Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?
Через ряд Маклорена. Можно почитать, например, в
Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. — Курс современного анализа. Основные операции анализа (том 1) (приложение).
Или вопрос относился к определению через функц. ур-ия?
Ну да, где-то так. Через функциональные уравнения. А в формуле
вроде как присутствуют числа (рядом с восклицательными знаками и в показателях степеней:) ) и переход к пределу, что, наверное, не есть гуд. Хотя я сам толком не знаю, что примерно хотел бы увидеть (у меня есть подозрение, что автор темы тоже
).
-- Вт июл 28, 2009 09:21:02 --Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?
Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга. И эту систему взаимоотношений можно взять за исход, откинув при этом числа, стоящие за функциями. Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.
Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры. Тригонометрия станет некоторой группой. Вот такая идея.
Ну, группа --- это вряд ли...
Если брать одноместные функции из
в
относительно композиции, то получится полугруппа. Те функции, которые мы причисляем к "тригонометрическим", образуют подполугруппу. Но Вы, наверное, захотите ещё сложение с умножением добавить. Тогда получится более сложная структура, не помню, как она называется.
Предлагаю такую формализацию.
1) Пусть есть
-местная функция
и
штук
-местных функций
. Тогда
-местная функция
получается суперпозицией из функций
, если
.
2) Скажем, что функция
получается из функций
решением функционального уравнения, если существуют функции
и
, каждая из которых получается конечным числом суперпозиций из функций
, такие что
, причём если
и
получаются из
и
заменой в суперпозициях
на
, то равенство
влечёт
.
3) Базисными назовём функции
,
,
,
.
3) Функция
называется
тригонометрической, если существует последовательность функций
, такая что
и для любого
функция
либо базисная, либо получается суперпозицией из каких-то функций, входящих в набор
, либо получается решением функционального уравнения из каких-то функций, входящих в тот же набор.
-- Вт июл 28, 2009 09:27:57 --Если кому-то стало интересно, то предлагаю для начала доказать, что
является тригонометрической функцией согласно этому определению