Теорема

[nina718]

Виктор Викторов в сообщении #230862 писал(а):

Например: [0, 3] – подпространство и [0, 2) открытое в нем множество. Сразу же за теоремой 1.5 у Рида и Саймона идёт именно такого типа пример, но только с замкнутым множеством «Наконец, мы хотим предостеречь читателя, что в неполном метрическом пространстве замкнутые множества часто на первый взгляд могут показаться незамкнутыми. Например, множество [1/2, 1) в пространстве (0, 1) с обычной метрикой замкнуто».

Я все–таки не могу понять, почему множество [0, 2) открыто, а множество [1/2, 1) замкнуто?

[terminator-II]

может теперь за интеграл Римана поговорим Как вам, коллеги, нравится его определение у Рида-Саймона?

[Виктор Викторов]

nina718 в сообщении #231115 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #230862 писал(а):

Например: [0, 3] – подпространство и [0, 2) открытое в нем множество. Сразу же за теоремой 1.5 у Рида и Саймона идёт именно такого типа пример, но только с замкнутым множеством «Наконец, мы хотим предостеречь читателя, что в неполном метрическом пространстве замкнутые множества часто на первый взгляд могут показаться незамкнутыми. Например, множество [1/2, 1) в пространстве (0, 1) с обычной метрикой замкнуто».

Я все–таки не могу понять, почему множество [0, 2) открыто, а множество [1/2, 1) замкнуто?

Чтобы ответить на этот вопрос надо обратиться к понятию индуцированной топологии. Пусть у нас есть топологическое пространство $X$. Как определить топологию на его подмножестве $Y$? Рассмотрим каноническую инъекцию $f$: $Y\to X$. Для того, чтобы это отображение было непрерывным нужно, чтобы полный прообраз каждого открытого в $X$ множества был открыт в $Y$. Но совокупность всёх полных прообразов открытых в $X$ множеств является наименьшей топологией в $Y$ при которой $f$ непрерывно. Эту топологию и называют индуцированной топологии превращающей множество $Y$ в подпространство $Y$ пространства $X$. Иначе говоря, подмножество в $Y$ открыто, тогда и только тогда, когда оно является пересечением $Y$ с подмножеством из $X$ открытым в смысле пространства $X$. Если мы рассматриваем множество [½, 1) в подпространстве (0, 1), то множество (0, ½) открыто в пространстве вещественных чисел и соответственно открыто в подпространстве (0, 1), а его дополнение [½, 1) до подпространства замкнуто. А множество [0, 2) является пересечением (-1, 2) с подпространством [0, 3] и поэтому открыто.