Например: [0, 3] – подпространство и [0, 2) открытое в нем множество. Сразу же за теоремой 1.5 у Рида и Саймона идёт именно такого типа пример, но только с замкнутым множеством «Наконец, мы хотим предостеречь читателя, что в неполном метрическом пространстве замкнутые множества часто на первый взгляд могут показаться незамкнутыми. Например, множество [1/2, 1) в пространстве (0, 1) с обычной метрикой замкнуто».
Я все–таки не могу понять, почему множество [0, 2) открыто, а множество [1/2, 1) замкнуто?
Чтобы ответить на этот вопрос надо обратиться к понятию индуцированной топологии. Пусть у нас есть топологическое пространство

. Как определить топологию на его подмножестве

? Рассмотрим каноническую инъекцию

:

. Для того, чтобы это отображение было непрерывным нужно, чтобы полный прообраз каждого открытого в

множества был открыт в

. Но совокупность всёх полных прообразов открытых в

множеств является наименьшей топологией в

при которой

непрерывно. Эту топологию и называют индуцированной топологии превращающей множество

в подпространство

пространства

. Иначе говоря, подмножество в

открыто, тогда и только тогда, когда оно является пересечением

с подмножеством из

открытым в смысле пространства

. Если мы рассматриваем множество [½, 1) в подпространстве (0, 1), то множество (0, ½) открыто в пространстве вещественных чисел и соответственно открыто в подпространстве (0, 1), а его дополнение [½, 1) до подпространства замкнуто. А множество [0, 2) является пересечением (-1, 2) с подпространством [0, 3] и поэтому открыто.