Помогите решить несколько задачек на комплексные числа

[ИСН]

$q_n$ выражаются не через иксы, а сами через себя. Там просто.

[ewert]

ИСН в сообщении #228968 писал(а):

$q_n$ выражаются не через иксы, а сами через себя. Там просто.

Непросто дальше, после $q_n$-тых.

[lexus c.]

ИСН в сообщении #228968 писал(а):

$q_n$ выражаются не через иксы, а сами через себя. Там просто.

ewert в сообщении #228969 писал(а):

ИСН в сообщении #228968 писал(а):

$q_n$ выражаются не через иксы, а сами через себя. Там просто.

Непросто дальше, после $q_n$-тых.

Можно ли узнать, как всё-таки, выражаются? У меня не получилось.

[ewert]

$$q_{n+1}=\sqrt{q_n+1\over2}$$

[lexus c.]

ewert в сообщении #229022 писал(а):

$$q_{n+1}=\sqrt{q_n+1\over2}$$

Скажите, а как это можно было сразу увидеть?
Всё-таки, преобразование занимает несколько строчек)

[ewert]

lexus c. в сообщении #229042 писал(а):

ewert в сообщении #229022 писал(а):

$$q_{n+1}=\sqrt{q_n+1\over2}$$

Скажите, а как это можно было сразу увидеть?
Всё-таки, преобразование занимает несколько строчек)

Ну положим не несколько, а одну. А как -- очень просто: исходное соотношение однородно (в том смысле, что не изменится, если все члены последовательности умножить на одно и то же число). Это, кстати, и мешает найти значение предела.

[lexus c.]

ewert в сообщении #229044 писал(а):

lexus c. в сообщении #229042 писал(а):

ewert в сообщении #229022 писал(а):

$$q_{n+1}=\sqrt{q_n+1\over2}$$

Скажите, а как это можно было сразу увидеть?
Всё-таки, преобразование занимает несколько строчек)

Ну положим не несколько, а одну. А как -- очень просто: исходное соотношение однородно (в том смысле, что не изменится, если все члены последовательности умножить на одно и то же число). Это, кстати, и мешает найти значение предела.

Строчки можно сделать разной длины
А из однородности исходного соотношения следует, как я понимаю, что $\[{q_k}\] $ не зависят от иксов, верно?

[ewert]

lexus c. в сообщении #229056 писал(а):

А из однородности исходного соотношения следует, как я понимаю, что $\[{q_k}\] $ не зависят от иксов, верно?

Ну, положим, от иксов они всё-таки зависят (в том смысле, что от соотношения между первым и вторым иксами, т.е. от $q_1$). А по существу -- не знаю, верно ли это формально и даже можно ли это утверждение аккуратно сформулировать, но как минимум -- должно наводить на мысль.

[мат-ламер]

ewert в сообщении #229022 писал(а):

$$q_{n+1}=\sqrt{q_n+1\over2}$$

Это наталкивает на мысль, что $q_n$ - это косинусы углов, которые с каждым шагом делятся на два. Осталось только понять, что там написал RIP.

[ewert]

Ну, он намекал на то, что

$$\cos{\varphi}\cdot\cos{\varphi\over2}\cdot\cos{\varphi\over4}\ldots\cdot\cos{\varphi\over2^n}$$

элементарно сворачивается умножением на $\displaystyle\sin{\varphi\over2^n}.$ Что есть настолько отвратительное трюкачество, что и думать-то об этом не хочется. Хотя и сработает.

[lexus c.]

ewert в сообщении #229059 писал(а):

lexus c. в сообщении #229056 писал(а):

А из однородности исходного соотношения следует, как я понимаю, что $\[{q_k}\] $ не зависят от иксов, верно?

Ну, положим, от иксов они всё-таки зависят (в том смысле, что от соотношения между первым и вторым иксами, т.е. от $q_1$). А по существу -- не знаю, верно ли это формально и даже можно ли это утверждение аккуратно сформулировать, но как минимум -- должно наводить на мысль.

Ну хорошо, зависят от отношения первых двух членов.
И всё-таки, хотелось бы понять, как имея изначально лишь рекуррентное соотношение, можно было углядеть, что отношения последовательных членов ряда будут представлять собой косинусы уполовинивающихся аргументов. Я всё-таки не пойму, какие там были характерные признаки Ведь сначала кажется, что там что-то похожее на произведение косинусов, но это ничего не даёт, как выяснилось)

[ewert]

lexus c. в сообщении #229104 писал(а):

И всё-таки, хотелось бы понять, как имея изначально лишь рекуррентное соотношение, можно было углядеть, что отношения последовательных членов ряда будут представлять собой косинусы уполовинивающихся аргументов.

Никак. Это случайность. Чем мне это задачка и категорически не нравится.

А вот переход от исходного рекуррентного соотношения к соотношению для дробей -- это, напротив, достаточно идейно.

[lexus c.]

ewert в сообщении #229105 писал(а):

lexus c. в сообщении #229104 писал(а):

И всё-таки, хотелось бы понять, как имея изначально лишь рекуррентное соотношение, можно было углядеть, что отношения последовательных членов ряда будут представлять собой косинусы уполовинивающихся аргументов.

Никак. Это случайность. Чем мне это задачка и категорически не нравится.

А вот переход от исходного рекуррентного соотношения к соотношению для дробей -- это, напротив, достаточно идейно.

Ясно. Вернее, не очень-то ясно. RIP, вроде бы, намекал на то, что здесь как раз видно, что должно получиться. Но рекуррентную формулу для $\[{q_n}\] $, мне кажется, увидеть непросто. Ну и смущает, что это всё должно иметь отношение к комплексным числам.

И ещё хотелось бы попросить помощи в этой же теме в решении последней задачи на комплексные числа:
найдите $\[\left\{ {{x_n}} \right\}\]$ и $\[\left\{ {{y_n}} \right\}\]$, если $\[\left\{ \begin{array}{l} {x_{n + 1}} = 3{x_n} - 4{y_n}, \\ {y_{n + 1}} = 3{y_n} + 4{x_n} \\ \end{array} \right.\]$ и
а) $\[{x_0} = 1,{y_0} = 0\]$; б) $\[{x_0} = 1,{y_0} = 2\]$.
Как я понимаю, нужно указать общий вид n-го члена каждого ряда.
Легко найти рекуррентный вид рядов (например, для случая а)):
$\[{x_{n + 2}} = 6{x_{n + 1}} - 25{x_n},{x_0} = 1,{x_1} = 3\] $;
$\[{y_{n + 2}} = 6{y_{n + 1}} - 25{y_n},{y_0} = 0,{y_1} = 4\]$.
А вот как общий вид найти, пока не понятно.

[мат-ламер]

Рекуррентные уравнения решаются примерно так же, как и линейные дифференциальные. Т.е. сначала надо составить характеристическое уравнение, найти его корни. Дальше решение надо представить в виде линейной комбинации от степеней этих корней. Исходную задачу можно также решать как нахождение произвольной степени матрицы, что можно сделать, приведя её к диагональному виду, или (если не приведётся) к жордановой нормальной форме. Что-то комплексные числа не просматриваются. Наверное надо подобрать комплексное число, при последовательном возведении в степень которого, получается решения нашей задачи.

[ИСН]

Как же не просматриваются. У характеристического уравнения могут быть (и есть) комплексные корни.