2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сложение скоростей в ОТО
Сообщение24.07.2009, 23:35 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Возник у меня вопрос, на который я не могу ответить.
Пусть у нас есть кривое пространство с постоянным радиусом кривизны $R$, типа сферы.
ИСО в этом пространстве, как я понимаю, построить невозможно.
Но можно построить разные СО, вращающиеся вокруг некой гипер-оси относительно друг друга, т.е. две противоположные точки всех СО совпадают и неподвижны, а точки на "экваторе" движутся со скоростью $u$ вдоль экватора.
Как в таком пространстве складывать скорости, хотя бы на экваторе и направленные вдоль экватора?
Т.е. хочется получить аналог формулы $\frac{u+v}{1+u v}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение25.07.2009, 17:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
venco в сообщении #231023 писал(а):
Пусть у нас есть кривое пространство с постоянным радиусом кривизны $R$, типа сферы.
ИСО в этом пространстве, как я понимаю, построить невозможно.

Разумеется, как и вообще какую бы то ни было систему отсчёта. Любые системы отсчёта можно строить в пространстве-времени, а не в пространстве. Пространство-время с постоянным радиусом кривизны - это не типа сферы, а типа псевдосферы, например, пространство-время Де Ситтера.

venco в сообщении #231023 писал(а):
Как в таком пространстве складывать скорости, хотя бы на экваторе и направленные вдоль экватора?
Т.е. хочется получить аналог формулы $\frac{u+v}{1+u v}$.

Скорости складываются локально, и никаких отличий от этой формулы не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение25.07.2009, 19:29 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Я потому спросил, что обычная формула из СТО приводит к парадоксу, если рассмотреть кругосветное движение из разных СО.

К примеру, если с астероида $A$ одновременно отправить два корабля $A_1$ и $A_2$ с одинаковыми скоростями $v$ в противоположных направлениях, то они, облетев всю вселенную, прилетят обратно одновременно.
Правильно?

Теперь у нас есть два астероида $A$ и $B$, пролетающие относительно друг друга со скоростью $u$. В этот момент с астероида $B$ опять же одновременно отправили два корабля $B_1$ и $B_2$ с одинаковыми скоростями $v$ (относительно $B$) в противоположных направлениях. С точки зрения $B$ этот случай эквивалентен предыдущему, т.е. через какое-то время ракеты одновременно вернутся к $B$.
Правильно?

Теперь рассмотрим этот случай с точки зрения $A$.
$B$ летит со скоростью $u$, $B_1$ летит со скоростью $v_1=\frac{u+v}{1+u v}$, $B_2$ летит со скоростью $v_2=\frac{u-v}{1-u v}$.
Для того, чтобы $B$, $B_1$ и $B_2$ встретились одновременно, необходимо выполнение равенства $\frac{v_1+v_2}2=u$. А это совсем не так.
Т.е. с точки зрения $A$ они встретятся не одновременно, а с точки зрения $B$ - одновременно.
Где ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение25.07.2009, 19:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
venco в сообщении #231100 писал(а):
Где ошибка?

В самом начале. В пространстве с кривизной система отсчёта не есть линейная сетка координат (линейность остаётся только в дифференциально малой окрестности точки, например, наблюдателя), так что между ними действуют другие преобразования, не преобразования Лоренца. И нет никакой эквивалентности друг другу разных систем отсчёта. Каждая система отсчёта имеет своё конкретное движение "по отношению к искривлённому пространству", так что если одна система отсчёта (скажем, $A$ у вас в первом абзаце) неподвижна "по отношению к искривлённому пространству", то все остальные - движутся, и в них нет никакой симметрии для кораблей, летящих в разных направлениях.

Вообще, если вы уже знаете СТО (в смысле, 4-геометрию), то вам рекомендуется почитать хорошую литературу по ОТО, например, Мизнера, Торна, Уилера "Гравитация" (в 3 томах) и Пенроуза "Структура пространства и времени".

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение25.07.2009, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
http://dxdy.ru/post77483.html#p77483

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение25.07.2009, 23:00 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Munin в сообщении #231105 писал(а):
venco в сообщении #231100 писал(а):
Где ошибка?

В самом начале. В пространстве с кривизной система отсчёта не есть линейная сетка координат (линейность остаётся только в дифференциально малой окрестности точки, например, наблюдателя), так что между ними действуют другие преобразования, не преобразования Лоренца. И нет никакой эквивалентности друг другу разных систем отсчёта. Каждая система отсчёта имеет своё конкретное движение "по отношению к искривлённому пространству", так что если одна система отсчёта (скажем, $A$ у вас в первом абзаце) неподвижна "по отношению к искривлённому пространству", то все остальные - движутся, и в них нет никакой симметрии для кораблей, летящих в разных направлениях.
Не означает ли это, что в искривлённом пространстве скорость света зависит от направления?

-- Сб июл 25, 2009 16:18:08 --

Someone в сообщении #231124 писал(а):
Да, идея та же, но я не увидел, чтобы пришли к какому-нибудь разумному мнению, кроме того, что есть абсолютная система отсчёта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение26.07.2009, 05:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/05/09

288
Gomel BY
Про сложение скоростей рекомендую
Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А.
Кватернионы в релятивистской физике. Мн.; Наука и техника, 1989.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение26.07.2009, 06:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Someone в сообщении #231124 писал(а):

Замечательно, а я не знал, что вы это писали.

venco в сообщении #231125 писал(а):
Не означает ли это, что в искривлённом пространстве скорость света зависит от направления?

Нет, не означает.

venco в сообщении #231125 писал(а):
Да, идея та же, но я не увидел, чтобы пришли к какому-нибудь разумному мнению, кроме того, что есть абсолютная система отсчёта.

1. А что вам ещё надо?
2. А к какому мнению надо приходить, если всё элементарно рассчитывается?

iig в сообщении #231138 писал(а):
Про сложение скоростей рекомендую
Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. Мн.; Наука и техника, 1989.

Зачем? Чего не хватает в стандартных 4-мерных вращениях?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение26.07.2009, 07:48 
Заслуженный участник


04/05/09
4586
Munin в сообщении #231143 писал(а):
venco в сообщении #231125 писал(а):
Да, идея та же, но я не увидел, чтобы пришли к какому-нибудь разумному мнению, кроме того, что есть абсолютная система отсчёта.

1. А что вам ещё надо?
Да всё нормально, просто узнал что-то новое. Так уж получилось, что раньше у меня сложилось мнение, что абсолютной системы отсчёта нет. А оказалось, что это верно только для плоского пространства СТО.

Заодно ещё вопрос: определяет ли метрика топологию? А точнее, обязательно ли пространство постоянной кривизны будет замкнутым?

Ну и до кучи: можно ли в кривом пространстве выделить какую либо СО локально, без облёта всей вселенной?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение26.07.2009, 12:21 
Заблокирован
Аватара пользователя


03/05/09

288
Gomel BY
Munin в сообщении #231143 писал(а):
iig в сообщении #231138 писал(а):
Про сложение скоростей рекомендую
Березин А.В., Курочкин Ю.А., Толкачев Е.А. Кватернионы в релятивистской физике. Мн.; Наука и техника, 1989.

Зачем? Чего не хватает в стандартных 4-мерных вращениях?

Там довольно интересная параметризация типа половинного угла и формулы сложения другие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение26.07.2009, 12:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
venco в сообщении #231150 писал(а):
Так уж получилось, что раньше у меня сложилось мнение, что абсолютной системы отсчёта нет. А оказалось, что это верно только для плоского пространства СТО.

Это верно и для пространства с кривизной. Неравноправие систем отсчёта не означает наличия абсолютной системы отсчёта. Вот только разве что для пространства-времени частного вида $M^3\times\mathbb{R}$ можно говорить о выделенности неподвижной системы отсчёта, но это специальный случай, а возможные виды пространства-времени гораздо разнообразнее (сравните множество цилиндров и искривлённых поверхностей вообще).

venco в сообщении #231150 писал(а):
Заодно ещё вопрос: определяет ли метрика топологию? А точнее, обязательно ли пространство постоянной кривизны будет замкнутым?

Нет. Во-первых, вспомните, что постоянная кривизна бывает и нулевой, и отрицательной. А во-вторых, топология - это глобальное свойство (ещё говорят, "в целом"), а метрика - локальное ("в малом"). Представьте себе лист бумаги. Его можно свернуть в цилиндр и склеить трубочкой, и при этом метрика на нём останется прежней, плоской, а топология изменится. Если не обращать внимания на ограничения нашего трёхмерного пространства, то дальше этот цилиндр можно свернуть в тор, и тоже не затронуть метрику. Или, склеив края по-другому, сделать тор с двумя, ... $n$ дырками. То же самое, и даже в большем разнообразии вариантов, можно делать и в случае, когда кривизна задана и не нулевая. Например, с постоянной положительной кривизной можно сделать как сферу, так и полусферу, отождествив на экваторе противолежащие точки. А можно взять футбольный мяч, и отождествить противолежащие точки на маленьком шестиугольничке.

venco в сообщении #231150 писал(а):
Ну и до кучи: можно ли в кривом пространстве выделить какую либо СО локально, без облёта всей вселенной?

Можно. Собственно, когда говорят о пространстве с кривизной, всегда надо уточнять, идёт ли речь о локальной СО или о глобальной. В зависимости от принятой в книге терминологии иногда СО называются только локальные реперы, а в глобальном случае говорят о глобальной системе координат - такие термины чаще встречаются в зарубежной литературе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение26.07.2009, 19:11 


22/07/09
15
venco в сообщении #231150 писал(а):
Заодно ещё вопрос: определяет ли метрика топологию?


Отчасти определяет. Например, эйлерова характеристика пространства (четномерного ориентированного замкнутого риманова многообразия) выражается через метрику: $\chi(M)=\frac{1}{(2\pi)^n}\int_M Pf(\Omega)$, здесь $Pf(\Omega)$ -- пфаффиан формы кривизны. Так что, например, если пространство плоское (это метрическое свойство), то это точно не сфера (а это уже топологическое свойство).

 Профиль  
                  
 
 Re: Сложение скоростей в ОТО
Сообщение27.07.2009, 00:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group