Тензор Риччи

[Semailles]

Someone в сообщении #231330 писал(а):

У меня нет этой книги, но наверняка Вы её прочли невнимательно (как и сообщение IAmI).

Там как раз такая же формула, как и вы написали. Ссылку на книгу я поставил для того, чтобы не переписывать из нее то, что не имеет отношения к теме, но иметь в виду нечто определенное (книгу, кажется, легко найти в сети за несколько секунд). Мне показалось, что слова IAmI допускают небессмысленную интерпретацию, указанную мной, если ""некривой" параметр" понять как "натуральный параметр", и "такой глупостью" не являются. Мне эта интерпретация по-прежнему не кажется ни бредовой, ни натянутой, хотя я готов согласить, что это спорно. Но все это не очень важно, потому что как кривизна кривой, так и приведенная вами формула $\kappa=\frac{f''(x)}{\sqrt{\left(1+(f'(x))^2\right)^3}}$, к исходной теме не имеет отношения. IAmI, видимо, смутило то, что разные вещи называются похоже.

Someone в сообщении #231330 писал(а):

Откуда, интересно, взять в псевдоримановом многообразии "соответствующие" оси пространства Минковского? Обратите внимание, что он пишет об осях (координатах?), а не о натуральном параметре. И что такое "натуральный параметр" для многообразия?

В принципе, "соответствующие оси" в касательном пространстве порождаются выбором координат на многообразии, а выбор координат уже сделан, коль скоро речь идет о компонентах тензора. Формула $R(ii)=d^2 g(ii)/dx^2(i)$, конечно, неправильная. "Натуральный параметр" -- это из иррелевантной истории про кризину кривой.

Утундрий в сообщении #231449 писал(а):

Semailles в сообщении #231190 писал(а):

Бывает и первый со вторым. Это дело вкуса.

Если свернуть первый со вторым, в результате получим нуль.

Эээ, почему? Я имел в виду $R^i_{k i j}=-R^i_{k j i}$.

[Someone]

Semailles в сообщении #231666 писал(а):

Мне показалось, что слова IAmI допускают небессмысленную интерпретацию, указанную мной, если ""некривой" параметр" понять как "натуральный параметр", и "такой глупостью" не являются. Мне эта интерпретация по-прежнему не кажется ни бредовой, ни натянутой, хотя я готов согласить, что это спорно.

Ещё раз обращаю Ваше внимание на то, что Вы прочли слова IAmI крайне невнимательно. Они просто не допускают Вашей интерпретации, потому что прямо содержат слова "аргумент функции":

IAmI в сообщении #225324 писал(а):

... прочитал в книге какой-то по математике, что кривизна в данной точки - вторая производная величины по "некривому" парамету. Скажем, для какой-нибудь функции - вторая ее производная по аргументу.

Аргумент функции никак не сойдёт за натуральный параметр для её графика (если, конечно, функция не константа). Да и внутренней кривизны у кривой нет, только внешняя.

Semailles в сообщении #231666 писал(а):

В принципе, "соответствующие оси" в касательном пространстве порождаются ...

Ну зачем уж впутывать сюда ещё и касательное пространство, тем более, что, как Вы пишете, формула IAmI всё равно будет неправильной.

Semailles в сообщении #231666 писал(а):

Утундрий в сообщении #231449 писал(а):

Semailles в сообщении #231190 писал(а):

Бывает и первый со вторым. Это дело вкуса.

Если свернуть первый со вторым, в результате получим нуль.

Эээ, почему? Я имел в виду $R^i_{k i j}=-R^i_{k j i}$.

Потому что если опустить верхний индекс у тензора Римана, то этот тензор будет обладать следующими симметриями: $R_{iklm}=R_{lmik}=-R_{ikml}=-R_{kilm}$. То есть, он антисимметричен по первым двум индексам, поэтому $R^i_{\phantom iilm}=g^{ik}R_{iklm}=0$.

[Semailles]

Someone в сообщении #231794 писал(а):

Ещё раз обращаю Ваше внимание на то, что Вы прочли слова IAmI крайне невнимательно. Они просто не допускают Вашей интерпретации, потому что прямо содержат слова "аргумент функции":
...
Аргумент функции никак не сойдёт за натуральный параметр для её графика (если, конечно, функция не константа). Да и внутренней кривизны у кривой нет, только внешняя.

Вы все правильно говорите, но поймите, пожалуйста, и меня: я имею в видну некоторую тавтологию -- аргумент функции будет натуральным параметром, если она задана параметрически, причем аргумент -- натуральный параметр. Тогда и кривизна будет равна производной ($|\frac{d^2 f(x)}{d x^2}|$). Тут спорить можно разве что о терминологии.

Someone в сообщении #231794 писал(а):

Ну зачем уж впутывать сюда ещё и касательное пространство, тем более, что, как Вы пишете, формула IAmI всё равно будет неправильной.

Это я ответил уже на ваш вопрос про происхождение осей. Пространство Минковского -- касательное к псевдориманову.

Someone в сообщении #231794 писал(а):

Semailles в сообщении #231666 писал(а):

Эээ, почему? Я имел в виду $R^i_{k i j}=-R^i_{k j i}$.

Потому что если опустить верхний индекс у тензора Римана, то этот тензор будет обладать следующими симметриями: $R_{iklm}=R_{lmik}=-R_{ikml}=-R_{kilm}$. То есть, он антисимметричен по первым двум индексам, поэтому $R^i_{\phantom iilm}=g^{ik}R_{iklm}=0$.

У меня же написано не $R^i_{\phantom iilm}=g^{ik}R_{iklm}$, а $R^i_{k i j}$! Первый (верхний) со вторым (нижним)! Мне, кстати, больше по вкусу $R^j_{k i j}$, потому что этому выражению легко придать смысл, не прибегая к координатам, а это плюс.

[Утундрий]

Semailles
первый верхний, первый нижний... многовато первых )
Пишите так:

$$R_{ \cdot \beta \mu \nu }^\alpha $$

и путанница с нумерацией индексов исчезнет.