2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 22:55 


23/05/09
192
Цитата:
Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.
А как "те" функции будут у Вас определятся, или Вы их просто свяжете каким-либо соотношением, в этом проку не много
STilda в сообщении #231519 писал(а):
Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры.

Так любая функция она является элементом какого-то функционального пространства, что тут нового?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 23:15 


07/09/07
463
CowboyHugges в сообщении #231522 писал(а):
А как "те" функции будут у Вас определятся, или Вы их просто свяжете каким-либо соотношением, в этом проку не много
Например Группа является набором взаимосвязанных элементов. А сами элементы ни как не определены. Много ль в Грппах проку? :)
CowboyHugges в сообщении #231522 писал(а):
Так любая функция она является элементом какого-то функционального пространства, что тут нового?
Какое пространство реализует тригонометрия?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение27.07.2009, 23:26 


23/05/09
192
STilda, всё я понял о чём Вы. Вы хотите рассмотреть тригонометрические функции как элементы какой-то группы/алгебры. Чтож хорошо. Вы можете задать на множестве тригонометрических функций структуру алгебры или группы, и показать выполнение соответствующих аксиом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение28.07.2009, 02:44 


27/07/09
21
STilda в сообщении #231519 писал(а):
Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга.

Пожалуйста, подробнее: область определения и область значения.
Если вы этого не уточните, то извольте не использовать понятие функции в своей "теории".

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение28.07.2009, 05:59 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
RIP в сообщении #231487 писал(а):
Профессор Снэйп в сообщении #231405 писал(а):
Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?
Через ряд Маклорена. Можно почитать, например, в Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. — Курс современного анализа. Основные операции анализа (том 1) (приложение).
Или вопрос относился к определению через функц. ур-ия?


Ну да, где-то так. Через функциональные уравнения. А в формуле

$$
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots
$$

вроде как присутствуют числа (рядом с восклицательными знаками и в показателях степеней:) ) и переход к пределу, что, наверное, не есть гуд. Хотя я сам толком не знаю, что примерно хотел бы увидеть (у меня есть подозрение, что автор темы тоже :) ).

-- Вт июл 28, 2009 09:21:02 --

STilda в сообщении #231519 писал(а):
AVM в сообщении #231507 писал(а):
Бред: формула - это любая несущая информацию запись, как вы можете определить функцию ее не определяя?!?
Речь идет про набор функций, которые взаимоопределяют друг друга. И эту систему взаимоотношений можно взять за исход, откинув при этом числа, стоящие за функциями. Ответ на вопрос - определяю функцию не как правило отражения числа в число а как она выражается через другие функции.
Таким образом функция превращается в элемент, например элемент группы/алгебры. Тригонометрия станет некоторой группой. Вот такая идея.


Ну, группа --- это вряд ли...

Если брать одноместные функции из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$ относительно композиции, то получится полугруппа. Те функции, которые мы причисляем к "тригонометрическим", образуют подполугруппу. Но Вы, наверное, захотите ещё сложение с умножением добавить. Тогда получится более сложная структура, не помню, как она называется.

Предлагаю такую формализацию.

1) Пусть есть $n$-местная функция $f(x_1, \ldots, x_k)$ и $n$ штук $k$-местных функций $g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k)$. Тогда $k$-местная функция $h(x_1, \ldots, x_k)$ получается суперпозицией из функций $f, g_1, \ldots, g_n$, если $h(x_1, \ldots, x_k) = f(g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k))$.

2) Скажем, что функция $f$ получается из функций $g_1, \ldots, g_m$ решением функционального уравнения, если существуют функции $h_1$ и $h_2$, каждая из которых получается конечным числом суперпозиций из функций $f, g_1, \ldots, g_m$, такие что $h_1 = h_2$, причём если $h_1'$ и $h_2'$ получаются из $h_1$ и $h_2$ заменой в суперпозициях $f$ на $f'$, то равенство $h_1' = h_2'$ влечёт $f'=f$.

3) Базисными назовём функции $\sin x$, $x + y$, $x \cdot y$, $I_n^m(x_1, \ldots, x_n) = x_m$.

3) Функция $f$ называется тригонометрической, если существует последовательность функций $f_0, \ldots, f_n$, такая что $f_n = f$ и для любого $i \leqslant n$ функция $f_i$ либо базисная, либо получается суперпозицией из каких-то функций, входящих в набор $f_0, \ldots, f_{i-1}$, либо получается решением функционального уравнения из каких-то функций, входящих в тот же набор.

-- Вт июл 28, 2009 09:27:57 --

Если кому-то стало интересно, то предлагаю для начала доказать, что $\cos x$ является тригонометрической функцией согласно этому определению :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение28.07.2009, 07:44 


23/01/07
3497
Новосибирск
Профессор Снэйп в сообщении #231405 писал(а):
Как-нибудь без дифференциально-интегрального исчисления можно синус определить?


Синус можно наоборот "еще сильнее" привязать к числам:
Синус может показывать степень изменения выражения $(a+\dfrac{1}{a})$ при изменении числа $a$ относительно $1$.

Для интерпретации этого нарисуем прямоугольный треугольник $ABC$ с проекциями катетов $AB$ и $BC$ на гипотенузу $AC$, соответственно равными $a^2$ и $1$.
Если угол при вершине $A$ обозначить $\dfrac{\alpha}{2}$,
то
$\sin \alpha = \dfrac {2}{(a+\frac{1}{a})} = \dfrac {(1+\frac{1}{1})}{(a+\frac{1}{a})}$

-- Вт июл 28, 2009 11:14:27 --

При этом:
$ \cos \alpha = \dfrac {(a-\frac{1}{a})}{(a+\frac{1}{a})} $

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение28.07.2009, 10:05 


07/09/07
463
CowboyHugges в сообщении #231540 писал(а):
Вы можете задать на множестве тригонометрических функций структуру алгебры или группы, и показать выполнение соответствующих аксиом?
Ну да, где то так. (С одним уточнением, что не то чтоб задать, а скорее увидеть что она уже задана (если это так конечно))
AVMОдин и тот же объект (в частности функию) имеет разные лица, смотря с какой стороны про них мыслить. Я буду использовать термин функция в классическом понимании так как это одно из лиц. Второе лицо я пытаюсь описать.
Пример приведу. Возьмем поле комплексных чисел. На них четыре оператора: сопряжение $S$, обращение$O$, инверсия$I$, единичный $E$ оператор. AVM вы за то, чтоб мыслить про них как про операторы работающие над комплексными числами. А я согласен, но есть еще группа которую образуют эти операторы между собой, без упоминания про какие либо числа. $S^2=O^2=I^2=E^2=I*S*O=E,S*I=O,S*O=I,I*O=E$.
Профессор Снэйп в сообщении #231570 писал(а):
А в формуле ... вроде как присутствуют числа (рядом с восклицательными знаками и в показателях степеней:) )
Если двигать в сторону глобализма то получим что числа это те$S(S(0))$. Так что в глобальном смысле это тоже правильно. Но я локализовался от глобальности тем что взял тригонометрию.
Профессор Снэйп, а что если говорить, набор функций является тригонометрическим если на нем задана алгебраическая структура изоморфная такой-то(предстояло бы определится).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение28.07.2009, 10:30 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
STilda в сообщении #231592 писал(а):
Профессор Снэйп, а что если говорить, набор функций является тригонометрическим если на нем задана алгебраическая структура изоморфная такой-то(предстояло бы определится).


Да ради Бога, говорите, кто мешает. Не думаю, правда, что получится нечто ценное. Слишком уж сложная структура вырисовывается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение29.07.2009, 00:05 
Аватара пользователя


22/03/06
993
Есть такая теорема .

Существует, и притом единственная пара функций $S(x)$ и $C(x)$, определённых на всей числовой прямой и удовлетворяющих следующим трём требованиям:

1. Для любых вещественных чисел $x$, $y$ , $z$ выполняются соотношения

$S(x+y) = S(x)C(y)+C(x)S(y)$
$C(x+y) = C(x)C(y)-S(x)S(y)$
$S^2(z)+C^2(z) = 1$

2. $ S(0) = 0$, $ C(0) = 1$
$ S(\pi/2) = 1 $, $C(\pi/2) = 0$



3. При $0<z<\pi/2 $ справедливы неравенства $0<S(z)<z$

Попутно доказывается, что эти функции непрерывны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение30.07.2009, 00:32 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Кстати! Числа --- это ведь нольместные функции. Так что числа --- это функции, всё в порядке.

Правда, возникает вопрос, считать ли такие функции тригонометрическими.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение30.07.2009, 09:54 


07/09/07
463
Профессор Снэйп, да, все в порядке. Но вопрос может возникнуть такой. Вот я приводил пример с операторами над комплексными числами. Этих операторов конечно много но нашлась их замкнутая группа. Найдутся и другие, и не только группы но и алгебры наверняка. Тригонометрию можно ли так локализовать? Вся тригонометрия пошла от синуса и косинуса. Через них можно все остальное выразить. Значит это может быть критерий принадлежности тригонометрии. А?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение30.07.2009, 10:11 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
STilda в сообщении #231973 писал(а):
Вся тригонометрия пошла от синуса и косинуса. Через них можно все остальное выразить. Значит это может быть критерий принадлежности тригонометрии. А?


Не только от синуса и косинуса, ещё от умножения со сложением. Я уже писал про то, как это можно формализовать :)

Профессор Снэйп в сообщении #231570 писал(а):
Предлагаю такую формализацию.

1) Пусть есть $n$-местная функция $f(x_1, \ldots, x_k)$ и $n$ штук $k$-местных функций $g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k)$. Тогда $k$-местная функция $h(x_1, \ldots, x_k)$ получается суперпозицией из функций $f, g_1, \ldots, g_n$, если $h(x_1, \ldots, x_k) = f(g_1(x_1, \ldots, x_k), \ldots, g_n(x_1, \ldots, x_k))$.

2) Скажем, что функция $f$ получается из функций $g_1, \ldots, g_m$ решением функционального уравнения, если существуют функции $h_1$ и $h_2$, каждая из которых получается конечным числом суперпозиций из функций $f, g_1, \ldots, g_m$, такие что $h_1 = h_2$, причём если $h_1'$ и $h_2'$ получаются из $h_1$ и $h_2$ заменой в суперпозициях $f$ на $f'$, то равенство $h_1' = h_2'$ влечёт $f'=f$.

3) Базисными назовём функции $\sin x$, $x + y$, $x \cdot y$, $I_n^m(x_1, \ldots, x_n) = x_m$.

4) Функция $f$ называется тригонометрической, если существует последовательность функций $f_0, \ldots, f_n$, такая что $f_n = f$ и для любого $i \leqslant n$ функция $f_i$ либо базисная, либо получается суперпозицией из каких-то функций, входящих в набор $f_0, \ldots, f_{i-1}$, либо получается решением функционального уравнения из каких-то функций, входящих в тот же набор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение30.07.2009, 11:14 


07/09/07
463
Да, умножение и сложение. И еще единица наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение04.08.2009, 22:01 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/08/09

235
Да что вы мучаетесь? Синус лучше всего связать с литературой: отношение противолежащего катета к гипотенузе. И все дела!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тригонометрия и числа
Сообщение12.08.2009, 09:35 


07/09/07
463
Хочется еще раз с вами пройти цепочку размышлений, в попытке четко отделить где геометрия а где уже алгебра. Поэтому:
Garik2 в сообщении #232962 писал(а):
отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Здесь не отношение катета к гипотенузе. А длины катета к длине гипотенузы. Но длина - не алгебраическое понятие. Вопрос, как понятие длины переносится в алгебру?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group