок), этот мешочек кладем в последующий и так далее, но ни одной карточки у нас так и нет, в результате мы понаобъединяли пустоту саму с собой, и так с ней и остались. В итоге у нас как не было элементов, так и нет

Не совсем так. У нас была не только пустота, но и мешочки. Мешочки тоже могут быть элементами. Вот как раз количество мешочков и их вложенность хитрым образом определяют натуральные числа.

[rishelie]

фигурные скобки - символ мешочка, если угодно

[LetsGOX]

Ах вот оно что, спасибо за разъяснения
Кто такие неймановские ординалы, я конеяно не понял, зато ситуация проснилась. Просто я думал что сами мешочки (То бишь операция объединения в множество) не может считаться элементом, а тут все понятно стало
То есть так сказать количетсво раз, сколько обернули пустоту в мешочек, это и есть порядовое натуральное число
Гениально!

[rishelie]

LetsGOX в сообщении #233315 писал(а):

Кто такие неймановские ординалы, я конеяно не понял

это которые вполне упорядочены по вложению, т.е. $0\subset 1\subset 2\dots\subset\omega\subset\omega+1\dots$