Теорема

[Sla_sh]

Здравствуйте.
В книге Рида и Саймона на восьмой странице есть вот такая вот теорема:


Приводится без доказательства. Ниже в задачах предлагается доказать теорему собственноручно. Осилить не могу. Есть интуитивные мысли по поводу доказательства, но четко формализировать и записать доказательство не получается.

Подскажите книгу, в которой приводится доказательство такой теоремы, пожалуйста.

[Профессор Снэйп]

А я всегда думал, что условие "прообраз любого открытого множества открыт" --- это, в точности, определение непрерывности

Чтобы мы помогли Вам с доказательством, нам нужно знать, каково определение непрерывной функции в книге Рида и Саймона.

[Sla_sh]

интересно)
определение там такое:

[terminator-II]

Рид Саймон -- плохая книга. Не из-за этого определения, конечно.

[ewert]

Это -- народный фольклор. Например, так:

Непрерывность функции $f$ означает, что из $x_n\to x_0\in D(f)$ следует $y_n\equiv f(x_n)\to f(x_0)\equiv y_0$ (у Рида-Саймона определение непрерывности именно таково). Учитывая стандартное определение сходимости и стандартное же определение шара $B_{\varepsilon}(x_0)$ (с центром $x_0$ радиуса $\varepsilon$), это определение автоматически переписывается на язык окрестностей: непрерывность в точке $x_0$ в точности означает, что для любой окрестности $B_{\varepsilon}(y_0)$ найдётся окрестность $B_{\delta}(x_0)$ такая, что $f(B_{\delta}(x_0))\subset B_{\varepsilon}(y_0)$. Т.е. что прообраз любой точки содержится в области определения вместе с некоторой своей окрестностью -- а это ровно и означает открытость прообраза (опять же по в соответствии с Рид-Саймоновским определением открытости).

Между прочем, это вовсе не означает, что прообраз будет открыт в "обычном" смысле. Просто потому, что сама область определения может не быть открытой в некотором объемлющем пространстве, а в теореме, естественно, имеется в виду именно внутренняя топология области определения, рассматриваемой как метрическое пространство.

[Sla_sh]

похоже, опять поспешил с тем, чтобы спрашивать на форуме. наверняка, в итоге и сам бы додумался.
спасибо, что расписали. теперь получается все нормально сформулировать.

[мат-ламер]

Я посмотрел русское издание и ничего похожего не нашёл. Может переводчики мелкие ляпы исправили.

[Sla_sh]

теорема 1.5 в русском издании у меня на странице 21.
определение непрерывности функции на странице 19, над теоремой 1.3

[мат-ламер]

Спасибо, нашёл. Я сначала по Вашему посту подумал, что квадратные скобки - это замыкание. А, так, конечно всё правильно. Эквивалентность обоих определений можно посмотреть, например, у Колмогорова- Фомина. У ewerta и без него всё расписано.

[Sla_sh]

А я вот Колмогорова смотрел, но почему-то там не нашел подобных рассуждений. Можете ткнуть носом?

[мат-ламер]

Непрерывность в Колмогорове на стр. 91-92. Но там для топологических пространств и без сходящихся последовательностей. Для общих топологических пространств через последовательности вообще не верно. Для метрических пространств у Колмогорова непрерывность функции не рассматривается. Возможно не лучшую ссылку указал.

[ewert]

Дело в том, что это -- самое начало и самого первого тома Рида и Саймона. Где они говорят о специально метрических пространствах, и говорят на совершенно стандартном языке -- с точки зрения пространств именно метрических. Совершенно не заморачиваясь при этом общей топологией. (Которой они тоже заморачиваются, но уже гораздо позже -- когда до этого дело дойдёт.)

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #230622 писал(а):

Дело в том, что это -- самое начало и самого первого тома Рида и Саймона. Где они говорят о специально метрических пространствах, и говорят на совершенно стандартном языке -- с точки зрения пространств именно метрических. Совершенно не заморачиваясь при этом общей топологией. (Которой они тоже заморачиваются, но уже гораздо позже -- когда до этого дело дойдёт.)

ewert в сообщении #230589 писал(а):

Между прочем, это вовсе не означает, что прообраз будет открыт в "обычном" смысле. Просто потому, что сама область определения может не быть открытой в некотором объемлющем пространстве, а в теореме, естественно, имеется в виду именно внутренняя топология области определения, рассматриваемой как метрическое пространство.

В первом томе Рида и Саймона на странице 21 после разбираемой теоремы написано: «Наконец, мы хотим предостеречь читателя, что в неполном метрическом пространстве замкнутые множества часто на первый взгляд могут показаться незамкнутыми. Например, множество [1/2, 1) в пространстве (0, 1) с обычной метрикой замкнуто».
Насколько всё станет проще, если и при рассмотрении открытого множества, о котором говорит ewert, и при рассмотрении замкнутого множества, о котором говорят Рид и Саймон, «заморочиться» общей топологией. Тогда речь идёт об индуцированной топологии подпространств вещественных чисел со стандартной топологией. В первом случае может оказаться, что подпространство неоткрыто, а во втором незамкнуто, как подмножество вещественных чисел. И,конечно, тогда при непрерывных отображениях могут появиться слегка экзотичные полные прообразы открытых и замкнутых множеств.

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #230789 писал(а):

Насколько всё станет проще, если и при рассмотрении открытого множества, о котором говорит ewert, и при рассмотрении замкнутого множества, о котором говорят Рид и Саймон, «заморочиться» общей топологией.

Насколько всё станет сложнее. Ибо всех мыслимых топологий, пусть и индуцированных -- не перечтёшь. Уж не говоря о том, что на вещественных числах свет клином вовсе не сошёлся.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #230589 писал(а):

Это -- народный фольклор. Например, так:

Непрерывность функции $f$ означает, что из $x_n\to x_0\in D(f)$ следует $y_n\equiv f(x_n)\to f(x_0)\equiv y_0$ (у Рида-Саймона определение непрерывности именно таково). Учитывая стандартное определение сходимости и стандартное же определение шара $B_{\varepsilon}(x_0)$ (с центром $x_0$ радиуса $\varepsilon$), это определение автоматически переписывается на язык окрестностей: непрерывность в точке $x_0$ в точности означает, что для любой окрестности $B_{\varepsilon}(y_0)$ найдётся окрестность $B_{\delta}(x_0)$ такая, что $f(B_{\delta}(x_0))\subset B_{\varepsilon}(y_0)$. Т.е. что прообраз любой точки содержится в области определения вместе с некоторой своей окрестностью -- а это ровно и означает открытость прообраза (опять же по в соответствии с Рид-Саймоновским определением открытости).

Между прочем, это вовсе не означает, что прообраз будет открыт в "обычном" смысле. Просто потому, что сама область определения может не быть открытой в некотором объемлющем пространстве, а в теореме, естественно, имеется в виду именно внутренняя топология области определения, рассматриваемой как метрическое пространство.

Во-первых, текст, начинающийся словами «Между прочим» не имеет к теореме 1.5 никакого отношения. Никакая «внутренняя топология области определения» не упомянута, потому что в теореме есть только область определения (метрическое пространство X) и его топология. Во-вторых, если уж говорить об «объемлющем пространстве», то при рассмотрении множества топологического пространства как подпространства все его открытые в смысле пространства подмножества остаются открытыми в смысле подпространства, и действительно, в общем случае некоторые неоткрытые в смысле пространства подмножества могут оказаться открытыми в смысле подпространства. Но что же в этом необычного? А вот если спланировать в множество вещественных чисел, то именно там некоторые хорошо знакомые неоткрытые множества в пространстве вещественных чисел могут оказаться открытыми в кое-каких подпространствах. Например: [0, 3] – подпространство и [0, 2) открытое в нем множество. Сразу же за теоремой 1.5 у Рида и Саймона идёт именно такого типа пример, но только с замкнутым множеством «Наконец, мы хотим предостеречь читателя, что в неполном метрическом пространстве замкнутые множества часто на первый взгляд могут показаться незамкнутыми. Например, множество [1/2, 1) в пространстве (0, 1) с обычной метрикой замкнуто».
И несмотря на мнение уважаемого оппонента:

ewert в сообщении #230818 писал(а):

Насколько всё станет сложнее. Ибо всех мыслимых топологий, пусть и индуцированных -- не перечтёшь.

Всё станет проще именно, если «заморочиться» общей топологией. Что же касается индуцированной топологии, то она для некоторого подмножества в топологическом пространстве одна единственная. А вот чего часто много (но не всегда!) у пространства так это подмножеств. И, наконец, я полностью согласен с тем, что

ewert в сообщении #230818 писал(а):

Уж не говоря о том, что на вещественных числах свет клином вовсе не сошёлся.