2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Тригонометрия и числа
Сообщение26.07.2009, 12:06 


07/09/07
463
Рассмотрим тригонометриию как систему алгебраических тождеств тригонометрических функций. Получается что такой системе числа и не нужны? Просто набор взаимозависимостей функций.
Кто что скажет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение26.07.2009, 22:46 


11/07/09
51
А зависимость кто устанавливал: между чем и чем, и зачем, кому эта связь-то нужна?
А Функция - это что такое? Это связь чего с чем?
Простите! :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 10:12 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
STilda в сообщении #231199 писал(а):
Рассмотрим тригонометриию как систему алгебраических тождеств тригонометрических функций. Получается что такой системе числа и не нужны? Просто набор взаимозависимостей функций.
Кто что скажет?
А что, формулы вида $\sin2x=2\sin x\cos x$ в эту «недотригонометрию» не входят? А если входят, то $2$ -- это разве не число? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 10:17 


07/09/07
463
Цитата:
А зависимость кто устанавливал: между чем и чем

зависимость между функциями
Цитата:
А Функция - это что такое? Это связь чего с чем?

А какая разница? Это некоторый объект удовлетворяющий некоторым соотношениям. Например sin(-x)=-sin(x).

-- Пн июл 27, 2009 11:45:16 --

На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции[/url] есть пункт "Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений".
Он покрывает вопрос AGu. А так же следующие размышления.
Сложно четко оттенить, но возможно есть два аспекта.
1. Числа используются для задания самой функции, как правила отображения одного числа в другое.
2. Числа используются для установления взаимосвязи между функциями.
Второй случай отличается тем, что не нужно вычислять значения функций. Тоесть не нужно знать формулу для функции, по которой можно получить числовое значение, а так же не нужно значть числовое значение аргумента.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 12:45 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AGu в сообщении #231303 писал(а):
А что, формулы вида $\sin2x=2\sin x\cos x$ в эту «недотригонометрию» не входят? А если входят, то $2$ -- это разве не число? :-)


Предлагается заменить эту формулу на формулу

$$
\sin \big( (\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x) \cdot x \big) = \ldots
$$

Ну и всё остальное в том же духе :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 13:31 
Заслуженный участник


09/05/08
1155
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #231339 писал(а):
AGu в сообщении #231303 писал(а):
А что, формулы вида $\sin2x=2\sin x\cos x$ в эту «недотригонометрию» не входят? А если входят, то $2$ -- это разве не число? :-)
Предлагается заменить эту формулу на формулу$$
\sin \big( (\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x) \cdot x \big) = \ldots
$$Ну и всё остальное в том же духе :)
А, понял. Ну пусть тогда «без чисел» живет. Хотя с таким же успехом можно сказать, что арифметике тоже «числа не нужны»: ведь вместо, скажем, $2$ можно (а в исходном языке -- даже нужно) писать $S\bigl(S(0)\bigr)$ и т.п. Впрочем, любая теория -- это по сути дела «набор взаимозависимостей», а ее «содержательность» -- штука либо неформальная, либо метатеоретическая. Так что в этом смысле я готов согласиться с топикстартером.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 15:48 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
AGu в сообщении #231351 писал(а):
...вместо, скажем, $2$ можно (а в исходном языке -- даже нужно) писать $S\bigl(S(0)\bigr)$ и т.п.


Нельзя. Ноль --- это тоже число :)

Вместо $x = 0$ человек будет писать $\sin x = x$, а вместо $x=2$ --- формулу

$$
x = \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x
$$

Но вообще всё нормально :) Если все константные символы определимы в модели формулами без констант, то можно эти константные символы из сигнатуры выкинуть и получится теория той же сложности.

Мне вот другое интересно. С рациональными числами человек, положим, справится. А с другими действительными? Или с комплексными?

С числом $\pi$ проблем вроде не возникает, на то она и тригонометрия :) Хотя надо ещё хорошенько подумать, как записать $\pi$ тождеством без кванторов. А остальное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 17:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
А можно ли поставить вопрос, что тригонометрии не нужна и геометрия? Т.е. определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически, т.е. в виде непрерывных функций, удовлетворяющим некоторым функциональным уравнениям? Доказать их существование, единственность. Для эстетов где-нибудь в примечании мелким почерком сказать пару слов о геометрической интерпретации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 17:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
мат-ламер в сообщении #231403 писал(а):
А можно ли поставить вопрос, что тригонометрии не нужна и геометрия? Т.е. определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически, т.е. в виде непрерывных функций, удовлетворяющим некоторым функциональным уравнениям?


Можно. bot где-то цитировал определение синуса через интеграл, причём несобственный. Не помню где.

А какие функциональные уравнения Вы хотите использовать в определение синуса? Если $f''(x) = -f(x)$, то это как-то плохо, поскольку дифференцирование требуется. Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 17:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7134
Если взять три аксиомы - синус удвоенного угла, косинус удвоенного угла, и единица, как сумма квадратов синуса и косинуса. Добавить непрерывность. И показать, что этим условиям удовлетворяет только синус и косинус. Но в функциональных уравнениях я очень слаб.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 17:54 
Экс-модератор


17/06/06
5004
STilda в сообщении #231305 писал(а):
Цитата:
А Функция - это что такое? Это связь чего с чем?

А какая разница? Это некоторый объект удовлетворяющий некоторым соотношениям. Например sin(-x)=-sin(x).
А я вот отличаю математиков от нематематиков как раз по этому признаку - знанию ныне действующего определения понятия "функция". :roll: Ну то есть признак, конечно, так себе (хотя бы потому, что меня объявляет математиком), то есть на самом деле только необходимое условие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 18:21 


07/09/07
463
мат-ламер в сообщении #231403 писал(а):
А можно ли поставить вопрос, что тригонометрии не нужна и геометрия? Т.е. определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически, т.е. в виде непрерывных функций, удовлетворяющим некоторым функциональным уравнениям?

Да, я ж приводил ссылку. На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции[/url] есть пункт "Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений".

А переход к геометрической интерпретации пока что видел только с использованием производной, и ее геометрической интерпретации. Тоесть, как бы "нет производных - можно ввести синус без геометрии". Только изначально же был геометрический вроде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 20:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Профессор Снэйп в сообщении #231405 писал(а):
Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?
Через ряд Маклорена. Можно почитать, например, в Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. — Курс современного анализа. Основные операции анализа (том 1) (приложение).
Или вопрос относился к определению через функц. ур-ия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 22:13 


27/07/09
21
STilda в сообщении #231199 писал(а):
систему алгебраических тождеств тригонометрических функций. Получается что такой системе числа и не нужны?

Не получается: всякая тригонометрическая функция является числовой.
STilda в сообщении #231305 писал(а):
На вики [url]http://ru.wikipedia.org/wiki/Тригонометрические_функции[/url] есть пункт "Определение тригонометрических функций как решений функциональных уравнений".

Да, т.е. числа "нужны"?
STilda в сообщении #231305 писал(а):
2. Числа используются для установления взаимосвязи между функциями.
Второй случай отличается тем, что не нужно вычислять значения функций.

Нужно.
STilda в сообщении #231305 писал(а):
Тоесть не нужно знать формулу для функции

Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?
STilda в сообщении #231305 писал(а):
а так же не нужно знать числовое значение аргумента.

А какое нужно?
Профессор Снэйп в сообщении #231339 писал(а):
Предлагается заменить эту формулу на формулу

$$
\sin \big( (\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot \cos x) \cdot x \big) = \ldots
$$

Ну и всё остальное в том же духе :)

Это ничего не меняет: функции изначально числовые.
AGu в сообщении #231351 писал(а):
ведь вместо, скажем, $2$ можно (а в исходном языке -- даже нужно) писать $S\bigl(S(0)\bigr)$ и т.п.

Извините, что за "исходный язык"?
мат-ламер в сообщении #231403 писал(а):
определить функции синуса и косинуса чисто аксиоматически

А именно так и есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 22:47 


07/09/07
463
AVM в сообщении #231507 писал(а):
Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?
Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга. И эту систему взаимоотношений можно взять за исход, откинув при этом числа, стоящие за функциями. Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.
Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры. Тригонометрия станет некоторой группой. Вот такая идея.
Тригонометрия взята в рассмотрение, так как кажется мне довольно локализованной.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group