Уравнение Серпинского

[albega]

Найдены все решения уравнения:

$(x^2-1)(y^2-1)=(z^2-1)^2$, $x,y,z\in Z$, $x^2\neq y^2$, $|z|\neq 1$,
если
$x-y=2z$

Если
$x-y=kz$, $k\neq 2$
то исходное уравнение не имеет решений при некоторых значениях $k$ (уже доказано)

Вероятнее всего, при всех значениях $k$ решений не будет.
Осталось доказать это

[sceptic]

Отсутствие решений доказано для всех $k\neq 2$.
При $k=2$ все решения этого уравнения найдены Серпинским (вместе с Шинцелем) еще в 1963 г. Из вашего поста не ясно, собщаете ли вы просто об этом факте, или же вы сообщаете, что и вы нашли все решения уравнения. Во втором случае надо бы сообщить, в чем заключается новизна вашего способа решения по сравнению с предшественниками.

[albega]

sceptic в сообщении #232881 писал(а):

Отсутствие решений доказано для всех $k\neq 2$.
При $k=2$ все решения этого уравнения найдены Серпинским (вместе с Шинцелем) еще в 1963 г. Из вашего поста не ясно, собщаете ли вы просто об этом факте, или же вы сообщаете, что и вы нашли все решения уравнения. Во втором случае надо бы сообщить, в чем заключается новизна вашего способа решения по сравнению с предшественниками.

Спасибо за ссылку, не был в курсе того, что УЖЕ доказано для всех $k$. Это и являлось темой первого сообщения.

Если вас не затруднит, буду благодарен за подобные ссылки на другое уравнение, которое имеет некоторые связи с первым уравнением:
$x^4+px^2y^2+y^4=z^2$
Для некоторых значений $p$ это уравнение не имеет решений, например при $p=15, 19, 22, 91$.

И последнее, по уравнению из другой темы topic24347.html что-нибудь посоветуете?

[maxal]

Похожее уравнение $(x^2 - 1)^2 + (y^2 - 1)^2 = (z^2 - 1)^2$ обсуждалось тут:
post233177.html#p233177

-- Wed Aug 05, 2009 14:27:50 --

albega в сообщении #232885 писал(а):

Если вас не затруднит, буду благодарен за подобные ссылки на другое уравнение, которое имеет некоторые связи с первым уравнением:
$x^4+px^2y^2+y^4=z^2$
Для некоторых значений $p$ это уравнение не имеет решений, например при $p=15, 19, 22, 91$.

Речь, наверное, идет о ненулевых решениях, потому что решение $(x,y,z)=(0,k,k^2)$ есть всегда.
Существование решений напрямую связано с рангом эллиптической кривой:

$$q^2 = u^4 + p u^2 + 1.$$

Если ранг ненулевой, то у исходного уравнения существует бесконечное число взимно-простых решений (хотя здесь правильнее говорить о решениях со свободным от квадратов НОД). В случае нулевого ранга взаимно-простых решений будет лишь конечное число, причем все их легко найти (или убедиться, что их нет). Для $p=15, 19, 22, 91$ ранг как раз получается нулевым.