Сложение скоростей в ОТО

[venco]

Возник у меня вопрос, на который я не могу ответить.
Пусть у нас есть кривое пространство с постоянным радиусом кривизны $R$, типа сферы.
ИСО в этом пространстве, как я понимаю, построить невозможно.
Но можно построить разные СО, вращающиеся вокруг некой гипер-оси относительно друг друга, т.е. две противоположные точки всех СО совпадают и неподвижны, а точки на "экваторе" движутся со скоростью $u$ вдоль экватора.
Как в таком пространстве складывать скорости, хотя бы на экваторе и направленные вдоль экватора?
Т.е. хочется получить аналог формулы $\frac{u+v}{1+u v}$.

[Munin]

venco в сообщении #231023 писал(а):

Пусть у нас есть кривое пространство с постоянным радиусом кривизны $R$, типа сферы.
ИСО в этом пространстве, как я понимаю, построить невозможно.

Разумеется, как и вообще какую бы то ни было систему отсчёта. Любые системы отсчёта можно строить в пространстве-времени, а не в пространстве. Пространство-время с постоянным радиусом кривизны - это не типа сферы, а типа псевдосферы, например, пространство-время Де Ситтера.

venco в сообщении #231023 писал(а):

Как в таком пространстве складывать скорости, хотя бы на экваторе и направленные вдоль экватора?
Т.е. хочется получить аналог формулы $\frac{u+v}{1+u v}$.

Скорости складываются локально, и никаких отличий от этой формулы не будет.

[venco]

Я потому спросил, что обычная формула из СТО приводит к парадоксу, если рассмотреть кругосветное движение из разных СО.

К примеру, если с астероида $A$ одновременно отправить два корабля $A_1$ и $A_2$ с одинаковыми скоростями $v$ в противоположных направлениях, то они, облетев всю вселенную, прилетят обратно одновременно.
Правильно?

Теперь у нас есть два астероида $A$ и $B$, пролетающие относительно друг друга со скоростью $u$. В этот момент с астероида $B$ опять же одновременно отправили два корабля $B_1$ и $B_2$ с одинаковыми скоростями $v$ (относительно $B$) в противоположных направлениях. С точки зрения $B$ этот случай эквивалентен предыдущему, т.е. через какое-то время ракеты одновременно вернутся к $B$.
Правильно?

Теперь рассмотрим этот случай с точки зрения $A$.
$B$ летит со скоростью $u$, $B_1$ летит со скоростью $v_1=\frac{u+v}{1+u v}$, $B_2$ летит со скоростью $v_2=\frac{u-v}{1-u v}$.
Для того, чтобы $B$, $B_1$ и $B_2$ встретились одновременно, необходимо выполнение равенства $\frac{v_1+v_2}2=u$. А это совсем не так.
Т.е. с точки зрения $A$ они встретятся не одновременно, а с точки зрения $B$ - одновременно.
Где ошибка?

[Munin]

venco в сообщении #231100 писал(а):

Где ошибка?

В самом начале. В пространстве с кривизной система отсчёта не есть линейная сетка координат (линейность остаётся только в дифференциально малой окрестности точки, например, наблюдателя), так что между ними действуют другие преобразования, не преобразования Лоренца. И нет никакой эквивалентности друг другу разных систем отсчёта. Каждая система отсчёта имеет своё конкретное движение "по отношению к искривлённому пространству", так что если одна система отсчёта (скажем, $A$ у вас в первом абзаце) неподвижна "по отношению к искривлённому пространству", то все остальные - движутся, и в них нет никакой симметрии для кораблей, летящих в разных направлениях.

Вообще, если вы уже знаете СТО (в смысле, 4-геометрию), то вам рекомендуется почитать хорошую литературу по ОТО, например, Мизнера, Торна, Уилера "Гравитация" (в 3 томах) и Пенроуза "Структура пространства и времени".

[Someone]

http://dxdy.ru/post77483.html#p77483

[venco]

Munin в сообщении #231105 писал(а):

venco в сообщении #231100 писал(а):

Где ошибка?

В самом начале. В пространстве с кривизной система отсчёта не есть линейная сетка координат (линейность остаётся только в дифференциально малой окрестности точки, например, наблюдателя), так что между ними действуют другие преобразования, не преобразования Лоренца. И нет никакой эквивалентности друг другу разных систем отсчёта. Каждая система отсчёта имеет своё конкретное движение "по отношению к искривлённому пространству", так что если одна система отсчёта (скажем, $A$ у вас в первом абзаце) неподвижна "по отношению к искривлённому пространству", то все остальные - движутся, и в них нет никакой симметрии для кораблей, летящих в разных направлениях.

Не означает ли это, что в искривлённом пространстве скорость света зависит от направления?

-- Сб июл 25, 2009 16:18:08 --

Someone в сообщении #231124 писал(а):

http://dxdy.ru/post77483.html#p77483

Да, идея та же, но я не увидел, чтобы пришли к какому-нибудь разумному мнению, кроме того, что есть абсолютная система отсчёта.

[iig]

Про сложение скоростей рекомендую
Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А.
Кватернионы в релятивистской физике. Мн.; Наука и техника, 1989.

[Munin]

Someone в сообщении #231124 писал(а):

http://dxdy.ru/post77483.html#p77483

Замечательно, а я не знал, что вы это писали.

venco в сообщении #231125 писал(а):

Не означает ли это, что в искривлённом пространстве скорость света зависит от направления?

Нет, не означает.

venco в сообщении #231125 писал(а):

Да, идея та же, но я не увидел, чтобы пришли к какому-нибудь разумному мнению, кроме того, что есть абсолютная система отсчёта.

1. А что вам ещё надо?
2. А к какому мнению надо приходить, если всё элементарно рассчитывается?

iig в сообщении #231138 писал(а):

Про сложение скоростей рекомендую
Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. Мн.; Наука и техника, 1989.

Зачем? Чего не хватает в стандартных 4-мерных вращениях?

[venco]

Munin в сообщении #231143 писал(а):

venco в сообщении #231125 писал(а):

Да, идея та же, но я не увидел, чтобы пришли к какому-нибудь разумному мнению, кроме того, что есть абсолютная система отсчёта.

1. А что вам ещё надо?

Да всё нормально, просто узнал что-то новое. Так уж получилось, что раньше у меня сложилось мнение, что абсолютной системы отсчёта нет. А оказалось, что это верно только для плоского пространства СТО.

Заодно ещё вопрос: определяет ли метрика топологию? А точнее, обязательно ли пространство постоянной кривизны будет замкнутым?

Ну и до кучи: можно ли в кривом пространстве выделить какую либо СО локально, без облёта всей вселенной?

[iig]

Munin в сообщении #231143 писал(а):

iig в сообщении #231138 писал(а):

Про сложение скоростей рекомендую
Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. Мн.; Наука и техника, 1989.

Зачем? Чего не хватает в стандартных 4-мерных вращениях?

Там довольно интересная параметризация типа половинного угла и формулы сложения другие.

[Munin]

venco в сообщении #231150 писал(а):

Так уж получилось, что раньше у меня сложилось мнение, что абсолютной системы отсчёта нет. А оказалось, что это верно только для плоского пространства СТО.

Это верно и для пространства с кривизной. Неравноправие систем отсчёта не означает наличия абсолютной системы отсчёта. Вот только разве что для пространства-времени частного вида $M^3\times\mathbb{R}$ можно говорить о выделенности неподвижной системы отсчёта, но это специальный случай, а возможные виды пространства-времени гораздо разнообразнее (сравните множество цилиндров и искривлённых поверхностей вообще).

venco в сообщении #231150 писал(а):

Заодно ещё вопрос: определяет ли метрика топологию? А точнее, обязательно ли пространство постоянной кривизны будет замкнутым?

Нет. Во-первых, вспомните, что постоянная кривизна бывает и нулевой, и отрицательной. А во-вторых, топология - это глобальное свойство (ещё говорят, "в целом"), а метрика - локальное ("в малом"). Представьте себе лист бумаги. Его можно свернуть в цилиндр и склеить трубочкой, и при этом метрика на нём останется прежней, плоской, а топология изменится. Если не обращать внимания на ограничения нашего трёхмерного пространства, то дальше этот цилиндр можно свернуть в тор, и тоже не затронуть метрику. Или, склеив края по-другому, сделать тор с двумя, ... $n$ дырками. То же самое, и даже в большем разнообразии вариантов, можно делать и в случае, когда кривизна задана и не нулевая. Например, с постоянной положительной кривизной можно сделать как сферу, так и полусферу, отождествив на экваторе противолежащие точки. А можно взять футбольный мяч, и отождествить противолежащие точки на маленьком шестиугольничке.

venco в сообщении #231150 писал(а):

Ну и до кучи: можно ли в кривом пространстве выделить какую либо СО локально, без облёта всей вселенной?

Можно. Собственно, когда говорят о пространстве с кривизной, всегда надо уточнять, идёт ли речь о локальной СО или о глобальной. В зависимости от принятой в книге терминологии иногда СО называются только локальные реперы, а в глобальном случае говорят о глобальной системе координат - такие термины чаще встречаются в зарубежной литературе.

[Semailles]

venco в сообщении #231150 писал(а):

Заодно ещё вопрос: определяет ли метрика топологию?

Отчасти определяет. Например, эйлерова характеристика пространства (четномерного ориентированного замкнутого риманова многообразия) выражается через метрику: $\chi(M)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_M Pf(\Omega)$, здесь $Pf(\Omega)$ -- пфаффиан формы кривизны. Так что, например, если пространство плоское (это метрическое свойство), то это точно не сфера (а это уже топологическое свойство).

[Munin]

Спасибо.