Сложное диофантово уравнение

[albega]

Решите уравнение
$x^3+y^3+z^3=4xyz$
где $x, y, z$ натуральные числа.

[Mitrius_Math]

Может быть, чем-то поможет следующая формула:
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(x+z)$?

[Руст]

Эта задача на нахождение рациональных точек на эллиптической кривой $X^3+Y^3+1=4XY$ где $X=x/z,Y=y/z$. Процедура известная но нудная.

[Mitrius_Math]

Руст в сообщении #232645 писал(а):

Эта задача на нахождение рациональных точек на эллиптической кривой $X^3+Y^3+1=4XY$ где $X=x/z,Y=y/z$. Процедура известная но нудная.

А я думал, какую замену тут сделать, чтобы свести количество переменных к двум, но так и не догадался...

[albega]

Руст в сообщении #232645 писал(а):

Эта задача на нахождение рациональных точек на эллиптической кривой $X^3+Y^3+1=4XY$ где $X=x/z,Y=y/z$. Процедура известная но нудная.

Буду благодарен за ссылку либо за общую конструкцию нахождения этих точек на данной кривой.

[albega]

Mitrius_Math в сообщении #232624 писал(а):

Может быть, чем-то поможет следующая формула:
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(x+z)$?

более того,
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)*f(x,y,z)$

[Профессор Снэйп]

albega в сообщении #232837 писал(а):

более того,
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)*f(x,y,z)$

Где

$$ f(x,y,z) = \frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z} $$

[albega]

Профессор Снэйп в сообщении #232844 писал(а):

albega в сообщении #232837 писал(а):

более того,
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)*f(x,y,z)$

Где

$$ f(x,y,z) = \frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{x+y+z} $$

Нет
$(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)$
$x+y+z=t$
$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)^3-3(x+y)(y+z)(z+x)-3xyz=t^3-3(t-x)(t-y)(t-z)-3xyz=-2t^3+3t^2(x+y+z)-3t(xy+yz+zx)=t^3-3t(xy+yz+zx)=t(t^2-3(xy+yz+zx))=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$
Следовательно,
$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$

Все понятно?

[maxal]

Mitrius_Math в сообщении #232654 писал(а):

Руст в сообщении #232645 писал(а):

Эта задача на нахождение рациональных точек на эллиптической кривой $X^3+Y^3+1=4XY$ где $X=x/z,Y=y/z$. Процедура известная но нудная.

А я думал, какую замену тут сделать, чтобы свести количество переменных к двум, но так и не догадался...

Для приведения кривой к форме Вейерштрасса можно воспользоваться маплом:

> algcurves[Weierstrassform](x^3+y^3+1-4*x*y,x,y,z,t);  
[z^3-70/3*z+4537/108+t^2, -3*y^2+4*y+3*x*y-3*x^2+4*x-4/3, 9*y^2*x+6*y^2-9*y*x^2-8*y-18*x*y+9*x^3+9/2-6*x^2+8*x, (-12*z+11-6*t)/(18*z-72), (-12*z+11+6*t)/(18*z-72)]

Таким образом, кривая здесь:

$$t^2 = (-z)^3 - \frac{70}{3} (-z) - \frac{4537}{108}.$$

Ранг этой кривой равен 0, поэтому имеется лишь конечное число рациональных точек на ней. А именно, всего 2: $(z,t) = (\frac{25}{3}, \pm \frac{37}{2}).$ Они соответствуют двум рациональным точкам на исходной кривой: $(X,Y)=(-1, 0),\,(0,-1).$

Таким образом, $(x,y,z)=(-k,k,0)$ - единственная (с точностью до перестановки $x,y,z$) серия решений уравнения:

$$x^3 + y^3 + z^3 = 4xyz.$$

[albega]

Цитата:

Ранг этой кривой равен 0, поэтому имеется лишь конечное число рациональных точек на ней. А именно, всего 2: $(z,t) = (\frac{25}{3}, \pm \frac{37}{2}).$ Они соответствуют двум рациональным точкам на исходной кривой: $(X,Y)=(-1, 0),\,(0,-1).$

А как вы узнали про число точек, равное 2 и именно какие точки? Тоже средствами Mapple?

[Коровьев]

Кстати
$\[ x^3 + y^3 + z^z - 3xyz = \left| {\begin{array}{*{20}c} x & z & y \\ y & x & z \\ z & y & x \\ \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}c} x & z & {y + x + z} \\ y & x & {z + y + x} \\ z & y & {x + z + y} \\ \end{array}} \right| = \] $
$\[ = (x + y + z)\left| {\begin{array}{*{20}c} x & z & 1 \\ y & x & 1 \\ z & y & 1 \\ \end{array}} \right| = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \] $

[maxal]

albega
Можно и в мапле, но я пользовался PARI/GP:

? E = ellinit([0,0,0,-70/3,-4537/108]);
? ellanalyticrank(E)
%2 = [0, 0.72568106193615278233620554102639654872]
? elltors(E)
%3 = [3, [3], [[25/3, 37/2]]]
? P=[25/3, 37/2]
%4 = [25/3, 37/2]
? Q=elladd(E,P,P)
%5 = [25/3, -37/2]

Отсюда как раз видно, что ранг кривой равен 0, а подгруппа кручения состоит из трех точек P=[25/3, 37/2], Q=[25/3, -37/2] и нуля (циклическая группа 3-го порядка с генератором P).

[albega]

maxal, спасибо большое.
Maple, к сожалению, не установлен, есть Математика от Вольфрама, не знаю, возможно ли там это сделать.
В PARI/GP попробовал поработать, не идентифицирует функцию ellanalyticrank(E), установил вроде все, включая все библиотеки.

Если параметризовать множитель у $xyz$, возможно ли будет увидеть, при каких его значениях (например, до 100), уравнение тоже не будет иметь натуральных решений?? Или надо вручную перебирать?

Извините за полную безграмотность в вопросах применений математических пакетов, только начинаю с ними работать.

-- Ср авг 05, 2009 18:25:07 --

Такое ощущение, что эти эллиптические кривые скоро будут наподобие дискримината...

[maxal]

albega в сообщении #233132 писал(а):

В PARI/GP попробовал поработать, не идентифицирует функцию ellanalyticrank(E), установил вроде все, включая все библиотеки.

Эта функция есть только в текущей SVN-версии (которую нужно компилировать самому). Для более старых версий можно взамен использовать скрипт BG.gp.

Кстати, вот эта тема может быть полезна, если вы только начинаете работать с PARI/GP: topic14229.html

albega в сообщении #233132 писал(а):

Такое ощущение, что эти эллиптические кривые скоро будут наподобие дискримината...

Так и есть. Наука (и вычислительная техника) не стоит на месте.