Помогите решить несколько задачек на комплексные числа

[мат-ламер]

Допустим, что $z_n=x_n+iy_n$. Тогда $z_{n+1}=(3+4i)z_n$. Надо найти произвольную степень числа $3+4i$ или $0.6+0.8i$. В результате появятся выражения типа $\cos (n \arccos 0.6)$, которые выражаются через многочлены Чебышева. Простого ответа пока не находится.

[RIP]

lexus c. в сообщении #230184 писал(а):

ewert в сообщении #229105 писал(а):

lexus c. в сообщении #229104 писал(а):

И всё-таки, хотелось бы понять, как имея изначально лишь рекуррентное соотношение, можно было углядеть, что отношения последовательных членов ряда будут представлять собой косинусы уполовинивающихся аргументов.

Никак. Это случайность. Чем мне это задачка и категорически не нравится.

А вот переход от исходного рекуррентного соотношения к соотношению для дробей -- это, напротив, достаточно идейно.

Ясно. Вернее, не очень-то ясно. RIP, вроде бы, намекал на то, что здесь как раз видно, что должно получиться. Но рекуррентную формулу для $\[{q_n}\] $, мне кажется, увидеть непросто.

Да нет, я не говорил, что это видно. Я просто пояснил, что рекуррентная формула для $q_n$ как бы сама подсказывает замену... в принципе; но для этого, имхо, необходима незаурядная математическая интуиция... ну, или некоторый опыт, как в моём случае. И никаких случайностей. Всё так и было задумано. Чем мне эта задачка и так категорически нравится.
А вот само рекуррентное соотношение для $q_n$, имхо, настолько сильно бросается в глаза, что я не могу понять, как его можно не увидеть сразу.
Кстати, настолько зациклился на пределе, что не заметил, что на самом деле явная формула выписывается для $x_n$.

lexus c. в сообщении #230184 писал(а):

Ну и смущает, что это всё должно иметь отношение к комплексным числам.

Меня тоже. Не вижу, как они могут помочь в решении.

[lexus c.]

мат-ламер в сообщении #230193 писал(а):

Допустим, что $z_n=x_n+iy_n$. Тогда $z_{n+1}=(3+4i)z_n$. Надо найти произвольную степень числа $3+4i$ или $0.6+0.8i$. В результате появятся выражения типа $\cos (n \arccos 0.6)$, которые выражаются через многочлены Чебышева. Простого ответа пока не находится.

Спасибо! Наверное, достаточно дать ответ в форме $\[ x_n = 5^n {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {e^{i \cdot n{\rm{arccos}}0.6} } \right),y_n = 5^n {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {e^{i \cdot n{\rm{arccos}}0.6} } \right) \]$.

RIP, спасибо, я новым взглядом посмотрел и углядел рекуррентное соотношение для $\[ q_n \]$

А ещё я обманул самого себя и всех остальных впридачу, назвав последнюю задачу последней. Вернее, она последняя, но одну любопытную задачу в начале главы я пропустил, и вот теперь вижу, что не могу её решить:
Четвёрка комплексных чисел $\[ z_1 ,z_2 ,z_3 ,z_4 \]$ удовлетворяет равенству $\[ \frac{{\left( {z_1 - z_3 } \right)\left( {z_2 - z_4 } \right)}}{{\left( {z_1 - z_4 } \right)\left( {z_2 - z_3 } \right)}} = 2 \] $. Что можно сказать о четвёрке точек плоскости, соответствующих числам $\[ z_1 ,z_2 ,z_3 ,z_4 \]$ и почему?
а) Они являются вершинами параллелограмма.
б) Они лежат на одной прямой или на одной окружности.
в) Площади треугольника $\[ Oz_1 z_2 \] $ равна площади треугольника $\[ Oz_3 z_4 \] (точка $\[O\]$ - начало координат).

[мат-ламер]

lexus c. Здесь приветствутся попытки решения. Чужой готовый ответ Вам мало что даст. Какие у Вас есть мысли?

-- Вт июл 21, 2009 14:10:18 --

А что Вы проходили по теории? Уравнение окружности, проходящей через три комплексные точки, можете написать?

-- Вт июл 21, 2009 14:13:22 --

Подсказка. Это уравнение можно записать с помощью определителя четвёртого порядка. Определители проходили?

[lexus c.]

мат-ламер в сообщении #230370 писал(а):

Уравнение окружности, проходящей через три комплексные точки, можете написать?

Нет, к сожалению.

мат-ламер в сообщении #230370 писал(а):

Определители проходили?

Да, разумеется.
Сейчас подумаю.

[мат-ламер]

lexus c. Я пока не силён в наборе и запись определителя представляет некоторую трудность. Определитель четвёртого порядка, $i$-ая ($i=0,1,2,3)$ строчка его равна $| z_i^2|, z_i, \bar z_i, 1 $ Если $i=0$, то индекс опускаем. Приравнивая это определитель к нулю, получаем уравнение (относительно $z$) окружности, проходящее через три комплексные точки $z_1, z_2, z_3$. Во-первых, докажите, что это действительно уравнение окружности. Во-вторых, покажите, что она проходит через эти три точки. В-третьих, подставьте туда координату четвёртой точки и попробуйте привести к виду, как в одном из вариантов задачи.

-- Вт июл 21, 2009 16:42:45 --

$\begin {vmatrix} |z|^2 & z & \bar z & 1 \\ |z_1|^2 & z_1 & \bar z_1 & 1 \\ |z_2|^2 & z_2 & \bar z_2 & 1 \\ |z_3|^2 & z_3 & \bar z_3 & 1 \end{vmatrix} = 0 $ - набор определителя вроде освоил, но форматирование ещё нет.

-- Вт июл 21, 2009 16:56:43 --

См. также сборник задач по теории аналитических функций под ред. Евграфова (задачи 1.23 и 1.26) и Яглом - Комплексные числа в геометрии (стр.36).

-- Вт июл 21, 2009 17:00:18 --

Это у Евграфова решается через определитель, а у Яглома чисто геометрическое решение через разность углов между отрезками, которые соединяют точки.

-- Вт июл 21, 2009 17:16:27 --

lexus c. Если не секрет, то что это у Вас за сборник задач? Если для школ, то задачи сложноватые.

[lexus c.]

С геометрическим способом разобрался, а с алгебраическим нужно доказать, что приравнивание определителя к нулю даёт уравнение окружности. То, что подставление любого числа из набора $\[z_1,z_2,z_3\]$ обратит определитель в ноль, очевидно (будет 2 одинаковые строки), ну а приведение его к виду в условии задачи я отложу напоследок.

Доказать, что приравнивание к нулю определителя даст ноль, не получается. Единственное, что пришло в голову — в лоб посчитать определитель, но это не очень эффективно оказалось. Может быть, кто-нибудь даст идею, в каком направлении двигаться можно?

[мат-ламер]

lexus c. Может воспользоваться общими свойствами дробно-линейных отображений? Во-первых, дробно-линейное отображение преобразует окружность (возможно с бесконечным радиусом, т.е. прямую) в окружность. Во-вторых, дробно-линейное отображение сохраняет двойное отношение (т.е. ту дробь из условия задачи, равную двойке). В-третьих, для двух окружностей (обобщённых, т.е. включая прямые) можно найти преобразование, которое переводит одну в другую. Теперь, для прямой то, что двойное отношение действительно - очевидно. Теперь, возьмём окружность, в которую переходит прямая при дробно-линейном отображении. Получается, что и для неё двойное отношение действительно. Но таким образом (из прямых) можно получить все окружности.

[lexus c.]

мат-ламер в сообщении #230931 писал(а):

lexus c. Может воспользоваться общими свойствами дробно-линейных отображений? Во-первых, дробно-линейное отображение преобразует окружность (возможно с бесконечным радиусом, т.е. прямую) в окружность. Во-вторых, дробно-линейное отображение сохраняет двойное отношение (т.е. ту дробь из условия задачи, равную двойке). В-третьих, для двух окружностей (обобщённых, т.е. включая прямые) можно найти преобразование, которое переводит одну в другую. Теперь, для прямой то, что двойное отношение действительно - очевидно. Теперь, возьмём окружность, в которую переходит прямая при дробно-линейном отображении. Получается, что и для неё двойное отношение действительно. Но таким образом (из прямых) можно получить все окружности.

Мне кажется, для школьной задачи это слишком круто